Syngonia

Syngonia ( kreikan sanasta σύν "mukaan, yhdessä, vieressä" + γωνία "kulma"; lit. "samankaltaisuus") on kristallografisten symmetriaryhmien , kiteiden ja kidehilojen luokitus koordinaattijärjestelmästä ( koordinaattikehys ) riippuen ; symmetriaryhmät, joissa on yksi koordinaattijärjestelmä, yhdistetään yhdeksi syngoniaksi. Samaan syngoniaan kuuluvilla kiteillä on samanlaiset kulmat ja yksikkösolujen reunat .

Kidejärjestelmä on kiteiden ja kristallografisten ryhmien luokitus, joka perustuu joukkoon symmetriaelementtejä , jotka kuvaavat kiteitä ja kuuluvat kristallografiseen ryhmään.

Hilajärjestelmä - kidehilojen luokittelu niiden symmetriasta riippuen .

Kirjallisuudessa on sekaannusta kaikista kolmesta käsitteestä: syngonia [1] , kidejärjestelmä [2] ja hilajärjestelmä [3] , joita käytetään usein synonyymeinä .

Venäjänkielisessä kirjallisuudessa termiä "hilajärjestelmä" ei vielä käytetä. Yleensä kirjoittajat sekoittavat tämän käsitteen kidejärjestelmään. Kirjassa "Fundamentals of Crystallography" [4] kirjoittajat käyttävät termiä "Lattice syngony" (" Solmujen symmetrian mukaan spatiaaliset hilat voidaan jakaa seitsemään kategoriaan, joita kutsutaan hilasyngonioksi "). Samat kirjoittajat kutsuvat syngonioita järjestelmiksi (" Vakiintuin ryhmien luokittelu on niiden jakaminen kuuteen järjestelmään kasvokompleksien symmetrian perusteella ").

Syngony

Historiallisesti ensimmäinen kiteiden luokittelu oli jako syngonioihin kristallografisen koordinaattijärjestelmän mukaan. Koordinaattiakseleiksi valittiin kiteen symmetria-akselit ja niiden puuttuessa kiteen reunat. Nykyajan kiteiden rakenteeseen liittyvän tiedon valossa tällaiset suunnat vastaavat kidehilan käännöksiä, ja Bravais-solun käännökset vakioasetuksessa valitaan koordinaattijärjestelmäksi . Näiden käännösten pituuksien ja niiden välisten kulmien välisestä suhteesta riippuen erotetaan kuusi erilaista syngoniaa , jotka jakautuvat kolmeen luokkaan samanpituisten käännösten lukumäärän mukaan [5] : $\alpha ,\beta ,\gamma$

Alin luokka (kaikki lähetykset eivät ole keskenään samanarvoisia)
- Triklinikka : , $a\neq b\neq c$ $\alpha \neq \beta \neq \gamma \neq 90^{\circ }$
- Monoklininen : , $a\neq b\neq c$ $\alpha =\gamma =90^{\circ },\beta \neq 90^{\circ }$
- Rombinen : , $a\neq b\neq c$ ${\displaystyle \alpha =\beta =\gamma =90^{\circ ))$

Keskiluokka (kaksi lähetystä kolmesta on yhtä suuri)
- Nelikulmainen : , $a=b\neq c$ ${\displaystyle \alpha =\beta =\gamma =90^{\circ ))$
- Kuusikulmainen : , $a=b\neq c$ ${\displaystyle \alpha =\beta =90^{\circ },\gamma =120^{\circ ))$

Korkein luokka (kaikki lähetykset ovat samanarvoisia)
- Kuutio : , $a=b=c$ ${\displaystyle \alpha =\beta =\gamma =90^{\circ ))$

Crystal System

Jako kidejärjestelmiin suoritetaan riippuen symmetriaelementtien joukosta, jotka kuvaavat kiteitä . Tällainen jako johtaa seitsemään kidejärjestelmään, joista kahdella - trigonaalisella (yhdellä 3. asteen akselilla) ja kuusikulmaisella (yhdellä kuudennen kertaluvun akselilla) on sama yksikkösolumuoto ja siksi ne kuuluvat yhteen, kuusikulmaiseen, syngonia. Joskus sanotaan, että kuusikulmainen syngonia on jaettu kahteen subsygoniaan [6] tai hyposygoniaan. [7]

Kristallijärjestelmät jaetaan myös kolmeen luokkaan riippuen korkeamman asteen akselien lukumäärästä (toisen luokan akselit).

Mahdolliset kidejärjestelmät kolmiulotteisessa avaruudessa niitä määrittelevine symmetriaelementteineen eli symmetriaelementeinä, joiden läsnäolo on välttämätöntä kiteen tai pisteryhmän liittämiseksi tietylle kidejärjestelmälle:

Alempi luokka (ei korkeamman asteen akseleita)
- Triclinic : ei symmetriaa tai vain inversion keskipiste $\overline {1}$
- Monoklininen : yhden asteen akseli ja/tai symmetriataso $2$ $m$
- Rombinen : kolme keskenään kohtisuoraa kertaluvun akselia ja/tai symmetriataso (symmetriatason suunta katsotaan kohtisuoraan siihen nähden) $2$ $m$
Keskiluokka (yksi korkeampi järjestysakseli)
- Tetragonaalinen : yksi kertaluvun akseli tai $neljä$ $\overline {4}$
- Trigonaalinen : yhden asteen akseli $3$
- Kuusikulmainen : yksi kertaluvun akseli tai $6$ $\overline {6}$
Korkein luokka (useita korkeamman asteen akseleita)
- Kuutio : neljä -: nnen kertaluvun akselia $3$

Avaruusryhmän kidejärjestelmän määrää sitä vastaavan pisteryhmän järjestelmä. Esimerkiksi ryhmät Pbca, Cmcm, Immm, Fddd ( luokka mmm) kuuluvat rombiseen järjestelmään.

