Kolmion piirretyt ja rajatut luvut

Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 17.6.2022 tarkistetusta versiosta . tarkastukset vaativat 10 muokkausta .

Kolmion geometrian tärkeä osa on teoria kolmioon piirretyistä tai sen ympärille kuvatuista kuvioista ja käyristä - ympyrät , ellipsit ja muut.

Kolmion piirretyt ja rajatut ympyrät

Kolmion kärkien läpi kulkevat ympyrät

• Rajoitettu ympyrä (katso kuva vasemmalla) on ympyrä, joka kulkee kolmion kaikkien kolmen kärjen kautta. Rajoitettu ympyrä on aina ainutlaatuinen, ellei kolmio ole erityisellä tavalla degeneroitunut, toisin sanoen kaksi sen kolmesta kärjestä ei kohtaa.

• Johnson-ympyrä - mikä tahansa kolmesta ympyrästä (katso oikealla oleva kuva), joka kulkee kolmion kahden kärjen ja sen ortosentin läpi . Kaikkien kolmen Johnson-ympyrän säteet ovat yhtä suuret. Johnsonin ympyrät ovat Hamiltonin kolmioiden rajattuja ympyröitäjoissa on tietyn teräväkulmaisen kolmion kaksi kärkeä kahtena kärjenä ja jonka ortosentti on kolmas kärki .

Kolmion sivuja koskettavat ympyrät tai niiden jatkeet

• Piirretty ympyrä (katso kuvaa oikealla) on ympyrä , joka tangentti kolmion kaikkia kolmea sivua. Hän on ainoa. Piirretyn ympyrän keskustaa kutsutaan keskipisteeksi .
  • Janat, jotka yhdistävät piirretyn ympyrän tangenttipisteet kärkipisteisiin, leikkaavat yhdessä pisteessä, jota kutsutaan Gergonnen pisteeksi . Gergonnen piste on isotomisesti konjugoitu Nagel-pisteeseen (katso alla).
• Ulkoympyrä (katso kuva oikealla) on ympyrä, joka tangentti kolmion toista sivua ja kahden muun sivun jatke. Kolmiossa on kolme tällaista ympyrää. Niiden radikaalikeskus on mediaanikolmion piirretyn ympyrän keskus , jota kutsutaan Spiekerin keskukseksi tai Spiekerin pisteeksi .
  • Janat, jotka yhdistävät kärjet excirclen ja kärkien tangenttipisteiden kanssa, leikkaavat yhdessä pisteessä, jota kutsutaan Nagel-pisteeksi .

• Malfattin kolmion kolme ympyrää (katso kuva oikealla). Jokainen näistä koskettaa kolmion kahta sivua ja kahta muuta Malfatti-ympyrää .
  • Jos piirrät kolme suoraa viivaa, jotka yhdistävät jokaisen Malfatti-ympyrän keskikohdan kahden muun kosketuspisteeseen, ne leikkaavat yhdessä pisteessä - Ajima-Malfatti-pisteessä (Ajima-Malfatti) [1] .

• Kolme puolikirjoitettua ympyrää tai Verrier-ympyrää (katso kuva vasemmalla). Jokainen niistä koskettaa sisäisesti kolmion kahta sivua ja ympyrää .
  • Janat, jotka yhdistävät kolmion kärjet ja vastaavat Verrier-ympyrän ja ympyrän tangenttipisteet , leikkaavat yhdessä pisteessä, jota kutsutaan Verrier-pisteeksi . Se toimii homoteetin G keskipisteenä, joka kuvaa rajatun ympyrän sisäympyrään (katso harmaa kuva alla).

• Verrierin lemma [2] . Verrier-ympyröiden ( puoliympyröiden) ja sivujen tangenttipisteet sijaitsevat suoralla linjalla, joka kulkeeympyrän keskipisteen () läpi (katso harmaa kuva alla).

Piirrettyjen ja rajattujen ympyröiden säteet

Seuraavat kaavat sisältävät rajatun R- ja piirretyn r - ympyrän säteet:

,

missä on kolmion puolikehä, h a jne., vastaaville sivuille piirretyt korkeudet; [3] :s.70

[neljä]

ja

.

Kolmion kahden sivun tulo on yhtä suuri kuin korkeus kerrottuna kolmannella sivulla rajatun ympyrän halkaisijalla. [3] :s.64 :

.

• Jos mediaani m , korkeus h ja sisäpuolittaja t tulevat samasta kolmion kärjestä, jonka ympärille on rajattu säde R , niin [3] :s.122,#96

Ympyrät koskettavat toisiaan kolmion sisällä

• Kolme Malfatti-ympyrää koskettavat toisiaan pareittain kolmion sisällä. (Katso edellä)
• Yhdeksän pisteen ympyrä tai Eulerin ympyrä tangenttikolmion sisällä olevalle incirclelle Feuerbachin pisteessä .

