Antisymmetriaryhmä symmetriateoriassa on ryhmä, joka koostuu muunnoksista, jotka voivat muuttaa kohteen geometrisen sijainnin lisäksi sen tiettyä kaksiarvoista ominaisuutta. Tällainen kaksiarvoinen ominaisuus voi olla esimerkiksi varaus (plus-miinus), väri (musta-valkoinen), todellisen funktion merkki, pyörimissuunta (ylös-alas).
Antisymmetriaryhmiä kutsutaan myös magneettisiksi symmetriaryhmiksi, samoin kuin mustavalkoisiksi symmetriaryhmiksi. Analogisesti näiden ryhmien kanssa esitellään moniväriset symmetriaryhmät (Belov-ryhmät, koska niitä ehdotettiin akateemikko N. V. Belovin teoksissa ), joissa jokaista objektin pistettä ei enää luonnehdi kaksiarvoinen, vaan moniarvoinen. -arvoinen parametri (väri).
Tavallisten symmetriatoimintojen (kierto, heijastus, inversio, translaatio ja niiden yhdistelmät) lisäksi lisätään antisymmetriaoperaatioita - kierto värinmuutoksella (anti-rotation), heijastus värinmuutoksella (anti-heijastus), inversio värinmuutoksella ( anti-inversio), käännös värinmuutoksella (antitranslation) ja niin edelleen. Näin ollen voidaan puhua antisymmetriaelementeistä, joihin kuuluvat antisymmetriaoperaatiot.
On myös otettava huomioon operaatio, joka ei muuta kohteen sijaintia, mutta muuttaa väriä - anti-identifioinnin tai anti-identiteetin toiminta. Ryhmiä, joissa tällainen operaatio esiintyy, kutsutaan harmaiksi, koska objektin valkoinen ja musta osa ovat samat kussakin avaruuden pisteessä. Tällaiset ryhmät saadaan yksinkertaisesti lisäämällä anti-identiteetti-operaatio klassiseen symmetriaryhmään, ja niiden lukumäärä on yhtä suuri kuin klassisten symmetriaryhmien lukumäärä. Klassiset symmetriaryhmät itsessään ovat myös antisymmetriaryhmien erikoistapaus. Eniten kiinnostavat ryhmät, jotka eivät ole harmaita ja joissa on sekä symmetriaelementtejä että antisymmetriaelementtejä (sekanapaisuuden ryhmiä). Antisymmetriaelementit näissä ryhmissä voivat olla vain parillista järjestystä, koska parittoman järjestyksen antisymmetriaelementit sisältävät anti-identifioinnin toiminnan. Esimerkiksi antisymmetria-akseli 3 (kertaluku 3) on mahdoton näissä ryhmissä, mutta inversioakseli 3 (kertaluku 6) on mahdollinen.
Kahden antisymmetriaoperaation peräkkäinen suoritus tai yhden antisymmetriaoperaation 2n-kertainen suoritus muuttaa etumerkkiä kahdesti, eli sen seurauksena etumerkki ei muutu. Siten kahden antisymmetriaoperaation tulos johtaa klassiseen symmetriaoperaatioon. Siksi ei ole olemassa ryhmiä, jotka sisältävät vain elementtejä ja antisymmetriaoperaatioita. Lisäksi antisymmetriaoperaatioiden (mutta ei elementtien) lukumäärä antisymmetriapisteryhmissä on yhtä suuri kuin symmetriaoperaatioiden lukumäärä klassisissa (yksivärisissä) ryhmissä.
Vaikka antisymmetrian käsite soveltuu kaikkiin pisteryhmiin, yleensä tarkastellaan antisymmetrian kristallografisia pisteryhmiä . Mustavalkoisia ryhmiä on yhteensä 58, klassista polaarista ryhmää 32 ja neutraalia harmaata ryhmää 32. Yhteensä 122 antisymmetriapisteryhmää. Alla on taulukko kaikista 122 kristallografisesta antisymmetriapisteryhmästä. Yleensä niitä edustavat Hermann–Mogen-symbolit , joissa antisymmetriaelementit on merkitty vastaavan symmetriaelementin symbolilla viivalla. Taulukossa on lyhenteet.