Nykyaikainen kidejärjestelmän määritelmä (soveltuu paitsi tavallisiin kolmiulotteisiin ryhmiin, myös minkä tahansa ulottuvuuden avaruuteen) viittaa pisteryhmiin (ja niistä johdettuihin avaruusryhmiin) yhteen kidejärjestelmään, jos nämä ryhmät voidaan yhdistää samaan kidejärjestelmään. Bravais-hilan tyyppejä. Esimerkiksi ryhmät mm2 ja 222 kuuluvat kumpikin rombiseen järjestelmään, koska jokaisessa niistä on avaruusryhmiä kaikentyyppisillä rombisilla hilatyypeillä (Pmm2, Cmm2, Imm2, Fmm2 ja P222, C222, I222, F222), kun taas ryhmät 32 ja 6 eivät kuulu samaan kidejärjestelmään, koska ryhmälle 32 sallitaan primitiiviset ja kaksoiskeskeiset kuusikulmaiset solut (ryhmät P321 ja R32), ja ryhmä 6 on yhdistetty vain primitiiviseen kuusikulmaiseen soluun (on ryhmä P 6 , mutta ei ole R6 ) .

Hilajärjestelmä

Kuvaa kidehilojen tyyppejä. Lyhyesti sanottuna: hilat ovat samaa tyyppiä, jos niiden pistesymmetriaryhmät (kun tarkastellaan hiloja geometrisina kohteina) ovat samat. Tällaisia pisteryhmiä, jotka kuvaavat hilan symmetriaa, kutsutaan holoedryksi . [kahdeksan]

Kaikkiaan hilajärjestelmiä on seitsemän, jotka edellisten luokittelujen tapaan (syngonia ja kidejärjestelmä) on jaettu kolmeen kategoriaan.

Alin luokka (kaikki lähetykset eivät ole keskenään samanarvoisia)
- Triklinikka : , $a\neq b\neq c$ $\alpha \neq \beta \neq \gamma \neq 90^{\circ }$
- Monoklininen : , $a\neq b\neq c$ $\alpha =\gamma =90^{\circ },\beta \neq 90^{\circ }$
- Rombinen : , $a\neq b\neq c$ ${\displaystyle \alpha =\beta =\gamma =90^{\circ ))$

Keskiluokka
- Nelikulmainen : , $a=b\neq c$ ${\displaystyle \alpha =\beta =\gamma =90^{\circ ))$
- Kuusikulmainen : , $a=b\neq c$ ${\displaystyle \alpha =\beta =90^{\circ },\gamma =120^{\circ ))$
- Romboedri : , $a=b=c$ $\alpha =\beta =\gamma <120^{\circ }\neq 90^{\circ }$

Korkein luokka (kaikki lähetykset ovat samanarvoisia)
- Kuutio : , $a=b=c$ ${\displaystyle \alpha =\beta =\gamma =90^{\circ ))$

Romboedristä hilajärjestelmää ei pidä sekoittaa trigonaaliseen kidejärjestelmään. Romboedrisen hilajärjestelmän kiteet kuuluvat aina trigonaaliseen kidejärjestelmään, mutta trigonaaliset kiteet voivat kuulua sekä romboedriseen että kuusikulmaiseen hilajärjestelmään. Esimerkiksi ryhmät R3 ja P321 (molemmat trigonaalista kidejärjestelmästä) kuuluvat erilaisiin hilajärjestelmiin (romboedrinen ja kuusikulmainen, vastaavasti).

Yleinen määritelmä, joka soveltuu minkä tahansa kokoisiin tiloihin - Hilat ovat samantyyppisiä, jos ne yhdistetään samoihin pisteryhmiin. Esimerkiksi kaikki rombiset hilat (rombinen P, rombinen C, rombinen I ja rombinen F) ovat samaa tyyppiä, koska ne yhdistyvät pisteryhmien 222, mm2 ja mmm kanssa muodostaen avaruusryhmiä P222, Pmm2, Pmmm; C222, Cmm2, Cmmm; I222, Imm2, Immm; F222, Fmm2, Fmmm. Samanaikaisesti kuusikulmaisen järjestelmän solut (primitiivinen P ja kaksoiskeskeinen R) vastaavat erilaisia hilajärjestelmiä: molemmat yhdistetään trigonaalisen kidejärjestelmän pisteryhmiin, mutta vain primitiivinen solu on yhdistetty kidejärjestelmän ryhmiin. kuusikulmainen järjestelmä (on ryhmät P6, P 6 , P6/m, P622, P6mm, P 6 m2, P6/mmm, mutta ei ole ryhmiä R6, R 6 , R6/m, R622, R6mm, R 6 m2, R6 /mmm).