Ympyrät, jotka ovat keskenään tangentteja kolmion ulkopuolella

• Kolme Verrier-ympyrää tangenttia kolmion ulkopuolella olevaa rajattua ympyrää .
• Yhdeksän pisteen ympyrä eli Eulerin ympyrä tangentti kolmea kolmion ulkopuolista excircleä ulkoisella tavalla ( Feuerbachin lause , katso kuva).

• Apolloniuksen ympyrä koskettaa sisäisesti kolmea kolmion ulkopuolista kehää (katso kuva)

• Kolme Johnson-ympyrää (katso yllä) ovat ulkoisesti tangentti kolmion ΔABC antikomplementaariseen ympyrään (punainen yllä olevassa kuvassa oikealla, säde 2r). Johnsonin ympyröiden keskipisteet sijaitsevat segmenteillä (oranssi), jotka yhdistävät korkeuksien H yhteisen leikkauspisteen ja näiden kolmen ympyrän kosketuspisteet antikomplementaariseen ympyrään. . Nämä kosketuspisteet muodostavat antikomplementaarisen tai (joka on sama) antikomplementaarisen kolmion (vihreä yllä olevassa kuvassa).

Muut piirit

• Kuuden kolmion, joihin kolmio on jaettu mediaanilla, rajattujen ympyröiden keskipisteet sijaitsevat yhdellä ympyrällä, jota kutsutaan Lamunin ympyräksi .

• Jos jokaisesta kärjestä asetetaan kolmiot suorille viivoille, jotka sisältävät sivuja, vastakkaisten sivujen pituisia segmenttejä, tuloksena saadut kuusi pistettä ovat yhdellä ympyrällä - Conway-ympyrällä .

Ympyrät, jotka leikkaavat kolmion sivut

• Yhdeksän pisteen ympyrä on ympyrä, joka kulkee kolmion kaikkien kolmen sivun keskipisteiden ja sen korkeuksien kolmen kannan läpi.
• Taylor-ympyrä on ympyrä, joka kulkee kuuden pisteen läpi kuusi projektiota kolmion korkeuden kolmesta kantasta, jotka leikkaavat molemmat sivut kahdelle jäljellä olevalle sivulle.

Kartion perspektiivin määritelmä

• Kolmioon voidaan kirjoittaa äärettömän monta kartiota ( ellipsiä , paraabelia tai hyperbolia ).
• Jos mielivaltainen kartio on kirjoitettu kolmioon ja kosketuspisteet on kytketty vastakkaisiin pisteisiin, tuloksena olevat suorat leikkaavat yhdessä pisteessä, jota kutsutaan kartion perspektiiviksi .
• Jokaiselle tason pisteelle, joka ei ole sivulla tai sen jatkeella, on piirretty kartio , jossa on perspektiivi tässä pisteessä [5] .

Kolmion ellipsit

Steiner-ellipsin määritelmä

• Kolmioon voidaan kirjoittaa ääretön määrä ellipsejä . Lisäksi kunkin kirjoitetun ellipsin fokukset ovat isogonaalisesti konjugoituja.
• Yksittäinen ellipsi voidaan kirjoittaa kolmioon, joka koskettaa sivuja niiden keskipisteissä. Tällaista ellipsiä kutsutaan sisäänkirjoitetuksi Steiner-ellipsiksi (sen perspektiivi on kolmion painopiste ) [6] .
• "Kartion perspektiivin määrittäminen " (mukaan lukien kartio-ellipsi) katso yllä .

Rajoitettu Steiner-ellipsin määritelmä

• Kolmion ympärille voidaan rajata ääretön määrä ellipsejä .
• Kolmion lähellä voidaan kuvata yksittäinen ellipsi , joka on tangentti kärkien läpi kulkeville ja sivujen suuntaisille viivoille. Tällaista ellipsiä kutsutaan rajoitetuksi Steiner-ellipsiksi .
• Kuvatun Steiner-ellipsin polttopisteitä kutsutaan Skutin-pisteiksi .
• Cevians , jotka on piirretty rajatun Steiner-ellipsin polttopisteiden läpi ( Skutinin pisteet ) ovat yhtä suuret ( Skutinin lause )

Steinerin ellipsin affiinimuunnos

• Jos affiinilla muunnolla ("vino") muunnetaan mielivaltainen skaalattu kolmio säännölliseksi kolmioksi , niin sen sisäänkirjoitetut ja rajatut Steinerin ellipsit menevät sisäänkirjoitetuiksi ja rajattuiksi ympyröiksi [7] .

Brocardin ellipsi

• Ellipsiä , jonka pisteet ovat Brocardin pisteissä , kutsutaan Brocardin ellipsiksi . Sen perspektiivi on Lemoinen piste [8] .