| Klassikko | harmaa | sekoitettu napaisuus | ||||
|---|---|---|---|---|---|---|
| yksi | yksi' | |||||
| yksi | 1 1' | 1 ' | ||||
| 2 | 21' | 2' | ||||
| m | m1' | m' | ||||
| 2/m | 2/m1' | 2/m' | 2'/m | 2'/m' | ||
| 222 | 2221' | 2'2'2 | ||||
| mm2 | mm21' | m'm'2 | mm'2' | |||
| hmm | mmm1' | minä olen' | mmm' | minä olen | ||
| neljä | 41' | neljä' | ||||
| neljä | 4 1' | 4 ' | ||||
| 4/m | 4/m1' | 4/m' | 4'/m' | 4'/m | ||
| 422 | 4221' | 4'22' | 42'2' | |||
| 4 mm | 4mm1' | 4 min" | 4'mm' | |||
| 42 m_ | 4 2m1" | 4 2min" | 4'2m ' | 4'2 min _ | ||
| 4/mm | 4/mm1' | 4/m'm'm' | 4/mm | 4"/mm" | 4'/m'm'm | 4/mm'm' |
| 3 | 31' = 3' | |||||
| 3 | 3 1' | 3 ' | ||||
| 32 | 321' | 32' | ||||
| 3 m | 3m1' | 3 min | ||||
| 3 m | 3 m1' | 3 m' | 3min ' | 3min _ | ||
| 6 | 61' | 6' | ||||
| 6 | 6 1' | 6 ' | ||||
| 6/m | 6/m1' | 6/m' | 6'/m' | 6'/m | ||
| 622 | 6221' | 62'2' | 6'2'2 | |||
| 6 mm | 6mm1' | 6 min" | 6'mm' | |||
| 6 m2 | 6 m21" | 6 m'2' | 6'm2 ' | 6min'2_ _ | ||
| 6/mm | 6/mmm1' | 6"/mm" | 6'/m'mm' | 6/m'm'm' | 6/mmm | 6/mm'm' |
| 23 | 231' | |||||
| m 3 | m 3 1' | m'3'_ _ _ | ||||
| 432 | 4321' | 4'32' | ||||
| 43 m _ | 4 3m1" | 4'3 m ' | ||||
| m 3 m | m 3 m1' | m' 3 'm' | m' 3 'm | m 3 m' | ||
Symmetriaelementit on merkitty mustalla. Punainen - antisymmetrian elementtejä.
| yksi |
yksi |
1 ' | |||
|---|---|---|---|---|---|
| 2 |
2' |
m |
m' | ||
| 2/m |
2/m' |
2'/m |
2'/m' |
||
| 222 |
2'2'2 |
mm2 |
m'm'2 |
mm'2' | |
| hmm |
minä olen' |
mmm' |
minä olen |
||
| neljä |
neljä' |
neljä |
4 ' | ||
| 4/m |
4/m' |
4'/m' |
4'/m |
||
| 422 |
4'22' |
42'2' |
|||
| 4 mm |
4 min" |
4'mm' |
|||
| 42 m_ |
4 2min" |
4'2m ' |
4'2 min _ |
||
| 4/mm |
4/m'm'm' |
4/mm |
4"/mm" |
4'/m'm'm |
4/mm'm' |
| 3 |
3 |
3 ' | |||
| 32 |
32' |
3 m |
3 m' | ||
| 3 m |
3 m' |
3min ' |
3min _ |
||
| 6 |
6' |
6 |
6 ' | ||
| 6/m |
6/m' |
6'/m' |
6/m' |
||
| 622 |
62'2' |
6'2'2 |
|||
| 6 mm |
6 min" |
6'mm' |
|||
| 6 m2 |
6 m'2' |
6'm2 ' |
6min'2_ _ |
||
| 6/mm |
6"/mm" |
6'/m'mm' |
6/m'm'm' |
6/mmm |
6/mm'm' |
| 23 |
m 3 |
m'3'_ _ _ | |||
| 432 |
4'32' |
43 m _ |
4'3 m ' | ||
| m 3 m |
m' 3 'm' |
m' 3 'm |
m 3 m' |
Yhteensä on 1191 mustavalkoista ryhmää, 230 klassista polaariryhmää ja 230 neutraalia harmaata ryhmää. Yhteensä - 1651 Shubnikov-ryhmää.
Erilaisten kristallografisten antisymmetriaryhmien lukumäärä (klassisten symmetriaryhmien lukumäärä on annettu suluissa). [1] [2]
| jaksollisuus | Tilan mitat | ||||
|---|---|---|---|---|---|
| 0 | yksi | 2 | 3 | neljä | |
| 0 | 2(1) | 5(2) | 31 (10) | 122 (32) | 1202 (271) |
| yksi | 7(2) | 31(7) | 394 (75) | ||
| 2 | 80 (17) | 528 (80) | |||
| 3 | 1651 (230) | ||||
| neljä | 62227 (4894) | ||||