Syngonian, kidejärjestelmän ja hilajärjestelmän välinen yhteys kolmiulotteisessa avaruudessa on esitetty seuraavassa taulukossa:

Syngonia	Kristallijärjestelmä	Pisteryhmät	Tilaryhmien lukumäärä	Rohkea ristikko [9]	Hilajärjestelmä	Holohedria
Triclinic		1, 1	2	aP	Triclinic	yksi
Monoklininen		2, m, 2/m	13	mP, mS	Monoklininen	2/m
Rombinen		222, mm2, mm	59	oP, oS, oI, oF	Rombinen	hmm
tetragonaalinen		4, 4 , 422, 4 mm, 42 m, 4/m, 4/ mm	68	tP, tI	tetragonaalinen	4/mm
Kuusikulmainen	Trigonaalinen	3, 3 , 32, 3m , 3m	7	hR	Romboedraalinen	3 m
	Trigonaalinen	3, 3 , 32, 3m , 3m	kahdeksantoista	hP	Kuusikulmainen	6/mm
	Kuusikulmainen	6, 6 , 622, 6mm, 6m2 , 6/m, 6/ mm	27	hP	Kuusikulmainen	6/mm
kuutio		23, m 3 , 4 3 m, 432, m 3 m	36	cP, cl, cF	kuutio	m 3 m
Yhteensä: 6	7	32	230	neljätoista	7

Yleiskatsaus pisteryhmistä

Kristallijärjestelmä	pisteryhmä / symmetrialuokka	Schoenflies-symboli	kansainvälinen symboli	Shubnikovin symboli	Tyyppi
triklinikka	yksitahoinen	C1_ _	$yksi\$	$yksi\$	enantiomorfinen polaarinen
triklinikka	pinakoidinen	C i	${\bar {1}}$	${\tilde {2}}$	sentrosymmetrinen
monokliininen	dihedraalinen aksiaalinen	C2_ _	$2\$	$2\$	enantiomorfinen polaarinen
	akseliton dihedraalinen (domaattinen)	Cs_ _	$m\$	$m\$	napainen
	prismaattinen	C 2h	$2/m\$	$2:m\$	sentrosymmetrinen
Rombinen	rombo-tetraedri	D2_ _	$222\$	$2:2\$	enantiomorfinen
	rombopyramidimainen _	C 2v	$mm2\$	$2\cdot m\$	napainen
	rombo-dipyramidaalinen	P2h _	$mmm\$	$m\cdot 2:m\$	sentrosymmetrinen
tetragonaalinen	tetragonaalinen-pyramidaalinen	C4_ _	$neljä\$	$neljä\$	enantiomorfinen polaarinen
	tetragonaalinen-tetraedrinen	S4_ _	${\bar {4}}$	${\tilde {4}}$
	tetragonaalinen dipyramidaalinen	C4h _	$4/m\$	$4:m\$	sentrosymmetrinen
	tetragonaalinen-trapetsoedrinen	D4 _	$422\$	$4:2\$	enantiomorfinen
	ditragonaali-pyramidaalinen	C4v _	$4mm\$	$4\cdot m\$	napainen
	tetragonaalinen-scalenoedraalinen	D2d_ _	${\bar {4}}2m\$ tai ${\bar {4}}m2$	${\tilde {4}}\cdot m$
	ditragonaali-dipyramidaalinen	4h _	$4/mm\$	$m\cdot 4:m\$	sentrosymmetrinen
Trigonaalinen	trigonaali-pyramidaalinen	C3_ _	$3$	$3\$	enantiomorfinen polaarinen
	romboedrinen	S 6 (C 3i )	${\bar {3}}$	${\tilde {6}}$	sentrosymmetrinen
	trigonaali-trapetsoedraalinen	D3_ _	$32\$ tai tai $321\$ $312\$	$3:2\$	enantiomorfinen
	ditrigonaalinen-pyramidaalinen	C 3v	$3 m\$ tai tai $3m1\$ $31 m\$	$3\cdot m\$	napainen
	ditrigonaalinen-skanoedraalinen	D3d_ _	${\bar {3}} min\$ tai tai ${\bar {3}}m1$ ${\bar {3}}1 m$	${\tilde {6}}\cdot m$	sentrosymmetrinen
Kuusikulmainen	kuusikulmainen-pyramidaalinen	C6 _	$6\$	$6\$	enantiomorfinen polaarinen
	trigonaali-dipyramidaalinen	C 3h	${\bar {6}}$	$3:m\$
	kuusikulmainen-dipyramidaalinen	C6h _	$6/m\$	$6:m\$	sentrosymmetrinen
	kuusikulmio-trapetsoedrinen	D6 _	$622\$	$6:2\$	enantiomorfinen
	kaksikulmainen-pyramidaalinen	C6v _	$6mm\$	$6\cdot m\$	napainen
	ditrigonaali-dipyramidaalinen	P3h _	${\bar {6}} m2$ tai ${\bar {6}}2m$	$m\cdot 3:m\$
	diheksagonaali-dipyramidaalinen	D6h _	$6/mm\$	$m\cdot 6:m\$	sentrosymmetrinen
kuutio	kolmitetraedrinen	T	$23\$	$3/2\$	enantiomorfinen
	didodekaedri	T h	$m{\bar {3}}\$	${\tilde {6}}/2$	sentrosymmetrinen
	heksatetraedrinen	T d	${\bar {4}}3 m$	$3/{\tilde {4}}$
	kolmioktaedri	O	$432\$	$3/4\$	enantiomorfinen
	heksoktaedri	O h	$m{\bar {3}}m$	${\tilde {6}}/4$	sentrosymmetrinen

Hilaluokitus

Syngonia	Rohkea solun keskitystyyppi
Syngonia	primitiivinen	pohjakeskeinen _	vartalokeskeinen _	kasvojen keskellä	kaksinkertaisesti vartalokeskeinen _
Triclinic ( suuntaissärmiö )
Monoklininen ( prisma , jonka pohjassa on suunnikas )
rombinen ( suorakaiteen muotoinen suuntaissärmiö )
Nelikulmainen ( suorakulmainen suuntaissärmiö , jonka pohjassa on neliö )
Kuusikulmainen ( prisma , jonka pohja on säännöllinen keskitetty kuusikulmio)
Trigonaalinen (tasasivuinen suuntaissärmiö - romboedri )
kuutio ( kuutio )