Ellipsi Mandart (Mandart inellipsi)

• Kolmion ABC ellipsi Mandart (tai Mandara) - kolmioon piirretty ellipsi, joka koskettaa sen sivuja ulokkeiden kosketuspisteissä( Nagelin kolmion kärjessä ) (katso kuva oikealla).
• Nagelin kolmion T A T B T C ympärillä kuvattua ympyrää kutsutaan Mandartin ympyräksi ( Mandartin ellipsin erikoistapaus ).

Johnsonin ellipsi

• Kuusi pistettä - vertailukolmion kärjet ja sen Johnson-kolmion kärjet - sijaitsevat Johnsonin ellipsissä (kuva vasemmalla), jonka keskipiste on yhdeksän pisteen keskellä ja vertailupisteen piste X (216). kolmio on sen perspektiivipiste . Piirretyllä ellipsillä ja rajatulla ympyrällä on neljä yhteistä pistettä - kolme vertailukolmion kärkeä ja piste X (110).

Kolmioon piirretyn mielivaltaisen ellipsin relaatio

Jos kolmioon ABC on kirjoitettu mielivaltainen ellipsi ja sen polttopisteet P ja Q , niin sille pätee relaatio [9] :

Kolmioon kaiverretut paraabelit

• Kolmioon voidaan kirjoittaa ääretön määrä paraabeleja .

• Kolmioon piirrettyjen paraabelien perspektiivit sijaitsevat kuvatulla Steinerin ellipsillä (katso edellä) [10] . Piirretyn paraabelin painopiste on rajatussa ympyrässä ja suuntaviiva kulkee ortosenterin läpi [11] .

Kiepertin paraabeli

Paraabelia , joka on piirretty kolmioon , jossa on Euler-viivan suuntaviiva, kutsutaan Kiepertin paraabeliksi . Sen perspektiivi on rajatun ympyrän ja rajatun Steiner-ellipsin  neljäs leikkauspiste , jota kutsutaan Steiner-pisteeksi .

Kolmion ympärille piirretyt hyperbelit

• Lähellä kolmiota voidaan kuvata äärettömän monta hyperbolaa .
• Jos kolmion lähellä kuvattu hyperbola kulkee korkeuksien leikkauspisteen läpi, niin se on tasasivuinen (eli sen asymptootit ovat kohtisuorassa) [12] . Tasasivuisen hyperbolin asymptoottien leikkauspiste on yhdeksän pisteen ympyrällä [12] .

Cypertin hyperboli

• Kiepert-hyperboli on rajattu hyperboli , joka kulkee sentroidin ja ortosentin läpi . Jos rakennat samanlaisia ​​tasakylkisiä kolmioita kolmion sivuille (ulos- tai sisäänpäin) ja yhdistät sitten niiden kärjet alkuperäisen kolmion vastakkaisiin pisteisiin, niin kolme tällaista viivaa leikkaavat yhdessä pisteessä Kiepertin hyperbelin päällä . Erityisesti tässä hyperbolissa sijaitsevat Torricelli-pisteet ja Napoleon- pisteet (Cevian-leikkauspisteet, jotka yhdistävät kärjet vastakkaisille puolille rakennettujen säännöllisten kolmioiden keskusten kanssa) [13] .

Enzhabekin hyperboli

• Enzhabek-hyperboli on rajattu hyperboli, joka kulkee ortosentin ja Lemoine-pisteen kautta . Sen päällä on rajatun ympyrän keskipiste .

Feuerbachin hyperbola ja Feuerbachin piste

• Feuerbachin hyperboli on piirretty hyperbola, joka kulkee piirretyn ympyrän ortosentin ja keskustan läpi . Sen keskus sijaitsee Feuerbach-pisteessä . Feuerbachin hyperbelin piste- ja cevian-ympyrät kulkevat Feuerbach-pisteen läpi .
• Erityisesti ympyrä kulkee Feuerbach-pisteen läpi, joka on piirretty puolittajien kantojen läpi . [neljätoista]

Yhdeksän pisteen kartio

Täydellisen nelikulmion yhdeksän pisteen kartio on kartioleikkaus, joka kulkee kolmen lävistäjäpisteen ja kuuden kokonaisen nelikulmion sivujen keskipisteen läpi. Kuvassa Bocherin kartio täydellisen nelikulmion neljälle pisteelle esitetään kolmion kolmena kärjenä ja yhtenä riippumattomana pisteenä:

Olkoon kolmio ABC ja piste P tasossa. Kartioleikkaus voidaan piirtää seuraavien yhdeksän pisteen kautta: kolmion ABC sivujen keskipisteet , P :n ja kolmion kärkeen yhdistävien janan keskipisteet, pisteet, joissa nämä P :n ja kolmion kärkien kautta kulkevat suorat leikkaavat kolmion sivut.

