Täydellisen nelikulmion yhdeksän pisteen kartio on kartioleikkaus, joka kulkee kolmen lävistäjäpisteen ja kuuden kokonaisen nelikulmion sivujen keskipisteen läpi.
Maxim Bocher kuvasi yhdeksän pisteen kartioleikkauksen vuonna 1892. Tunnetuin yhdeksän pisteen ympyrä on Bocher-kartion erikoistapaus. Toinen erikoistapaus on yhdeksän pisteen hyperboli .
Bocher käytti täydellisen nelikulmion neljää pistettä kolmena kolmion kärkenä ja yhtenä itsenäisenä pisteenä:
Olkoon kolmio ABC ja piste P tasossa. Kartioleikkaus voidaan piirtää seuraavien yhdeksän pisteen kautta: kolmion ABC sivujen keskipisteet , P :n ja kolmion kärkeen yhdistävien janan keskipisteet, pisteet, joissa nämä P :n ja kolmion kärkien kautta kulkevat suorat leikkaavat kolmion sivut.Kartioleikkaus on ellipsi , jos P sijaitsee kolmion ABC sisällä tai jollakin tason alueella, joka on erotettu kolmion sisäpuolelta kahdella sivulla. Muussa tapauksessa kartio on hyperbola . Bocher huomasi, että jos P on ortosentti , saadaan yhdeksän pisteen ympyrä, ja kun P on kolmion ABC rajatun ympyrän keskipiste , kartio on tasakylkinen hyperbola.
Maud Minthorn osoitti vuonna 1912, että yhdeksän pisteen kartio on neljän tietyn pisteen läpi kulkevien kartioleikkausten keskipisteiden paikka.