Historia

Ensimmäisen kiteiden geometrisen luokituksen antoivat itsenäisesti Christian Weiss ja Friedrich Moos 1800-luvun alussa. Molemmat tutkijat luokittelivat kiteet niiden ulkomuodon (leikkauksen) symmetrian mukaan. Tässä tapauksessa Weiss itse asiassa esittelee kristallografisen akselin (symmetria-akselin) käsitteen. Weissin mukaan "Akseli on viiva, joka hallitsee koko kiteen hahmoa, koska kaikki sen ympärillä olevat osat sijaitsevat samalla tavalla ja suhteessa siihen ne vastaavat toisiaan keskenään" [13] . Teoksessaan "A Visual Representation of the Natural Divisions of Crystallization Systems" Weiss luokitteli kiteet akselien läsnäolon perusteella neljään suureen kidemuotojen osaan, "kiteytysjärjestelmiin", jotka vastaavat nykyaikaista syngonian käsitettä [14] . Nykyaikaiset nimet on annettu suluissa.

Osa 1 - "oikea", "palloedraalinen", "tasaakselinen", "ekvinomaalinen" (kuutio) järjestelmä: kolme ulottuvuutta ovat samat muodostaen suoran kulman keskenään.
- alaosasto homosferoedrinen järjestelmä (m 3 m symmetriakiteitä )
- alaosasto puolipallojärjestelmä (symmetriakiteet 432, 43m ja m 3 )
Osa 2 - "nelijäseninen" (nelikulmainen) järjestelmä: akselit muodostavat keskenään suoran kulman, kaksi akselia ovat keskenään samansuuruisia eivätkä yhtä suuria kuin kolmas.
Osa 3 - "kaksitermininen" järjestelmä: kaikki kolme akselia ovat eriarvoisia ja muodostavat suoran kulman keskenään.
- alajakso "kaksi ja kaksi termiä" (rombinen) järjestelmä
- alajakso "kaksi ja yksi termi" (monokliininen) järjestelmä
- alajakso "yhden ja yhden jäsenen" (triclinic) järjestelmä
4 leikkaus - yksi epätasainen akseli on kohtisuorassa kolmea yhtä suurta akselia vastaan muodostaen 120° kulmat keskenään.
- alajakso "kuusijäseninen" (kuusikulmainen) järjestelmä:
- alajakso "kolmi- ja kolmijäseninen" tai "romboedrinen" (trigonaalinen) järjestelmä:

Monokliinisten ja trikliinisten syngonioiden osalta Weiss käytti suorakaiteen muotoista koordinaattijärjestelmää (nykyaikaiset kristallografiset koordinaattijärjestelmät näille syngonioille ovat vinoja).

Samoihin aikoihin Friedrich Moos kehitti kidejärjestelmien konseptin [15] . Jokaiselle järjestelmälle on tunnusomaista yksinkertaisin, "perusmuoto", kasvot, joista kaikki muut tämän järjestelmän muodot voidaan johtaa. Siten Mohs sai seuraavat neljä järjestelmää:

1. Romboedrinen järjestelmä (heksagonaalinen syngonia). Päämuoto on romboedri.
2. Pyramidaalinen järjestelmä (tetragonaalinen syngonia). Päämuoto on tetragonaalinen bipyramidi.
3. Tessulaarinen järjestelmä (kuutiomainen syngonia). Päämuodot ovat kuutio ja oktaedri.
4. Prismaattinen järjestelmä (rombinen syngonia). Päämuoto on rombinen bipyramidi.
- Hemiprismaattinen alajärjestelmä (monokliininen syngonia)
- Tetartoprismaattinen alajärjestelmä (trikliininen syngonia)

Kummassakin luokituksessa Weiss ja Moos tunnistavat vain neljä järjestelmää, vaikka kaikki kuusi syngoniaa on lueteltu, he pitävät vain monokliinistä ja trikliinistä syngoniaa rombisen järjestelmän alajärjestelminä. Oman lausuntonsa mukaan Moos kehitti tämän konseptin vuosina 1812-14, josta käytiin kiista Weissin kanssa kidejärjestelmien löytämisen tärkeydestä. Toisin kuin Weiss, Moos huomautti vinoakselijärjestelmän tarpeen monokliinisille ja trikliiniisille kiteille.

Vinokulmajärjestelmät kehitti ja otti lopulta kristallografiaan hänen oppilaansa Carl Friedrich Naumann . Naumann perusti luokittelunsa kristallografisiin akseleihin ja niiden välisiin kulmiin ja erotti siten ensimmäistä kertaa kaikki kuusi syngoniaa [16] [17] . Mielenkiintoista on, että Naumann käyttää jo vuonna 1830 syngonioiden nimiä, jotka ovat identtisiä tai lähellä nykyaikaisia (nimet tetragonal , hexagonal ja rombinen ehdotti alun perin Breithaupt).

1. Tesseral ( teksrasta - kuutio) - kaikki kolme koordinaattiakselien välistä kulmaa ovat suoria, kaikki kolme akselia ovat yhtä suuret.
2. Tetragonaalinen - kaikki kolme kulmaa ovat suorassa, kaksi akselia ovat yhtä suuret.
3. Kuusikulmainen - ainoa neliakselinen järjestelmä: yksi epätasainen akseli on kohtisuorassa kolmea yhtä suurta akselia vastaan muodostaen 60° kulmat keskenään.
4. Rombinen - kaikki kolme kulmaa ovat suorassa, kaikki akselit ovat eriarvoisia.
5. Monoklinohedral - kaksi suoraa kulmaa ja yksi vino.
6. Diklinoedri - kaksi vinokulmaa ja yksi suora.
7. Triklinoedrinen - kaikki kolme kulmaa ovat vinoja.