• Kuuluisa yhdeksän pisteen ympyrä on esimerkki Bocherin kartiosta .

Kuutiot

• Kolmiokuutioiden luettelo) on online-resurssi, joka sisältää yksityiskohtaista tietoa yli 1200 kuutiokäyrästä vertailukolmion tasolla. Resurssia ylläpitää Bernard Gilbert. Jokaiselle resurssin kuoleelle on määritetty yksilöllinen tunnistenumero muotoa "Knnn", jossa "nnn" tarkoittaa kolmea numeroa. Hakemiston ensimmäisen merkinnän tunnistenumero on "K001", joka on viitekolmion ABC Neubergin kuutio . Luettelo sisältää muun muassa seuraavat tiedot jokaisesta alla luetellusta kuutiosta:
• Barysentrinen käyräyhtälö
• Luettelo käyrällä sijaitsevien kolmioiden keskipisteistä
• Käyrän yksittäispisteet, jotka eivät ole kolmion keskipisteitä
• Käyrän geometriset ominaisuudet
• Käyräpaikan ominaisuudet
• Muita erityisiä käyrän ominaisuuksia
• Muut kuutiokäyrään liittyvät käyrät
• Paljon siistejä ja siistejä hahmoja, jotka havainnollistavat erilaisia ​​ominaisuuksia
• Käyräkirjallisuusviitteet

• Kuutio ( kuutiokäyrä ) on kolmannen asteen käyrä (joka on annettu kolmannen asteen yhtälöllä). Monet kolmioon liittyvistä upeista kuutioista on rakennettu seuraavalla tavalla: piste tasossa (mahdollisesti äärettömässä) on kiinteä. Sitten joukko pisteitä siten, että viiva kulkee tämän pisteen kautta, on kolmion ympärille rajattu kuutio (tässä piste, joka on isogonaalisesti konjugoitu ). Tällaiset kuutiot kulkevat myös sisäänkirjoitettujen ja ulkoisten ympyröiden keskipisteiden sekä itse kiinteän pisteen ja sen isogonaalisen konjugaatin läpi [15] .

