Bisector-lause

Puolittajalause on klassinen kolmiogeometrian lause .

Sanamuoto

Kolmion kärjessä oleva puolittaja jakaa vastakkaisen sivun osiin, jotka ovat verrannollisia viereisiin sivuihin. Eli jos puolittaja kolmion kärjessä leikkaa sivun pisteessä, niin $A$ $\kolmio ABC$ $eKr$ $D$

{\frac {DB}{DC}}={\frac {AB}{AC}}.

Muistiinpanot

Sama yhtäläisyys pätee pisteeseen , joka sijaitsee ulomman puolittajan ja sivun jatkeen leikkauskohdassa . $D$ $eKr$

Historia

Puolittajalause on muotoiltu kuudennessa Eukleideen elementtien kirjassa (proposition III) [1] , erityisesti kreikaksi bysanttilaisessa käsikirjoituksessa [2] . Tämän lauseen varhainen lainaus Eukleideen mukaan venäjänkielisissä lähteissä on eräässä ensimmäisistä venäläisistä geometrian oppikirjoista - 1600-luvun alun käsikirjoituksesta " Synodal No. 42 " (kirja 1, osa 2, luku 21) ).

Todisteet

Todistusmenetelmiä on useita. Esimerkiksi aluemenetelmällä tai vetämällä toisesta kärjestä puolittajan suuntainen suora, kunnes se leikkaa toisen sivun jatkeen.

Aluemenetelmä

Harkitse kolmiota ABC. Puolittaja AD pudotetaan kärjestä A sivulle BC. Etsi kolmioiden ABD ja ACD alueet:

${\frac {S_{ABD}}{S_{ACD}}}={\frac {{\frac {1}{2}}AB\cdot AD\cdot \sin \alpha }{{\frac { 1}{2}}AC\cdot AD\cdot \sin \alpha }}={\frac {AB}{AC}}.$

Toisaalta,

${\frac {S_{ABD}}{S_{ACD}}}={\frac {{\frac {1}{2}}BD\cdot AH}{{\frac {1}{2}} CD\cdot AH}}={\frac {BD}{CD}}.$

tarkoittaa,

${\frac {BD}{CD}}={\frac {AB}{AC}}.$

Sinilauseen kautta

Tarkastellaan kolmiota ABC, jonka puolittaja on AD. Kirjoita kolmioiden ABD ja ACD sinilause :

${\frac {AB}{\sin \gamma ))={\frac {BD}{\sin \alpha )),\quad (1)$

${\frac {AC}{\sin(180^{\circ }-\gamma )}}={\frac {CD}{\sin \alpha )).$

Mutta sen seurauksena, $\sin(180^{\circ }-\gamma )=\sin \gamma ,$

${\frac {AC}{\sin \gamma }}={\frac {CD}{\sin \alpha }}.\quad (2)$

Jakamalla yhtäläisyyden (1) yhtäläisyydellä (2), saamme:

${\frac {BD}{CD}}={\frac {AB}{AC}}.$

Kolmioiden samankaltaisuuden kautta

Tämä todistusmenetelmä perustuu puolittajan laajentamiseen yhdestä kärjestä sille pudotetun kohtisuoran leikkauspisteeseen sen kanssa.

Tarkastellaan kolmiota ABC, jonka puolittaja on AD. Pudotetaan kohtisuorat BK ja CT siihen ja sen jatkeeseen, vastaavasti. Kolmiot KBD ja DCT ovat samanlaisia kahdessa kulmassa, joten

${\frac {BD}{CD}}={\frac {BK}{CT}}.$

Kolmiot ABK ja ACT ovat myös samanlaisia kahdessa kulmassa, mikä tarkoittaa, että yhtäläisyys on totta:

${\frac {AB}{AC}}={\frac {BK}{CT}}.$

Siksi saamme sen ${\frac {BD}{CD}}={\frac {AB}{AC}}.$

Muunnelmia ja yleistyksiä

Jos D on mielivaltainen piste kolmion ABC sivulla BC , niin ${\frac {|BD|}{|DC|}}={\frac {|AB|{\frac {\sin \angle DAB}{\sin \angle ADB}}}{|AC|{\ frac {\sin \angle DAC}{\sin \angle ADC))))={\frac {|AB|{\frac {\sin \angle DAB}{\sin \angle ADB))}{|AC|{ \frac {\sin \angle DAC}{\sin(180^{\circ }-\angle ADB))))))={\frac {|AB|\sin \angle DAB}{|AC|\sin \ kulma DAC}}.$
- Jos AD on puolittaja, . $\sin \angle DAB=\sin \angle DAC$

Tetraedrin kaksitahoisen kulman puolittajataso (eli taso, joka jakaa kaksitahoisen kulman puoliksi) jakaa sen vastakkaisen reunan osiin, jotka ovat verrannollisia niiden tetraedrin pintojen pinta-aloihin, jotka ovat tämän dihedraalikulman pinnat [3] :200 .

Steinerin lause .

Katso myös

Muistiinpanot

↑ Kahdeksan kirjan euklidinen alku , nimittäin kuusi ensimmäistä, 11. ja 12., jotka sisältävät geometrian perusteet. / Per. F. Petruševski. - Pietari. , 1819. - S. 205. - 480 s. Arkistoitu 10. heinäkuuta 2020 Wayback Machinessa
↑ Bisector -lause Bysantin käsikirjoituksessa . Haettu 24. toukokuuta 2012. Arkistoitu alkuperäisestä 26. toukokuuta 2012. (määrätön)
↑ Gusyatnikov P.B., Reznichenko S.V. Vektorialgebra esimerkeissä ja ongelmissa . - M . : Korkeakoulu , 1985. - 232 s. Arkistoitu 10. tammikuuta 2014 Wayback Machineen

Kirjallisuus

Ponarin Ya. P. Alkeinen geometria. 2 osana - M . : MTSNMO , 2004. - S. 18-19.