Koska tuolloin symmetriateoria oli vasta kehittymässä, järjestelmien luetteloon ilmestyi epätavallinen diklinoedrinen (diklininen) järjestelmä. Tällainen kidejärjestelmä on periaatteessa mahdoton kolmiulotteisessa avaruudessa, koska symmetria-akselin olemassaolo takaa aina koordinaattiakseleiksi valittujen akseliin nähden kohtisuorassa olevien translaatioiden olemassaolon. Dikliinijärjestelmä oli olemassa kristallografiassa noin puoli vuosisataa (tosin jo vuonna 1856 Dufrenois osoitti, että tämä oli vain erikoistapaus trikliinijärjestelmästä). Vuonna 1880 Dana mainitsee kuuluisassa kirjassaan "The System of Mineralogy" [18] "niin sanotun dikliinijärjestelmän", mutta huomauttaa samalla, ettei tiedetä yhtään tähän järjestelmään kuuluvaa luonnollista tai keinotekoista kristallia. ja että lisäksi on matemaattisesti todistettu, että kidejärjestelmiä on vain kuusi. Naumann itse uskoi dikliiniseen syngoniaan elämänsä loppuun asti, ja yhdeksännessä painoksessa Fundamentals of Mineralogy [19] , joka julkaistiin postuumisti vuonna 1874, tämä syngonia on edelleen luettelossa, vaikka Naumann huomauttaa, että tämä järjestelmä löytyy vain muutamia keinotekoisia suoloja, eikä harkitse sitä enempää.

Kristallografisten syngonioiden nimet 1800-luvun tekijöiden keskuudessa

Tekijä	kuutio	tetragonaalinen	Kuusikulmainen	Rombinen	Monoklininen	Triclinic
Weiss	Oikea, pallomainen, pallomainen, pallomainen, tasaakselinen, päiväntasainen	Nelijäseninen, kaksi ja yksi akseli	Kuusijäseninen, kolmi- ja yksiakselinen	Kaksi ja kaksi jäsentä, yksi ja yksi akseli	Kaksi- ja yksijäseninen	Yksi ja yksi termi
Moos	Tessular, Tessellar	Pyramidin muotoinen	Romboedraalinen	Prismaattinen, ortotyyppinen	Hemiprismaattinen, hemiortotyyppinen	Tetartoprismaattinen, anortotyyppi
Breithaupt		tetragonaalinen	Kuusikulmainen	Rombinen	Hemirhombinen	tetrarombinen
Nauman	tesseral	tetragonaalinen	Kuusikulmainen	Rombinen, anisometrinen	monoklinoedrinen, klinorombinen	Triklinoedrinen, triklinometrinen
Gausman	Isometrinen	Monodimetrinen	Monotrimetrinen	Trimetrinen, ortorombinen	klinorombinen, ortorombinen	klinohomboidi
Miller 1839	Octahedral	Pyramidin muotoinen	Romboedraalinen	Prisma	Vino prisma	Kaksoisviisto-prismaattinen
Gadolin	Oikea	Neliö	Kuusikulmainen	Rombinen	monoklinoedrinen	trikinoedrinen
Muut kirjoittajat	Tetrahedraalinen (Bedan), kuutio (Duprenois)	dimetrinen		Binääri (Quenstedt)	Monoklinometrinen (Frankenheim), Augite (Haidinger)	Triclinic (Frankenheim), Anorthic (Haidinger)

Ensimmäistä kertaa jako seitsemään kristallografiseen järjestelmään annettiin vuonna 1850 Auguste Bravais'n teoksessa "Muistelma tasossa tai avaruudessa säännöllisesti jakautuneista pistejärjestelmistä" [20] . Itse asiassa tämä on ensimmäinen jako, joka perustuu symmetriaelementteihin, ei koordinaattijärjestelmiin. Siksi kaikki aikaisemmat luokitukset vastaavat nykyistä syngonian määritelmää, kun taas Bravais-luokitus on kidejärjestelmien (tiukasti ottaen hilajärjestelmien) mukainen luokitus.

Bravais jakaa hilat niiden symmetriasta riippuen 7 järjestelmään (joukkoluokkiin).

1. Kolmen nelinkertainen (kuutiojärjestelmä)
2. Vaihteisto (kuusikulmainen järjestelmä)
3. Nelinkertainen (nelikulmainen järjestelmä)
4. Kolminkertainen (romboedrinen järjestelmä)
5. Tri-double (rombinen järjestelmä)
6. Kaksinkertainen (monokliininen järjestelmä)
7. Epäsymmetrinen (trikliininen järjestelmä)

Samaan aikaan Bravais itse toteaa, että jopa Hayuy jakoi kuusikulmaisen järjestelmän hilat (Naumannin luokituksen mukaan) "säännöllisen kuusikulmainen prisman synnyttämiin kiteisiin ja romboederisen ytimen synnyttämiin kiteisiin".

Ryhmien luokittelu moniulotteisissa tiloissa

1900-luvun jälkipuoliskolla tutkittiin ja luokiteltiin kristallografisia ryhmiä neli-, viisi- ja kuusiulotteisissa tiloissa. Kun ulottuvuus kasvaa, ryhmien ja luokkien määrä kasvaa merkittävästi [21] . Enantiomorfisten parien lukumäärä on annettu suluissa.