• Darboux-kuutio saadaan kiinnittämällä piste, joka on symmetrinen ortosentriin nähden rajatun ympyrän keskustaan ​​nähden. Se kulkee pisteiden läpi: incenter , orthosenter , rajatun ympyrän keskipiste, Longchampsin piste X(20), muut pisteet sekä myös kärkien A, B, C, excircles keskusten läpi, kärkien antipodien kautta A, B, C rajatulla ympyrällä. Se kulkee ortosentin ja rajatun ympyrän keskikohdan läpi. Listassa Darboux'n kuution Gibertin kolmion (Bernard Gibert) tasossa oleva kuutio on listattu nimellä K004 [16] .
• Luken kuutio . Se kulkee pisteiden läpi: sentroidi , ortokeskiö , Gergonnen piste , Nagel piste , Longchamp piste , antikomplementaarisen kolmion kärjet ja kuvatun Steinerin ellipsin polttopisteiden läpi ja muut. Lucas -kuution kolmiotasossa oleva kuutio on luettelossa K007 [ 17] .
• McKay-kuutio saadaan, jos otamme rajatun ympyrän keskipisteen kiinteänä pisteenä. Se kulkee myös ortosentin ja rajatun ympyrän keskikohdan läpi.
• Napoleon-Feuerbachin kuutio . Se kulkee pisteiden läpi: keskipiste , ortokeskiö , rajatun ympyrän keskipiste, Gergonnen piste , Nagel -piste , Longchamp-piste , ensimmäinen ja toinen Napoleon-piste , muut pisteet, sekä pisteiden A, B, C kautta sekä excircle-keskipisteet, sentroidiprojektiot korkeuksiin, kuuden tasasivuisen kolmion keskipisteet, jotka on rakennettu kolmion ABC sivuille (ulkoisesti tai sisäisesti). Listassa Napoleon-Feuerbach-kuution kolmion tasossa oleva kuutio on listattu nimellä K005 [18] .
• Neubergin kuutio on joukko pisteitä , jotka ovat Euler-viiva (sen piste äärettömässä on kiinteä). Tässä kuutiossa on yli 15 merkittävää pistettä, erityisesti Torricellin, Apolloniuksen pisteet, ortosentti, rajatun ympyrän keskipiste, säännöllisten kolmioiden kärjet, jotka on rakennettu sivuille (ulkoisesti tai sisäisesti), pisteet, jotka ovat symmetrisiä kärjet sivujen suhteen, kaksi Fermat-pistettä , kaksi isodynaamista pistettä , Eulerin ääretön piste sekä kaikilla kuutioilla olevien piirrettyjen ja excircles-pisteiden keskipisteet. Listassa Neubergin kuution kolmiotasossa oleva kuutio on merkitty K001 [19] .
• Thomson-kuutio saadaan valitsemalla keskipiste kiinteäksi pisteeksi. Thomson-kuutio kulkee sentroidin, Lemoine-pisteen, ortosenterin, rajatun ympyrän keskipisteen, sivujen keskipisteiden ja kärkien A, B, C korkeuksien keskipisteiden läpi ulkoympyrän keskipisteiden kautta. Luettelossa Thomsonin kuution kolmiotasossa oleva kuutio on listattu nimellä K002 [20] .
• Ensimmäinen Brocardin kuutio . Se kulkee pisteiden läpi: sentroidi , Lemoine -piste , Steiner-piste X(99), kaksi isodynaamista pistettä , Parry-piste ja muut sekä 1. ja 3. Brocardin kolmion kärkien läpi. Kolmion tasossa olevien kuutioiden luettelossa ensimmäinen Brocard-kuutio on listattu nimellä K017 [21] .
• Toinen Brocardin kuutio . Se kulkee pisteiden läpi: sentroidi , Lemoine-piste , kaksi Fermat-pistettä , kaksi isodynaamista pistettä , Parry-piste ja muut sekä 2. ja 4. Brocardin kolmion kärkien läpi. Kolmion tasossa olevien kuutioiden luettelossa toinen Brocard-kuutio on listattu nimellä K018 [22] .
• Ensimmäinen yhtä suuren pinta-alan kuutio (1. yhtä suuret alueet kuutio) . Se kulkee pisteiden läpi: incenter , Steiner-piste X(99), ensimmäinen ja toinen Brocard-piste , kolmion excircles-keskipisteet. Kolmion tasossa olevien kuutioiden luettelossa ensimmäinen samankokoinen kuutio on merkitty K021 [23] .
• Toinen yhtäläisten alueiden kuutio (2. yhtä suuret alueet kuutio) . Se kulkee pisteiden läpi: incenter , muut pisteet ja myös seuraavat kohdat Clark Kimberling Encyclopedia of Triangle Centers -merkinnässä : X(31), X(105), X(238), X(292), X(365) , X(672), X(1453), X(1931), X(2053) ja muut. Kolmion tasossa olevan kuution luettelossa toinen samanpintainen kuutio on K155 [24] .
• Kirjallisuudessa on kuvattu kaksi mielenkiintoista kuutiokäyrää , jotka kulkevat tukikolmion ja sen Johnson-kolmion kärkien sekä rajatun ympyrän keskipisteen , ortosenterin ja yhdeksän ympyrän keskipisteen läpi :
  • Ensimmäinen käyrä tunnetaan nimellä Musselmannin käyrä - K026 . Tämä käyrä kulkee myös Johnsonin kolmion mediaanikolmion ja mediaanikolmion kärkien läpi .
  • Toinen käyrä tunnetaan nimellä Eulerin keskikäyrä - K044 . Tämä käyrä kulkee myös kuuden pisteen läpi - Johnsonin kolmion korkeuksien ja korkeuksien kantat .

Tiettyyn kolmioon piirretyt monikulmiot

Tiettyyn kolmioon piirretyt kolmiot

• Kolmiota, jonka kärjet ovat kolmen tietyn pisteen läpi piirretyn cevianin kannassa , kutsutaan tämän pisteen cevian-kolmioksi .
• Kolmiota, jonka kärjet ovat tietyn pisteen projektioissa sivuille, kutsutaan tämän pisteen subdermaaliseksi tai pedaalikolmioksi .
• Kolmiota, jonka kärjet ovat kärkien ja tietyn pisteen läpi piirrettyjen viivojen toisessa leikkauspisteessä, ja jossa on rajattu ympyrä, kutsutaan kehä-cevian-kolmioksi . Lause : kehä-cevian kolmio on samanlainen kuin ihonalainen kolmio [25] .
• Tietyn kolmion ABC mediaanien A′B′C′ kantojen kolmiota , eli kolmiota, jonka kärjet ovat kolmion ABC sivujen keskipisteet , kutsutaan tälle kolmiolle lisä- eli keskipisteeksi .
• Ortokolmio on kolmio, jonka kärjet ovat kolmion korkeuksien kannassa. Ortokolmion sivut ovat samansuuntaiset annetun kolmion vastaavien sivujen kanssa.
• Kolmion ABC excircle tangenttikolmio (jota joskus kutsutaan Nagelin kolmioksi ) määritellään kärjeillä T A , T B ja T C , jotka ovat kolmion ABC vastaavien sivujen excircle - pisteiden tangenttipisteitä . Esimerkiksi piste T A on vastapäätä sivua A jne.
• Kolmion ABC Gergonnen kolmio määritellään kärjeillä T A , T B ja T C , jotka ovat piirretyn ympyrän tangenttipisteitä kolmion ABC vastaavien sivujen kanssa . Gergonnen kolmio T A T B T C tunnetaan myös kolmion ABC tangenttikolmiona .
• Mihin tahansa kolmioon ABC voidaan kirjoittaa 2 kolmiota, joiden 3 sivua on yhdensuuntainen kolmion ABC 3 puolittajan kanssa . Näillä kolmioilla on yhteinen Eulerin ympyrätyyppinen ympyrä, eli 6 niiden kärkeä on yhdellä ympyrällä. [26]

