Puolipuolen kaava

Pallotrigonometriassa puolisivukaavaa käytetään ratkaisemaan pallomaisia kolmioita . _

Puolisivukaava

{\begin{aligned}\tan \left({\frac {a}{2}}\right)&=R\cos(S-\alpha )\\[8pt]\tan \left({\frac {b }{2}}\right)&=R\cos(S-\beta )\\[8pt]\tan \left({\frac {c}{2}}\right)&=R\cos(S- \gamma )\end{aligned}}

missä

α , β , γ ovat pallomaisen kolmion kulmia,
a , b , c ovat kulmien α , β , γ vastakkaisten sivujen pituudet, vastaavasti ,

$S={\frac {1}{2}}(\alpha +\beta +\gamma )$

puolet kolmion kulmien summasta ja

$R={\sqrt {{\frac {-\cos S}{\cos(S-\alpha )\cos(S-\beta )\cos(S-\gamma )))))$

Mielenkiintoista on, että R on annetun pallomaisen kolmion rajatun ympyrän säteen tangentti [1] :78.83 . Nämä kolme kaavaa ovat itse asiassa sama kaava, ja vain vastaavien kulmien ja sivujen merkintä on muuttunut.

Kaavan johtaminen

Kosinilauseen mukaan meillä on [1] :75-77 :

\cos a={\frac {\cos \alpha +\cos \beta \cos \gamma }{\sin \beta \sin \gamma )).

Sitten kaksoiskulmakaavan mukaan (positiivinen juuri otetaan, koska sivu on alle 180 astetta):

\sin {\frac {a}{2}}={\sqrt {\frac {1-\cos a}{2}}}={\sqrt {\frac {\sin \beta \sin \gamma -\cos \beta \cos \gamma -\cos \alpha }{2\sin \beta \sin \gamma }}}.

Käyttämällä argumenttien lisäyskaavaa ja funktioiden summan muunnoskaavaa saadaan:

\sin {\frac {a}{2}}={\sqrt {\frac {-\cos(\beta +\gamma )-\cos \alpha }{2\sin \beta \sin \gamma } ))={\sqrt {\frac {-\cos S\cos(S-\alpha )}{\sin \beta \sin \gamma }}}.

Vastaavasti puolisivun kosinille saamme:

\cos {\frac {a}{2}}={\sqrt {\frac {1+\cos a}{2}}}={\sqrt {\frac {\cos(S-\beta ) \cos(S-\gamma )}{\sin \beta \sin \gamma }}}.

Siksi

\operatorname {tg} {\frac {a}{2}}={\frac {\sin {\frac {a}{2}}}{\cos {\frac {a}{2}}} }={\sqrt {\frac {-\cos S\cos(S-\alpha )}{\cos(S-\beta )\cos(S-\gamma )))}=\cos(S-\alpha ){\sqrt {\frac {-\cos S}{\cos(S-\alpha )\cos(S-\beta )\cos(S-\gamma )))}.

Duaali tälle kaavalle, eli puolikulman kaava, voidaan saada siitä tavalliseen tapaan - korvaamalla sivu vastaavan kulman komplementilla 180 asteeseen asti ja kulmat vastaavien sivujen komplementeilla ylöspäin 180 asteeseen.

Kaksoiskaava

Kaksois- ja puolisivukaavat ovat puolikulman kaavoja [1] :74 :

{\begin{aligned}\operaattorinnimi {tg}\left({\frac {\alpha }{2}}\right)&={\frac {1}{\sin(sa)))\cdot r\\[ 8pt]\operaattorin nimi {tg}\left({\frac {\beta }{2}}\right)&={\frac {1}{\sin(sb)))\cdot r\\[8pt]\operaattorinnimi {tg}\left({\frac {\gamma }{2}}\right)&={\frac {1}{\sin(sc)))\cdot r\end{aligned}}

missä

$s={\frac {1}{2}}(a+b+c)$

puolet kolmion sivujen summasta ja

$r={\sqrt {{\frac {\sin(sa)\sin(sb)\sin(sc)}{\sin s))))$

Lisäksi tässä tapauksessa r on pallomaisen kolmion piirretyn ympyrän tangentti [1] :74 .

Samanlainen kaava planimetriassa tunnetaan kotangenttilauseena .

Sovellus

Puolisivukaavaa käytetään ratkaisemaan vino pallomainen kolmio kolmelta sivulta, eli kun on tarpeen laskea sen jokainen kulma annetuilta sivuilta [1] :102-104 . Puolikulmakaavaa käytetään puolestaan ratkaisemaan vino kolmio kolmessa kulmassa, eli kun on tarpeen laskea sen jokainen sivu annetuille kolmelle kulmille [1] :104-108 . Jos pallomaisessa kolmiossa on yksi suoran kulmista, sen ratkaisemiseen käytetään näiden kaavojen sijaan kätevämpää muistomerkkiä Napierin sääntöä .

Katso myös

Muistiinpanot

↑ 1 2 3 4 5 6 Stepanov N. N. Pallotrigonometria. - M. - L .: OGIZ , 1948. - 154 s.

Pallomainen trigonometria
Peruskonseptit	pallomainen kolmio napakolmio Ylimääräinen Bigon
Kaavat ja suhteet	Kosinilauseet Sinilause Viiden elementin kaava Puolipuolen kaava Napierin muistisääntö Pallomainen Pythagoraan lause Delambren kaavat Napierin analogiakaavat Legendren lause Kolmioiden ratkaiseminen
liittyvät aiheet	Pallomainen koordinaattijärjestelmä pallomainen geometria kolmikulmainen kulma