Tilan mitat:	yksi	2	3	neljä	5	6
Syngonioiden määrä	yksi	neljä	6	23 (+6)	32	91
Verkkojärjestelmien lukumäärä	yksi	neljä	7	33 (+7)	57	220
Kidejärjestelmien lukumäärä	yksi	neljä	7	33 (+7)	59	251
Bravais-ritilöiden lukumäärä	yksi	5	neljätoista	64 (+10)	189	841
Pisteryhmien lukumäärä	2	kymmenen	32	227 (+44)	955	7103
Tilaryhmien lukumäärä	2	17	219 (+11)	4783 (+111)	222018 (+79)	28927915 (+?) [22]

Neliulotteisessa avaruudessa yksikkösolun määrittää neljä sivua ( ) ja kuusi kulmaa niiden välillä ( ). Seuraavat niiden väliset suhteet määrittelevät 23 syngoniaa: $a,b,c,d$ $\alpha ,\beta ,\gamma ,\delta ,\epsilon ,\zeta$

Heksakliini: $a\neq b\neq c\neq d,\alpha \neq \beta \neq \gamma \neq \delta \neq \epsilon \neq \zeta \neq 90^{\circ }$
Triklinikka: $a\neq b\neq c\neq d,\alpha \neq \beta \neq \gamma \neq 90^{\circ },\delta =\epsilon =\zeta =90^{\circ }$
Diklinnaya: $a\neq b\neq c\neq d,\alpha \neq 90^{\circ },\beta =\gamma =\delta =\epsilon =90^{\circ },\zeta \neq 90^{\circ }$
Monoklinikka: $a\neq b\neq c\neq d,\alpha \neq 90^{\circ },\beta =\gamma =\delta =\epsilon =\zeta =90^{\circ }$
Ortogonaalinen: $a\neq b\neq c\neq d,\alpha =\beta =\gamma =\delta =\epsilon =\zeta =90^{\circ }$
Tetragonaalinen monokliininen: $a\neq b=c\neq d,\alpha \neq 90^{\circ },\beta =\gamma =\delta =\epsilon =\zeta =90^{\circ }$
Kuusikulmainen monokliininen: $a\neq b=c\neq d,\alpha \neq 90^{\circ },\beta =\gamma =\delta =\epsilon =90^{\circ },\zeta =120^{\circ }$
Ditetragonaalinen klinikka: $a=d\neq b=c,\alpha =\zeta =90^{\circ },\beta =\epsilon \neq 90^{\circ },\gamma \neq 90^{\circ },\delta = 180^{\circ }-\gamma$
Ditrigonal klinikka: $a = d \ne b = c, \alpha = \zeta = 120 ^\circ, \beta = \epsilon \ne 90 ^\circ, \gamma \ne \delta \ne 90 ^\circ, \cos \delta = \cos \beta - \cos \gamma$
Tetragonaalinen ortogonaalinen: $a\neq b=c\neq d,\alpha =\beta =\gamma =\delta =\epsilon =\zeta =90^{\circ }$
Kuusikulmainen ortogonaalinen: $a\neq b=c\neq d,\alpha =\beta =\gamma =\delta =\epsilon =90^{\circ },\zeta =120^{\circ }$
Ditetragonaalinen monokliininen: $a=d\neq b=c,\alpha =\gamma =\delta =\zeta =90^{\circ },\beta =\epsilon \neq 90^{\circ }$
Ditrigonaalinen monokliininen: $a = d \ne b = c, \alpha = \zeta = 120 ^\circ, \beta = \epsilon \ne 90 ^\circ, \gamma = \delta \ne 90 ^\circ, \cos \gamma = - \color{Black}\tfrac{1}{2} \cos \beta$
Ditetragonaalinen ortogonaalinen: $a=d\neq b=c,\alpha =\beta =\gamma =\delta =\epsilon =\zeta =90^{\circ }$
Kuusikulmainen tetragonaalinen: $a=d\neq b=c,\alpha =\beta =\gamma =\delta =\epsilon =90^{\circ },\zeta =120^{\circ }$
Kaksikulmainen ortogonaalinen: $a=d\neq b=c,\alpha =\zeta =120^{\circ },\beta =\gamma =\delta =\epsilon =90^{\circ }$
Kuutioinen ortogonaalinen: $a=b=c\neq d,\alpha =\beta =\gamma =\delta =\epsilon =\zeta =90^{\circ }$
Kahdeksankulmainen: $a=b=c=d,\alpha =\gamma =\zeta \neq 90^{\circ },\beta =\epsilon =90^{\circ },\delta =180^{\circ }-\alpha$
Dekagonaalinen: $a = b = c = d, \alpha = \gamma = \zeta \ne \beta = \delta = \epsilon, \cos \beta = -0,5 - \cos \alpha$
Kaksikulmainen: $a=b=c=d,\alpha =\zeta =90^{\circ },\beta =\epsilon =120^{\circ },\gamma =\delta \neq 90^{\circ }$
Di-isoheksagonaalinen ortogonaalinen: $a=b=c=d,\alpha =\zeta =120^{\circ },\beta =\gamma =\delta =\epsilon =90^{\circ }$
Ikosagonaalinen: $a = b = c = d, \alpha = \beta = \gamma = \delta = \epsilon = \zeta, \cos \alpha = -\color{Musta}\tfrac{1}{4}$
Hyperkuutio: $a=b=c=d,\alpha =\beta =\gamma =\delta =\epsilon =\zeta =90^{\circ }$

Syngonian, kidejärjestelmän ja hilajärjestelmän välinen yhteys neliulotteisessa avaruudessa on esitetty seuraavassa taulukossa [23] [24] . Tähdet merkitsevät enantiomorfisia järjestelmiä. Enantiomorfisten ryhmien (tai hilan) lukumäärä on annettu suluissa.

