Kristallografinen ryhmä

Kristallografinen ryhmä (Fedorov-ryhmä) - erillinen liikeryhmä - ulottuvuuden euklidinen avaruus , jolla on rajoitettu perusalue . $n$

Bieberbachin lause

Kahta kristallografista ryhmää pidetään ekvivalenttina, jos ne ovat konjugoituja euklidisen avaruuden affiinisten muunnosten ryhmässä.

Bieberbachin lauseet

Mikä tahansa -ulotteinen kristallografinen ryhmä sisältää lineaarisesti riippumattomia rinnakkaiskäännöksiä ; muunnosten lineaaristen osien ryhmä (eli kuva kohdassa ) on äärellinen. $n$ $\Gamma$ $n$ $G$ $\Gamma$ $GL_{n}$
Kaksi kristallografista ryhmää ovat ekvivalentteja silloin ja vain, jos ne ovat isomorfisia abstrakteina ryhminä.
Jokaiselle :lle on olemassa vain äärellinen määrä -ulotteisia kristallografisia ryhmiä, joita pidetään ekvivalenssiin asti (joka on ratkaisu Hilbertin 18. ongelmaan ). $n$ $n$

Lauseen avulla voimme antaa seuraavan kuvauksen kristallografisten ryhmien rakenteesta abstrakteina ryhminä: Olkoon kaikkien kristallografiseen ryhmään kuuluvien rinnakkaisten käännösten joukko . Sitten on normaali rajallisen indeksin alaryhmä , isomorfinen ja yhteneväinen sen keskittäjän kanssa . Tällaisen normaalin alaryhmän läsnäolo abstraktissa ryhmässä on myös riittävä edellytys sille, että ryhmä on isomorfinen kristallografisen ryhmän suhteen. $L$ $\Gamma$ $L$ $\mathbb{Z } ^{n}$ $\Gamma$ $\Gamma$ $\Gamma$

Kristallografisen ryhmän lineaaristen osien ryhmä säilyttää hilan ; toisin sanoen hilakantassa muunnokset kohteesta kirjoitetaan kokonaislukumatriiseilla. $G$ $\Gamma$ $L$ $L$ $G$

Ryhmien lukumäärä

-Dimensionaalisen avaruuden kristallografisten ryhmien lukumäärä orientaation säilyttämisellä tai ilman sitä saadaan sekvensseistä A004029 ja A006227 . Vastaavuuteen asti on $n$

17 litteää kristallografista ryhmää [1]
219 spatiaalista kristallografista ryhmää;
- jos tarkastelemme avaruusryhmiä konjugaatioon asti käyttämällä affiineja muunnoksia, jotka säilyttävät orientaation , niin niitä on 230.
Dimensiossa 4 on 4894 orientaatiota säilyttävää kristallografista ryhmää tai 4783 ilman suuntaa säilyttävää [2] [3] .

Mahdolliset symmetriat

Pisteelementit

Äärillisten kuvioiden symmetriaelementit, jotka jättävät vähintään yhden pisteen kiinteäksi.