Tietyn vertailukolmion ympärille rajatut kolmiot

• Kolmiota A″B″C″ , jonka sivut kulkevat kolmion ABC kärkien läpi ja ovat samansuuntaiset sen vastakkaisten sivujen kanssa, kutsutaan antikomplementaariksi annetulle kolmiolle ABC .
• Jos kuvataan ympyrä tietyn teräväkulmaisen kolmion ∆ ABC ympärillä ja piirretään ympyrää tangentit kolmion kolmeen kärkeen, niin näiden viivojen leikkauspiste muodostaa suhteessa ns. tangentiaalisen kolmion Δ A′B′C′ annettuun kolmioon Δ ABC . Tangentiaalisen kolmion Δ A′B′C ′ sivut ovat samansuuntaiset annetun kolmion vastaavien vastakkaisten sivujen kanssa ja yhdensuuntaiset ortokolmion vastaavien sivujen kanssa .
• Jos tietyn kolmion ∆ ABC ulkopuolella piirretään kolme sen ulkopuolista puolittajaa sen kärkien läpi, niin ne leikkaavat excircles kolmessa keskipisteessä muodostaen kolmion, jossa on kolme ulompaa puolittajaa .

Muut kolmiot annetun viitekolmion sisällä

• Kolme suoran janaa, jotka yhdistävät ortokeskiön terävän kolmion kärkipisteisiin jakavat sen kolmeksi Hamiltonin kolmioksi , joilla on samat rajattujen ympyröiden säteet.
• Eulerin kolmio tai Feuerbachin kolmio on kolmio, jonka kärjet ovat kolmen janan keskipisteet, jotka yhdistävät ortokeskiön ja sen kärjet.

Tiettyyn viitekolmioon kirjoitetut neliöt

Jokaisessa teräväkulmaisessa kolmiossa on kolme merkittyä neliötä (neliöt on kirjoitettu siihen siten, että neliön kaikki neljä kärkeä ovat kolmion eri puolilla, joten kaksi niistä on samalla puolella ja siksi yksi neliön puoli osuu yhteen yhden kolmion osan kanssa, ja loput neliön kaksi kärkeä koskettavat vertailukolmion kahta jäljellä olevaa sivua). Suorakulmaisessa kolmiossa kaksi näistä neliöistä osuu yhteen ja niillä on kaksi sivua, jotka lähtevät kärjestä, jolla on kolmion suora kulma, ja kahden tällaisen samansuuntaisen neliön neljäs kärki on hypotenuusan keskipisteessä. Toisen tyyppisessä neliössä, joka on piirretty suorakulmaiseen kolmioon, on yksi sivu ja kaksi sen kärkeä hypotenuusalla, ja neliön kaksi jäljellä olevaa kärkeä ovat suorakulmaisen kolmion eri jaloilla. Siten suorakulmaisessa kolmiossa on vain kaksi erityyppistä sisäänkirjoitettua neliötä. Tylsässä kolmiossa on vain yksi sisäänkirjoitettu neliö, jonka sivu osuu yhteen kolmion pisimmän sivun osan kanssa. Tietyn kolmion sisällä kolmion pisin sivu sisältää kokonaan yhden piirretyn neliön sivuista. Jos piirretyn neliön sivun pituus on yhtä suuri kuin q a ja yksi sen sivuista on kokonaan kolmion, jonka pituus on a , sivulla ; tälle sivulle pudonnut korkeus on h a ja kolmion pinta-ala on S , sitten [27] [28]

Tiettyyn vertailukolmioon kirjoitetut kuusikulmiot

• Ensimmäinen (toinen) Lemoinen kuusikulmio on kuusikulmio, jonka ympärille voidaan rajata ympyrä. Sen kärjet ovat kuusi leikkauspistettä kolmion sivujen ja kolmen suoran kanssa, jotka ovat yhdensuuntaisia ​​(vastaavasti: anti-rinnakkaiset) sivujen kanssa ja jotka kulkevat sen Lemoine-pisteen kautta. Missä tahansa kolmiossa ensimmäinen (toinen) Lemoinen kuusikulmio on kolmion sisällä, jossa on kolme paria kärkipisteitä pareittain kolmion kummallakin puolella.
• Eulerin kuusikulmio on kuusikulmio, jonka ympärille voidaan rajata ympyrä ( Euler-ympyrä ). Sen kärjet ovat kuusi pistettä: kolme mediaanien kantaa ja kolme tämän vertailukolmion korkeuksien kantaa.