Syngonian numero	Syngonia	Kristallijärjestelmä	Järjestelmän numero	Pisteryhmien lukumäärä	Tilaryhmien lukumäärä	Bravais-ritilöiden lukumäärä	Hilajärjestelmä
minä	Heksakliini		yksi	2	2	yksi	Heksakliini P
II	Triclinic		2	3	13	2	Triclinic P, S
III	Diklinnaya		3	2	12	3	Klinikka P, S, D
IV	Monoklininen		neljä	neljä	207	6	Monoklininen P, S, S, I, D, F
V	ortogonaalinen	Akseliton ortogonaalinen	5	2	2	yksi	Ortogonaalinen KU
		Akseliton ortogonaalinen	5	2	112	kahdeksan	Ortogonaalinen P, S, I, Z, D, F, G, U
		Aksiaalinen ortogonaalinen	6	3	887	kahdeksan	Ortogonaalinen P, S, I, Z, D, F, G, U
VI	Tetragonaalinen monokliininen		7	7	88	2	Tetragonaalinen monokliininen P, I
VII	Kuusikulmainen monokliininen	Trigonaalinen monokliininen	kahdeksan	5	9	yksi	Kuusikulmainen monokliininen R
		Trigonaalinen monokliininen	kahdeksan	5	viisitoista	yksi	Kuusikulmainen monokliininen P
		Kuusikulmainen monokliininen	9	7	25	yksi	Kuusikulmainen monokliininen P
VIII	Ditetragonaalinen klinikka*		kymmenen	1 (+1)	1 (+1)	1 (+1)	Ditetragonaalinen diklinikka P*
IX	Ditrigonal diclinic*		yksitoista	2 (+2)	2 (+2)	1 (+1)	Ditrigonal diclinic P*
X	Tetragonaalinen ortogonaalinen	Käänteinen tetragonaalinen ortogonaalinen	12	5	7	yksi	Tetragonaalinen ortogonaalinen KG
		Käänteinen tetragonaalinen ortogonaalinen	12	5	351	5	Tetragonaalinen ortogonaalinen P, S, I, Z, G
		Pyörivä nelikulmainen ortogonaalinen	13	kymmenen	1312	5	Tetragonaalinen ortogonaalinen P, S, I, Z, G
XI	Kuusikulmainen ortogonaalinen	Trigonaalinen ortogonaalinen	neljätoista	kymmenen	81	2	Kuusikulmainen ortogonaalinen R, RS
		Trigonaalinen ortogonaalinen	neljätoista	kymmenen	150	2	Kuusikulmainen ortogonaalinen P, S
		Kuusikulmainen ortogonaalinen	viisitoista	12	240	2	Kuusikulmainen ortogonaalinen P, S
XII	Ditetragonaalinen monokliininen*		16	1 (+1)	6 (+6)	3 (+3)	Ditetragonaalinen monokliininen P, S, D*
XIII	Ditrigonaalinen monokliininen*		17	2 (+2)	5 (+5)	2 (+2)	Ditrigonaalinen monokliininen P, RR
XIV	Ditetragonaalinen ortogonaalinen	Krypto-ditragonaalinen ortogonaalinen	kahdeksantoista	5	kymmenen	yksi	Ditetragonaalinen ortogonaalinen D
		Krypto-ditragonaalinen ortogonaalinen	kahdeksantoista	5	165 (+2)	2	Ditetragonaalinen ortogonaalinen P, Z
		Ditetragonaalinen ortogonaalinen	19	6	127	2	Ditetragonaalinen ortogonaalinen P, Z
XV	Kuusikulmainen tetragonaalinen		kaksikymmentä	22	108	yksi	Kuusikulmainen tetragonaalinen P
XVI	Kaksikulmainen ortogonaalinen	Krypto-ditrigonaalinen ortogonaalinen*	21	4 (+4)	5 (+5)	1 (+1)	Kaksikulmainen ortogonaalinen G*
		Krypto-ditrigonaalinen ortogonaalinen*	21	4 (+4)	5 (+5)	yksi	Diheksagonaalinen ortogonaalinen P
		Kaksikulmainen ortogonaalinen	23	yksitoista	kaksikymmentä
		Ditrigonaalinen ortogonaalinen	22	yksitoista	41
		Ditrigonaalinen ortogonaalinen	22	yksitoista	16	yksi	Diheksagonaalinen ortogonaalinen RR
XVII	Kuutioinen ortogonaalinen	Yksinkertainen kuutiomainen ortogonaalinen	24	5	9	yksi	Kuutioinen ortogonaalinen KU
		Yksinkertainen kuutiomainen ortogonaalinen	24	5	96	5	Kuutioinen ortogonaalinen P, I, Z, F, U
		Monimutkainen kuutiomainen ortogonaalinen	25	yksitoista	366	5	Kuutioinen ortogonaalinen P, I, Z, F, U
XVIII	Kahdeksankulmainen*		26	2 (+2)	3 (+3)	1 (+1)	Kahdeksankulmainen P*
XIX	Dekagonaalinen		27	neljä	5	yksi	Dekagonaalinen P
XX	Kaksikulmainen*		28	2 (+2)	2 (+2)	1 (+1)	Kaksikulmainen P*
XXI	Di-isoheksagonaalinen ortogonaalinen	Yksinkertainen di-isoheksagonaalinen ortogonaalinen	29	9 (+2)	19 (+5)	yksi	Di-isoheksagonaalinen ortogonaalinen RR
		Yksinkertainen di-isoheksagonaalinen ortogonaalinen	29	9 (+2)	19 (+3)	yksi	Di-isoheksagonaalinen ortogonaalinen P
		Monimutkainen di-isoheksagonaalinen ortogonaalinen	kolmekymmentä	13 (+8)	15 (+9)	yksi	Di-isoheksagonaalinen ortogonaalinen P
XXII	Ikosagonaalinen		31	7	kaksikymmentä	2	Ikosagonaalinen P, SN
XXIII	hyperkuutio	Kahdeksankulmainen hyperkuutio	32	21 (+8)	73 (+15)	yksi	Hyperkuutio P
		Kahdeksankulmainen hyperkuutio	32	21 (+8)	107 (+28)	yksi	Hypercubic Z
		Kaksikulmainen hyperkuutio	33	16 (+12)	25 (+20)	yksi	Hypercubic Z
Kaikki yhteensä:	23 (+6)	33 (+7)		227 (+44)	4783 (+111)	64 (+10)	33 (+7)