Pyörivät symmetria-akselit, peilitaso symmetriaa, inversion keskipiste (symmetriakeskus) ja väärät kierrokset - inversio-akselit ja peilikiertoakselit. Virheelliset kierrokset määritellään peräkkäisiksi kierroksiksi ja inversioiksi (tai heijastuksiksi kohtisuorassa tasossa). Mikä tahansa peilin pyörimisakseli voidaan korvata käänteisellä akselilla ja päinvastoin. Avaruusryhmiä kuvattaessa etusija annetaan yleensä käänteisakseleille (kun taas Schoenfliesin symboliikka käyttää peilikiertoakseleita). 2- ja 3-ulotteisissa kristallografisissa ryhmissä voi esiintyä vain kiertoja symmetria-akselien ympäri kulmilla 180° (2. asteen symmetria-akseli), 120° (3. kertaluokka), 90° (4. kertaluokka) ja 60° ( 6. järjestys). Bravais-symboliikassa symmetria-akselit on merkitty L -kirjaimella , jonka alaindeksi n vastaa akselien järjestystä ( ), kansainvälisessä symboliikassa (Hermann-Mogenin symboliikassa) arabialaisilla numeroilla, jotka osoittavat akselin järjestystä (esim. = 2 , = 3 ja = 4). Bravais-symboliikassa kääntöakselit on merkitty kirjaimella Ł , jonka pienempi numeerinen indeksi n vastaa pyörimisakselin järjestystä ( Ł n ), kansainvälisissä symboleissa - digitaalisella indeksillä, jossa on viiva n: n yläpuolella (esim. Ł 3 = 3 , Ł 4 = 4 , Ł 6 = 6 ). Lue lisää vääristä kierroksista ja niiden merkinnöistä täältä . Symmetriaakseleita L 3 , L 4 , L 6 kutsutaan korkeamman asteen symmetriaakseleiksi [4] . Symmetrian peilitaso on merkitty Bravalla P ja kansainvälisessä symboliikassa m . Inversion keskipiste on merkitty C :llä Bravassa ja 1 :llä kansainvälisillä symboleilla. $L_{n}$ $L_{2}$ $L_{3}$ $L_{4}$

Kaikki mahdolliset pistesymmetriaelementtien yhdistelmät johtavat 10 pistesymmetriaryhmään 2-ulotteisessa avaruudessa ja 32 pisteryhmään 3-ulotteisessa avaruudessa.

4-ulotteisessa avaruudessa ilmaantuu uudenlainen symmetriaelementti - kaksinkertainen kierto kahdessa täysin kohtisuorassa tasossa . Tämä lisää translaatiosymmetrian kanssa yhteensopivien symmetriaelementtien määrää. Kiteen tiloihin, joiden mitat ovat 4 ja 5, ovat mahdollisia pistesymmetriaelementit, joiden luokka on 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10 ja 12. Lisäksi, koska rotaatiot kussakin täysin kohtisuorassa tasossa ovat mahdollisia. eri suuntiin suoritettuina esiintyy enantiomorfisia pistesymmetriaelementtien pareja (esim. neljännen asteen kaksoiskierto, jossa 90°:n kierrokset ensimmäisessä tasossa ja 90° toisessa tasossa yhdistyvät enantiomorfisesti kaksinkertaiseksi neljännen asteen kiertoliikkeeksi, jossa 90° kierrokset ensimmäisessä tasossa ja −90° toisessa tasossa yhdistetään toiseksi). Kaikki mahdolliset pistesymmetrioiden yhdistelmät 4-ulotteisessa avaruudessa johtavat 227 4-ulotteiseen pisteryhmään, joista 44 on enantiomorfisia (eli saadaan yhteensä 271 pistesymmetriaryhmää).

Kiteen 6- ja 7-ulotteisissa tiloissa pistesymmetriaelementit, joiden järjestys on 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 18, 20, 24 ja 30 on mahdollista [5] . Katso myös en:Crystallographic restriktion theorem .

Lähetykset

Kristallografisissa ryhmissä translaatioita on aina läsnä - rinnakkaisia siirtoja , joita siirrettäessä kiderakenne yhdistyy itsensä kanssa. Kiteen translaatiosymmetriaa kuvaa Bravais-hila . Kolmiulotteisessa tapauksessa on mahdollista saada yhteensä 14 erilaista Bravais-hilaa. Mitoissa 4, 5 ja 6 Bravais-hilojen tyyppien lukumäärä on vastaavasti 64, 189 ja 841 [6] . Ryhmäteorian kannalta käännösryhmä on avaruusryhmän normaali Abelin aliryhmä ja avaruusryhmä sen käännösalaryhmän jatke . Käännösaliryhmän avaruusryhmän tekijäryhmä on yksi pisteryhmistä.