Katso myös

• Kierrä
• Rajoittamaton nelikulmio
• Kirjattu ympyrä
• Kaiverrettu kartiomainen leikkaus
• Piirretty pallo on piirretyn ympyrän yleistys.
• Kolmion korkeus
• Planimetrian sanasto
• Upeat suorat kolmiot
• Kolmion merkittäviä pisteitä
• Piirretyn ympyrän keskipiste tai keskipiste
• Ympyrä
• Rajoitettu ympyrä
• Rajoitettu nelikulmio
• Orthocenter
• Pisteen aste suhteessa ympyrään
• Kartanon lause
• kolmikulmainen lause
• Tebon lause 2 ja 3
• Harcourtin lause
• Apollonius huomauttaa
• Keskus
• Kolmion keskipiste
• Ellipsi Mandart
• Ellipsi Steiner

Muistiinpanot

1. ↑ Ajima-Malfatti Point . Haettu 22. toukokuuta 2016. Arkistoitu alkuperäisestä 5. elokuuta 2015. (määrätön)
2. ↑ Efremov D. Kolmion uusi geometria . - Odessa, 1902. - S. 130. - 334 s.
3. ↑ 1 2 3 Altshiller-Court, Nathan, College Geometry , Dover, 2007.
4. ↑ Longuet-Higgins, Michael S., "Kolmion säteen ja ympäryssäteen suhteesta", Mathematical Gazette 87, maaliskuu 2003, 119-120.
5. ↑ Akopyan A. V. , Zaslavsky A. A .. Toisen kertaluvun käyrien geometriset ominaisuudet. - 2. painos, täydentävä - 2011. - S. 108.
6. ↑ Akopyan A. V. , Zaslavsky A. A .. Toisen kertaluvun käyrien geometriset ominaisuudet. - 2. painos, täydentävä - 2011. - s. 54.
7. ↑ Akopyan A. V. , Zaslavsky A. A .. Toisen kertaluvun käyrien geometriset ominaisuudet. - 2. painos, täydentävä - 2011. - s. 55.
8. ↑ Akopyan A. V. , Zaslavsky A. A .. Toisen kertaluvun käyrien geometriset ominaisuudet. - 2. painos, liite .. - 2011. - s. 50.
9. ↑ Allaire, Patricia R.; Zhou, Junmin; ja Yao, Haishen, "Proving a 19th century ellipsi-identiteetti", Mathematical Gazette 96, maaliskuu 2012, 161-165.
10. ↑ Akopyan A. V. , Zaslavsky A. A .. Toisen kertaluvun käyrien geometriset ominaisuudet. - 2. painos, täydentävä - 2011. - s. 110.
11. ↑ Akopyan A. V. , Zaslavsky A. A .. Toisen kertaluvun käyrien geometriset ominaisuudet. - 2. painos, täydentävä - 2011. - S. 27-28.
12. ↑ 1 2 Akopyan A. V. , Zaslavsky A. A. . Toisen kertaluvun käyrien geometriset ominaisuudet. - 2. painos, täydennetty .. - M . : MTSNMO , 2011. - 148 s. - ISBN 978-5-94057-732-4 .
13. ↑ Akopyan A. V. , Zaslavsky A. A .. Toisen kertaluvun käyrien geometriset ominaisuudet. - 2. painos, täydentävä - 2011. - S. 125-126.
14. ↑ Akopyan A. V. , Zaslavsky A. A .. Toisen kertaluvun käyrien geometriset ominaisuudet. - 2. painos, täydentävä - 2011. - S. 105.
15. ↑ Prasolov V.V. Planimetrian tehtävät. — M .: MTsNMO , 2004.
16. ↑ K004 Berhard Gibertin kuutioissa kolmiotasossa // . Haettu 22. toukokuuta 2016. Arkistoitu alkuperäisestä 20. syyskuuta 2008. (määrätön)
17. ↑ K007 Berhard Gibertin kuutioissa kolmiotasossa // . Haettu 22. toukokuuta 2016. Arkistoitu alkuperäisestä 18. syyskuuta 2008. (määrätön)
18. ↑ K005 Berhard Gibertin kuutioissa kolmiotasossa // . Haettu 22. toukokuuta 2016. Arkistoitu alkuperäisestä 1. kesäkuuta 2010. (määrätön)
19. ↑ K001 Berhard Gibert's Cubicsissa kolmiotasossa // (linkki ei ole käytettävissä) . Haettu 22. toukokuuta 2016. Arkistoitu alkuperäisestä 20. elokuuta 2009. (määrätön) 
20. ↑ K002 Berhard Gibertin kuutioissa kolmiotasossa // . Haettu 22. toukokuuta 2016. Arkistoitu alkuperäisestä 22. lokakuuta 2009. (määrätön)
21. ↑ K017 Berhard Gibertin kuutioissa kolmiotasossa // . Haettu 22. toukokuuta 2016. Arkistoitu alkuperäisestä 20. syyskuuta 2008. (määrätön)
22. ↑ K018 Berhard Gibertin kuutioissa kolmiotasossa // . Haettu 22. toukokuuta 2016. Arkistoitu alkuperäisestä 20. syyskuuta 2008. (määrätön)
23. ↑ K021 Berhard Gibertin kuutioissa kolmiotasossa // . Haettu 22. toukokuuta 2016. Arkistoitu alkuperäisestä 20. syyskuuta 2008. (määrätön)
24. ↑ K155 Berhard Gibertin kuutioissa kolmiotasossa // . Haettu 22. toukokuuta 2016. Arkistoitu alkuperäisestä 20. syyskuuta 2008. (määrätön)
25. ↑ Geometrian tehtäväjärjestelmä R. K. Gordin. Tehtävä 6480 . Haettu 23. toukokuuta 2016. Arkistoitu alkuperäisestä 4. maaliskuuta 2016. (määrätön)
26. ↑ Dmitri Efremov . Uusi kolmiogeometria arkistoitu 25. helmikuuta 2020 Wayback Machinessa . - Odessa, 1902. - S. 26. Luku I. Harjoitukset. s.33
27. ↑ Bailey, Herbert ja DeTemple, Duane, "Kulmiin ja kolmioihin piirretyt neliöt", Mathematics Magazine 71(4), 1998, 278–284.
28. ↑ Victor Oxman ja Moshe Stupel, "Miksi neliöiden sivupituudet on merkitty kolmioon niin lähellä toisiaan?", Forum Geometricorum 13 (2013) 113–115. http://forumgeom.fau.edu/FG2013volume13/FG201311index.html Arkistoitu 9. joulukuuta 2017 Wayback Machinessa