Katso myös

Muistiinpanot

↑ Crystal perhe - Online Dictionary of Crystallography . Haettu 22. helmikuuta 2009. Arkistoitu alkuperäisestä 21. maaliskuuta 2013. (määrätön)
↑ Crystal system - Online Dictionary of Crystallography . Haettu 22. helmikuuta 2009. Arkistoitu alkuperäisestä 21. maaliskuuta 2013. (määrätön)
↑ Lattice system - Online Dictionary of Crystallography . Haettu 29. huhtikuuta 2013. Arkistoitu alkuperäisestä 29. huhtikuuta 2013. (määrätön)
↑ Shubnikov A. V., Bokiy G. B., Flint E. E., Kristallografian perusteet, Neuvostoliiton tiedeakatemian kustantamo, 1940
↑ Zagalskaya Yu.G., Litvinskaya G.P., Egorov-Tismenko Yu.K. Geometrinen kristallografia. - M . : Moskovan yliopiston kustantamo, 1986. - 168 s.
↑ "Yu.K. Egorov-Tismenko, G.P. Litvinskaya, Theory of Crystal Symmetry, GEOS, 2000. Luku III. Koordinaatit, kategoriat, syngoniat." . Haettu 12. tammikuuta 2021. Arkistoitu alkuperäisestä 13. tammikuuta 2021. (määrätön)
↑ Fedorov E. S., Kristallografian kurssi. Ed. 3., 1901 verkossa
↑ Holohedry - Online Dictionary of Crystallography . Käyttöpäivä: 30. tammikuuta 2013. Arkistoitu alkuperäisestä 21. maaliskuuta 2013. (määrätön)
↑ de Wolff et al., Crystal perheiden nimikkeistö, Bravais-hilatyypit ja aritmeettiset luokat, Acta Cryst. (1985). A41, 278-280. verkossa Arkistoitu 27. tammikuuta 2013 Wayback Machinessa
↑ Weinstein B.K. Nykyaikainen kristallografia. Osa 1. Kiteiden symmetria, rakennekristallografian menetelmät. Nauka, Moskova, 1979.
↑ Sirotin Yu.I., Shaskolskaya M.P. Kristallifysiikan perusteet. Nauka, Moskova, 1979.
↑ Flint E.E. Käytännön opas geometriseen kristallografiaan. 3. painos, käännetty. ja lisäksi, Gosgeoltekhizdat, Moskova, 1956.
↑ CS Weiss De indagando formarum crystallinarum charactere geometrico Principi dissertatio. Lipsiae [Leipzig] 1809
↑ C.S. Weiss : Ueber die natürlichen Abtheilungen der Crystallisations Systeme. Abhandl. k. Akad. Wiss., Berliini 1814-1815, S. 290-336.
↑ Friedrich Mohs : Grund-Riß der Mineralogie. Erster Tail. Terminologia, systematiikka, nimistö, ominaisuudet. Dresden 1822
↑ Carl Friedrich Naumann , Lehrbuch der Mineralogie Mineralogie, 1828 verkossa
↑ Carl Friedrich Naumann , Lehrbuch der reinen und angewandten Krystallographie, 1830 verkossa
↑ Edward Salisbury Dana, James Dwight Dana, Minerologian oppikirja, 1880 verkossa
↑ Carl Friedrich Naumann, Elemente der mineralogie, 1874 verkossa
↑ Bravais, A. (1850) Mémoire sur les systèmes formés par les points distribués régulièrement sur un plan ou dans l'espace. Journal de L'Ecole Polytechnique.
↑ B. Souvignier: "Kristallografisten ryhmien enantiomorfismi korkeammissa ulottuvuuksissa, jolloin mitat ovat jopa 6". Acta Crystallographica Section A, osa 59, s. 210-220, 2003.
↑ CARATin kotisivu . Käyttöpäivä: 5. toukokuuta 2015. Arkistoitu alkuperäisestä 5. maaliskuuta 2016. (määrätön) Osa Souvignierin (2003) kuusiulotteisen avaruuden laskelmista perustui CARAT-ohjelman virheelliseen versioon.
↑ EJW Whittaker, Neliulotteisten kideluokkien hyperstereogrammien kartasto. Clarendon Press (Oxford Oxfordshire ja New York) 1985.
↑ H. Brown, R. Bülow, J. Neubüser, H. Wondratschek ja H. Zassenhaus, Crystallographic Groups of Four-Dimensional Space. Wiley, NY, 1978.

Linkit

Sanasto Kansainvälisen kristallografien liiton verkkosivuilla

Syngonia
Symmetria
alin luokka	Triclinic järjestelmä Monoklininen syngonia Rombinen järjestelmä
Keskiluokka _	Tetragonaalinen järjestelmä Trigonaalinen järjestelmä (romboedrinen) Kuusikulmainen syngonia
Huippuluokka _	Kuutiojärjestelmä
Katso myös	Kristallirakenne Pearson symboli pisteryhmä Kristallografinen pistesymmetriaryhmä Kristallografinen ryhmä
Kristallografia