Monimutkaiset symmetriaoperaatiot

Kierrokset akseleiden ympäri, jossa on samanaikainen siirtyminen jollain vektorilla tämän akselin suunnassa (ruuviakseli) ja heijastus suhteessa tasoon, jossa samanaikainen siirtyminen jollakin tämän tason suuntaisella vektorilla (liukuva heijastustaso). Kansainvälisissä symboleissa kierteiset akselit on merkitty vastaavan pyörivän akselin numerolla indeksillä, joka kuvaa siirron määrää akselia pitkin samanaikaisen pyörityksen aikana. Mahdolliset kierteiset akselit 3D-tapauksessa: 2 1 (käännä 180° ja siirrä 1/2 siirtoa), 3 1 (käännä 120° ja siirrä 1/3 siirtoa), 3 2 (käännä 120° ja siirrä 2/3 siirtoa), 4 1 (käännä 90° ja siirrä 1/4 käännöstä), 4 2 (käännä 90° ja siirrä 1/2 käännöstä), 4 3 (käännä 90° ja siirrä 3/4 käännöksiä), 6 1 , 6 2 , 6 3 , 6 4 , 6 5 (käännä 60° ja siirrä vastaavasti 1/6, 2/6, 3/6, 4/6 ja 5/6). Akselit 3 2 , 4 3 , 6 4 ja 6 5 ovat enantiomorfisia akseleille 3 1 , 4 1 , 6 2 ja 6 1 vastaavasti. Näiden akselien ansiosta avaruusryhmiä on 11 enantiomorfista paria - jokaisessa parissa yksi ryhmä on peilikuva toisesta.

Liukuvat heijastustasot on merkitty liukusuunnan mukaan suhteessa kidekennon akseleihin. Jos liukuminen tapahtuu jollain akselilla, taso ilmaistaan vastaavalla latinalaisella kirjaimella a , b tai c . Tässä tapauksessa lipsahdus on aina yhtä suuri kuin puolet käännöksestä. Jos luisto on suunnattu kasvojen tai solun avaruudellista diagonaalia pitkin, tasoa merkitään kirjaimella n , jos liukuma on puolet lävistäjästä, tai d , jos liukuma on yhtä suuri kuin neljäsosa lävistäjästä (tämä on mahdollista vain, jos lävistäjä on keskitetty). N- ja d - tasoja kutsutaan myös kiilatasoiksi . d -tasoja kutsutaan joskus timanttitasoiksi, koska ne ovat läsnä timanttirakenteessa (englanniksi timantti - timantti).

Joissakin avaruusryhmissä on tasoja, joissa liukuminen tapahtuu sekä solun yhtä akselia että toista akselia pitkin (eli taso on sekä a ja b tai a että c tai b ja c ). Tämä johtuu kasvojen keskittämisestä samansuuntaisesti liukutason kanssa. Vuonna 1992 tällaisille koneille otettiin käyttöön symboli e . [7] Nikolai Vasiljevitš Belov ehdotti myös merkinnän r käyttöön ottamista tasoille, joilla on liukuminen avaruudellista diagonaalia pitkin romboederisessä solussa. Kuitenkin r taso osuu aina yhteen tavallisten peilitasojen kanssa, eikä termi ole tarttunut kiinni.

Merkintä

Numerointi

Kristallografiset (spatiaaliset) ryhmät kaikkine luontaisine symmetriaelementteineen on tiivistetty kansainvälisessä hakuteoksessa International Tables for Crystallography , jonka on julkaissut International Union of Crystallography . On hyväksytty käyttää tässä käsikirjassa annettua numerointia. Ryhmät on numeroitu 1:stä 230:een symmetrian kasvaessa.

Herman-Mogenin symboliikka

Välilyöntiryhmän symboli sisältää Bravais -hilasymbolin (iso kirjain P, A, B, C, I, R tai F) ja kansainvälisen pisteryhmän symbolin. Bravais-hilasymboli ilmaisee lisätranslaatiosolmujen läsnäolon alkeissolun sisällä: P (primitiivi) — primitiivinen solu; A, B, C (A-keskitetty, B-keskitetty, C-keskitetty) - lisäsolmu kasvojen A, B tai C keskellä, vastaavasti; I (I-keskeinen) - kehokeskeinen (lisäsolmu solun keskellä), R (R-keskitetty) - kehokeskeinen kahdesti (kaksi lisäsolmua perussolun päädiagonaalissa), F (F- keskitetty) - kasvokeskeinen (lisäsolmut kaikkien kasvojen keskuksissa).

