Pallomainen Pythagoraan lause

Pallomainen Pythagoraan lause on lause, joka määrittää suorakulmaisen pallomaisen kolmion sivujen välisen suhteen .

Lausunto ja todiste

Pallomainen Pythagoraan lause muotoillaan seuraavasti [1] :

Suorakulmaisen pallomaisen kolmion hypotenuusan kosini on yhtä suuri kuin sen jalkojen kosinien tulo.

Todistus suoritetaan käyttämällä kolmikulmaista kulmaa [1] OA 1 B 1 C 1 , jonka sivut (säteet) OA 1 , OB 1 , OC 1 ja kärki pisteessä O, tasokulmat A 1 OC 1 ja C 1 joiden OB 1 ovat yhtä suuret kuin tämän kolmion jalat b ja a, tasokulma A 1 OB 1 on yhtä suuri kuin sen hypotenuusa c, pintojen A 1 OC 1 ja C 1 OB 1 välinen dihedraalikulma on 90 astetta ja kaksi muuta kaksikulmaista kulmaa ovat yhtä suuria kuin pallomaisen suorakulmaisen kolmion vastaavat kulmat. Tämän kolmikulmaisen kulman leikkaa taso A 1 B 1 C 1 , joka on kohtisuorassa säteeseen OB 1 nähden . Silloin kulmat A 1 C 1 O ja A 1 C 1 B 1 ovat oikeat.

huomaa, että

Täältä

Q.E.D.

Jos oletetaan, että pallokosiniluore on jo todistettu, pallomaisen Pythagoraan lauseen kaava voidaan saada siitä välittömästi kirjoittamalla pallon kosinilause tietyn suorakulmaisen pallomaisen kolmion hypotenuusalle ja yksinkertaisesti korvaamalla tuloksena oleva lauseke 90 asteen kulma, jonka kosini on nolla.

Seuraukset ja sovellukset

Kun pallon säde pyrkii äärettömyyteen, pallomaisesta Pythagoraan lauseesta tulee planimetrian Pythagoraan lause . Siksi, koska Maan säde on suuri, pienillä etäisyyksillä suorakulmaiset kolmiot maan pinnalla (jota käytetään esimerkiksi etäisyyksien ja kulmien mittaamiseen maassa) noudattavat käytännössä Pythagoraan planimetrian lausetta [2] , kun taas suurilla etäisyyksillä, jotka ovat verrattavissa Maan säteeseen, on jo tarpeen soveltaa pallomaista Pythagoraan lausetta.

Pallomaisen Pythagoraan lauseen avulla voidaan saada kaavat maanpinnan pisteiden välisten pituusasteiden ja etäisyyksien eroille, ja siten vastaavat kaavat taivaanpallon pisteiden etäisyyksille ja koordinaateille .

Pallomaisesta Pythagoraan lauseesta seuraa, että suorakulmaisessa pallomaisessa kolmiossa alle 90 asteen sivujen määrä on pariton ja suurten sivujen määrä parillinen [1] . Siksi, jos suorakulmaisen pallomaisen kolmion molemmat haarat ovat suurempia kuin 90 astetta, niin sen hypotenuusa on alle 90 astetta, eli tässä tapauksessa hypotenuusa on lyhyempi kuin molemmat jalat - asento, joka on mahdoton suorakulmaiselle kolmiolle tasossa.

Historia

Pallomaisen Pythagoraan lauseen tunsi myös Al-Biruni , joka ei samaan aikaan tuntenut pallokosinisilausetta, joten hän sovelsi pallomaista Pythagoraan lausetta ja sinilausetta ratkaistakseen ainakin kaksi ongelmaa: kahden pituusasteen eron määrittäminen. pisteet maan pinnalla niiden leveysasteilla ja niiden välisellä etäisyydellä ja määrittämällä kahden maan pinnan pisteen välinen etäisyys niiden leveys- ja pituusasteilla [3] :81 .

Katso myös

• Pythagoraan lause

Muistiinpanot

1. ↑ 1 2 3 Stepanov N.N. Pallomainen Pythagoraan lause // Pallotrigonometria . - M. - L .: OGIZ , 1948. - S.  42 -44. — 154 s.
2. ↑ John McCleary. Geometria erottuvasta näkökulmasta . - Cambridge University Press , 1994. - S. 6. - 308 s. Arkistoitu 22. tammikuuta 2021 Wayback Machinessa
3. ↑ Rosenfeld B.A., Rozhanskaya M.M. Al-Birunin tähtitieteellinen työ "Mas'udin kaanon"  // Historiallinen ja tähtitieteellinen tutkimus . - M . : Nauka , 1969. - Numero. x . - S. 63-96 . Arkistoitu alkuperäisestä 10. syyskuuta 2010.