Kirjallisuus

• Hadamard J. Alkeinen geometria. Osa 1: Planimetria. Ed. 4th, Moskova: Uchpedgiz, 1957. 608 s.
• Vygodsky M. Ya. Perusmatematiikan käsikirja. - M .: Nauka, 1978.
  • Uudelleenjulkaisu: M.: AST, 2006, ISBN 5-17-009554-6 , 509 s.
• Efremov D. Uusi kolmion geometria . - Odessa, 1902. - 334 s.
• Efremov D.D. Kolmion uusi geometria. Ed. 2. Sarja: Physical and Mathematical Heritage (painoksen uusintapainos). . - Moskova: Lenand, 2015. - 352 s. - ISBN 978-5-9710-2186-5 .
• Zaitsev V. V., Ryzhkov V. V., Skanavi M. I. Perusmatematiikka. Toista kurssi. - Kolmas painos, stereotyyppinen. - M .: Nauka, 1976. - 591 s.
• Coxeter G. S. M. , Greitzer S. P. Uusia kohtaamisia geometrian kanssa. -M .:Nauka, 1978. - T. 14. - (Matematiikan ympyrän kirjasto).
• Korn G., Korn T. Matematiikan käsikirja (tutkijoille ja insinööreille) . - M . : Nauka, 1973. - 720 s.
• Myakishev A.G. Kolmiogeometrian elementit . - M .: MTsNMO, 2002.
• Ponarin Ya. P. Alkeinen geometria. 2 osana - M . : MTSNMO , 2004. - S. 48-50. — ISBN 5-94057-170-0 .

Kolmio
Kolmioiden tyypit	Suorakulmainen Tasakylkinen Tasasivuinen Tasakylkinen suorakaiteen muotoinen
Ihanat linjat kolmiossa	Mediaani Korkeus Bisector Keskisuorassa keskiviiva Piirretyt ja kaiverretut ympyrät Simsonin suora Eulerin linja Simediana Cheviana
Kolmion merkittäviä pisteitä	Orthocenter Keskus Incent Brocardin piste Vecten-piste Point Gergonne Lemoinen piste Miquel pointti Nagelin piste Napoleonin pisteet Torricellin kohdat Yhdeksän pisteen ympyrän keskipiste Spieker Center Kolmiokeskusten tietosanakirja
Peruslauseet	kolmion epätasa-arvo Merkkejä kolmioiden samankaltaisuudesta Kolmioiden ratkaiseminen Kolmion ulkokulman lause Kolmion kulmien summan lause Pythagoraan lause Kosinilause Sinilause Projektiolause Heronin kaava
Lisälauseita	Van Obelin lause Menelaoksen lause Reuschlen (Terkema) lause Stewartin lause Tangenttilause Kotangenttilause Cevan lause Mollweiden kaavat
Yleistykset	pallomainen kolmio hyperbolinen kolmio Yksinkertainen