Pisteryhmän kansainvälinen symboli muodostuu yleensä kolmesta symbolista, jotka osoittavat kidekennon kolmea pääsuuntaa vastaavat symmetriaelementit. Suuntaa vastaavalla symmetriaelementillä tarkoitetaan joko tätä suuntaa kulkevaa symmetria-akselia tai sitä kohti kohtisuoraa symmetriatasoa tai molempia (tässä tapauksessa ne kirjoitetaan murto-osan läpi, esim. 2/c on 2. kertaluvun symmetria-akseli ja sitä vastaan kohtisuorassa oleva laidunheijastustaso suunnassa c ). Pääsuunnat ovat:

solun perusvektorien suunnat trikliinisen, monokliinisen ja rombisen syngonian tapauksessa;
4. kertaluvun akselin suunta, yhden kantavektorin suunta yksikkösolun pohjassa ja suunta solun kannan diagonaalia pitkin tetragonaalisen syngonian tapauksessa;
3. tai 6. kertaluvun akselin suunta, yhden perusvektorin suunta alkeissolun pohjassa ja vektorin suunta alkeissolun diagonaalia pitkin 60° kulmassa edelliseen nähden yksi kuusikulmaisen järjestelmän tapauksessa (tämä sisältää myös trigonaalijärjestelmän, joka tässä tapauksessa on annettu yksikkösolun kuusikulmaiselle orientaatiolle);
yhden kantavektorin suunta, suunta alkeissolun avaruudellista diagonaalia pitkin ja suunta kantavektoreiden välisen kulman puolittajaa pitkin.

Hermann-Mogen-symbolit lyhennetään yleensä poistamalla yksittäisten suuntien puuttuvien symmetriaelementtien nimet, kun tämä ei aiheuta epäselvyyttä, esimerkiksi kirjoitetaan P4 P411:n sijaan. Epäselvyyden puuttuessa myös symmetriatasoon nähden kohtisuorassa olevien toisen kertaluvun akselien nimet jätetään pois, esimerkiksi korvaa C :llä . ${\tfrac {2}{m}}{\tfrac {2}{m}}{\tfrac {2}{m}}$ $Cmmm$

Schoenfliesin symboli

Schoenflies-symboli määrittelee symmetrialuokan (pääsymboli ja alaindeksi) ja ryhmän ehdollisen numeron tässä luokassa (yliindeksi).

C n - sykliset ryhmät - ryhmät, joilla on yksi erityinen suunta, joita edustaa pyörimissymmetria-akseli - on merkitty kirjaimella C , jonka alaindeksi n vastaa tämän akselin järjestystä.

Ni -ryhmiä, joissa on yksi käänteinen symmetria-akseli, seuraa alaindeksi i .
C nv (saksasta vertikaalinen - pystysuora) - sillä on myös symmetriataso, joka sijaitsee pitkin ainoaa tai pääakselia symmetriaa, jota pidetään aina pystysuorana.
C nh (saksan sanasta horisontaalinen - vaaka) - sillä on myös symmetriataso, joka on kohtisuorassa pääsymmetria-akseliin nähden.

S 2 , S 4 , S 6 (saksasta spiegel - peili) - ryhmät, joissa on yksi peilisymmetria-akseli.

C s - tasolle, jolla on epämääräinen suunta, eli se ei ole kiinteä, koska ryhmässä ei ole muita symmetriaelementtejä.

D n - on C n -ryhmä , jossa on n toisen asteen symmetria-akselia, kohtisuorassa alkuperäiseen akseliin nähden.

D nh - sillä on myös vaakasuora symmetriataso.
D nd (saksasta diagonaali - diagonaali) - sisältää myös pystysuorat diagonaaliset symmetriatasot, jotka kulkevat toisen asteen symmetria-akselien välissä.

