Mediaanikolmio

Mediaanikolmio (myös mediaanikolmio tai täydentävä kolmio ) on kolmio , joka on rakennettu tietyn kolmion sivujen keskipisteille, mediaanimonikulmion erikoistapaus .

Ominaisuudet

Keskimmäistä kolmiota voidaan pitää kuvana alkuperäisestä kolmiosta homoteetissa , jonka keskipiste on keskipiste kertoimella −1. Siten mediaanikolmio on samanlainen kuin alkuperäinen ja sillä on sama sentroidi ja mediaanit kuin alkuperäisellä kolmiolla . Tästä seuraa myös , että keskimmäisen kolmion kehä on yhtä suuri kuin kolmion puolikehä ja että sen pinta- ala on yhtä suuri kuin neljäsosa kolmion pinta-alasta . Lisäksi neljä kolmiota, joihin alkuperäinen kolmio on jaettu keskimmäisellä kolmiolla , ovat yhtä suuret kolmella sivulla , joten niiden pinta-alat ovat yhtä suuret ja muodostavat neljänneksen alkuperäisen kolmion pinta-alasta [1] . Tältä osin joskus kaikkia neljää yhtäläistä sisäistä kolmiota, jotka on saatu tietystä kolmiosta piirtämällä siihen kolme mediaaniviivaa , kutsutaan joskus "keskimmäiseksi" (perinteisimmissä terminologiassa vain yhtä niistä kutsutaan keskimmäiseksi - keskimmäiseksi). $\kolmio ABC$ $\kolmio ABC$ $\kolmio ABC$ $\kolmio ABC$

Mediaanikolmion ortosentti on sama kuin annetun kolmion rajatun ympyrän keskipiste , tämä tosiasia tarjoaa keinot todistaa, että rajatun ympyrän keskipiste, painopiste ja ortosentti ovat samalla suoralla - Euler-viivalla . $\kolmio ABC$

Mediaanikolmio on rajatun ympyrän keskipisteen osakolmio . Yhdeksän pisteen ympyrä on kuvattu keskimmäiselle kolmiolle, ja siksi yhdeksän pisteen keskipiste on keskimmäisen kolmion ympärille piirretyn ympyrän keskipiste . Keskimmäisen kolmion Nagel-piste on alkuperäisen kolmion piirretyn ympyrän keskipiste [ 2] .

Keskimmäinen kolmio on yhtä suuri kuin kolmio, jonka kärjet ovat ortosenttiä ja sen kärjet yhdistävien segmenttien keskipisteet ( Eulerin kolmio ) [3] .

Kolmion piirretyn ympyrän keskipiste on keskimmäisessä kolmiossa [4] . Kolmion sisällä oleva piste on kolmioon kirjoitetun ellipsin keskipiste silloin ja vain, jos tämä piste sijaitsee keskimmäisen kolmion sisällä [5] . Mediaanikolmio on ainoa piirretty kolmio, jonka yhdenkään muun kolmen kolmion pinta-ala ei ole pienempi kuin tämän kolmion pinta-ala [6] . Tietyn kolmion keskikolmioon kirjoitetun ympyrän keskipiste on kolmion kehän massakeskipiste ( Spiekerin keskus ), tämä keskipiste on kolmiota vastaavan yhtenäisen lankakuvion painopiste. $\kolmio ABC$

Kolmion suoran ℓ ortopoli P on radikaalikeskipiste kolmelle ympyrälle, jotka sivuavat suoraa ℓ ja joiden keskipisteet ovat antikomplementaarisen kolmion kärjessä suhteessa annettuun kolmioon. [7]

Tietyn kolmion keskipiste on sen 3 mediaanin muodostaman kolmion Nagel-piste ( kolmion keskipiste ). [kahdeksan]

Koordinaatit

Antaa olla pituudet puolin kolmion . Keskimmäisen kolmion kärkien kolmiviivaiset koordinaatit saadaan kaavoilla: $a=|BC|,b=|CA|,c=|AB|$ $\kolmio ABC$

$X=0:1/b:1/c$
$Y=1/a:0:1/c$
$Z=1/a:1/b:0$

Antimediaanikolmio

Jos on mediaanikolmio , niin on antimediaanikolmio ( antikomplementaarinen ) for . Antikomplementaarinen kolmio for muodostuu kolmesta sivujen suuntaisesta suorasta - yhdensuuntainen pisteen läpi , yhdensuuntainen pisteen läpi ja yhdensuuntainen pisteen läpi . ${\näyttötyyli \kolmio XYZ}$ $\kolmio ABC$ $\kolmio ABC$ ${\näyttötyyli \kolmio XYZ}$ $\kolmio ABC$ $\kolmio ABC$ $AB$ $C$ $AC$ $B$ $eKr$ $A$

Keskimmäisen kolmion kärkien kolmiviivaiset koordinaatit saadaan kaavoilla: ${\näyttötyyli \kolmio X'Y'Z'}$

$X'=-1/a:1/b:1/c$
$Y'=1/a:-1/b:1/c$
$Z'=1/a:1/b:-1/c$

Muistiinpanot

↑ Posamentier, Lehmann, 2012 , s. 177.
↑ Altshiller-Court, 2007 , s. 161, Lause 337.
↑ Altshiller-Court, 2007 , s. 103,#206;108,#1.
↑ Franzsen, 2011 , s. 233, Lemma 1.
↑ Chakerian, 1979 , s. 139, luku 7.
↑ Torrejon, 2005 , s. 137.
↑ College Geometry: Johdatus kolmion ja ympyrän moderniin geometriaan. Nathan Altshiller-Court. (Kappale: G. Ortopole. Harjoitukset. Kohta 6. s. 291). Mineola, New York: Dover Publication, Inc., 2012. 292 s.
↑ Honsberger, R. . Jaksot yhdeksännentoista ja kahdennenkymmenennen vuosisadan euklidisessa geometriassa. Washington, DC: Matematiikka. Assoc. amer. 1995. s. 51, kohta (b).// https://b-ok.cc/book/447019/c8c303

Kirjallisuus

Alfred S. Posamentier, Ingmar Lehmann. Kolmioiden salaisuudet. - Prometheus Books, 2012.
William N Franzsen. Etäisyys keskipisteestä Euler-viivaan // Forum Geometricorum. - 2011. - Ongelma. 11 .
Nathan Altshiller-Court. Yliopiston geometria. – Dover Publications, 2007.
GD Chakerian. Matemaattiset luumut / R. Honsberger. - Washington, DC: Mathematical Association of America, 1979.
Ricardo M. Torrejon. Erdos-kaiverretulla kolmio-epäyhtälöllä // Forum Geometricorum. - 2005. - Ongelma. 5 .
Zetel S.I. Uusi kolmion geometria. Opas opettajille. 2. painos .. - M . : Uchpedgiz, 1962. - 153 s.

Linkit

Weisstein , Eric W. Mediaalikolmio Wolfram MathWorldissä .
Weisstein, Eric W. Anticomplementary Triangle (englanniksi) Wolfram MathWorld -verkkosivustolla .