O, T - symmetriaryhmät, joissa on useita korkeamman asteen akseleita - kuutioisen syngonian ryhmät. Ne merkitään kirjaimella O, jos ne sisältävät oktaedrin koko symmetria-akselijoukon, tai kirjaimella T, jos ne sisältävät tetraedrin koko symmetria-akseleiden joukon.

O h ja T h - sisältävät myös vaakasuuntaisen symmetriatason
T d - sisältää myös diagonaalisen symmetriatason

n voi olla 1, 2, 3, 4, 6.

Historia

Kristallografisten ryhmien teorian alkuperä liittyy koristeiden ( ) ja kristallirakenteiden ( ) symmetrian tutkimukseen. Fedorov (1885), Schoenflies (1891) ja Barlow (1894) määrittelivät kaikki tasomaiset (kaksiulotteiset) ja spatiaaliset (kolmiulotteiset) kristallografiset ryhmät toisistaan riippumatta. Tärkeimmät tulokset moniulotteisista kristallografisista ryhmistä sai Bieberbach [8] . $n = 2$ $n = 3$

Katso myös

Muistiinpanot

↑ Taustakuvaryhmät - Wolfram MathWorldistä . Haettu 8. toukokuuta 2013. Arkistoitu alkuperäisestä 2. kesäkuuta 2013. (määrätön)
↑ H. Brown, R. Bülow, J. Neubüser, H. Wondratschek ja H. Zassenhaus, Crystallographic Groups of Four-Dimensional Space. Wiley, NY, 1978, s. 52.
↑ J. Neubüser, B. Souvignier ja H. Wondratschek, Corrections to Crystallographic Groups of Four-Dimensional Space, Brown et ai. (1978) [New York: Wiley and Sons], Acta Cryst (2002) A58, 301. http://journals.iucr.org/a/issues/2002/03/00/au0290/index.html Arkistoitu 18. tammikuuta 2012 Wayback Machinessa
↑ Yu. K. Egorov-Tismenko, G. P. Litvinskaya, Yu. G. Zagalskaya, Crystallography, toim. Moskovan valtionyliopisto, 1992, sivu 22.
↑ T. Janssen, JL Birman, V. A. Koptsik, M. Senechal, D. Weigel, A. Yamamoto, S. C. Abrahams ja T. Hahn, Acta Cryst. (1999). A55, 761-782
↑ Opgenorth, J; Plesken, W; Schulz, T (1998), "Crystallographic Algorithms and Tables", Acta Cryst. A 54(5): 517-531
↑ PM de Wolff, Y. Billiet, J. D. H. Donnay, W. Fischer, R. B. Galiulin, A. M. Glazer, Th. Hahn, M. Senechal, D. P. Shoemaker, H. Wondratschek, A. J. C. Wilson ja S. C. Abrahams, 1992, Acta Cryst., A48, 727-732.
↑ Bieberbach L. Über die Bewegungsgruppen der Euklidischen Raume I. – Math. Ann., 1911, 70, S. 297 - 336; 1912, 72, S. 400-412.

Kirjallisuus

J. Wolf, Vakiokaarevuuden avaruudet. Käännös englannista. Moskova: "Nauka", fyysisen ja matemaattisen kirjallisuuden pääpainos, 1982.
Yu.K. Egorov-Tismenko, G.P. Litvinskaya, Theory of Crystal symmetry, M. GEOS, 2000 (saatavilla verkossa http://geo.web.ru/db/msg.html?mid=1163834 )
Kristallografinen ryhmä // Matemaattinen tietosanakirja : [5 osassa] / Ch. toim. I. M. Vinogradov . - M . : Soviet Encyclopedia, 1982. - T. 3: Koo - Od. - S. 106-108. - 1184 jne. : sairas. - 150 000 kappaletta.
Kovalev O.V. Pelkistymättömät ja indusoidut esitykset ja esitykset Fedorov-ryhmistä. - M .: Nauka, 1986. - 368 s.

Linkit

Avaruusryhmä - artikkeli Great Soviet Encyclopediasta .