Väärä integraali

Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 29. elokuuta 2021 tarkistetusta versiosta . tarkastukset vaativat 5 muokkausta .

Määrättyä integraalia kutsutaan epänormaaliksi , jos vähintään yksi seuraavista ehdoista täyttyy.

Integraatioalue on ääretön. Esimerkiksi on ääretön jänneväli . $[a,+\infty)$
Funktio on rajaton joidenkin integrointialueen pisteiden läheisyydessä. $f(x)$

Jos väli on äärellinen ja funktio on Riemannin integroitavissa , niin virheellisen integraalin arvo on sama kuin määrätyn integraalin arvo . $[a,b]$

Ensimmäisen tyyppiset väärät integraalit

Antaa määritellään ja jatkuva väli ja . Sitten: $f(x)$ $[a,+\infty)$ $\forall A>a\ \exists \int \limits _{a}^{A}f(x)dx$

Jos , niin merkintää käytetään ja integraalia kutsutaan ensimmäisen tyyppiseksi vääräksi Riemannin integraaliksi . Tässä tapauksessa sitä kutsutaan konvergentiksi. $\exists \lim_{A \to +\infty}\int\limits_{a}^{A} f(x)dx = I\in\mathbb{R}$ $I=\int\limits_{a}^{+\infty} f(x)dx$ $I=\int\limits_{a}^{+\infty} f(x)dx$
Jos ei ole äärellistä ( tai ), integraalia kutsutaan divergentiksi " ", " " tai yksinkertaisesti divergentiksi. $\lim_{A \to +\infty}\int\limits_{a}^{A} f(x)dx$ $\pm \infty$ $\on olemassa$ $\int\limits_{a}^{+\infty} f(x)dx$ $\infty$ $\pm \infty$

Antaa määritellään ja jatkuva on asetettu alkaen ja . Sitten: $f(x)$ $(-\infty,b]$ $\forall B < b \Rightarrow \exists \int\limits_{B}^{b} f(x)dx$

Jos , niin merkintää käytetään ja integraalia kutsutaan ensimmäisen tyyppiseksi vääräksi Riemannin integraaliksi . Tässä tapauksessa sitä kutsutaan konvergentiksi. $\exists \lim_{B \to -\infty}\int\limits_{B}^{b} f(x)dx = I\in\mathbb{R}$ $I=\int\limits_{-\infty}^{b} f(x)dx$ $I=\int\limits_{-\infty}^{b} f(x)dx$
Jos ei ole äärellistä ( tai ), integraalia kutsutaan divergentiksi " ", " " tai yksinkertaisesti divergentiksi. $\lim_{B \to -\infty}\int\limits_{B}^{b} f(x)dx$ $\pm \infty$ $\on olemassa$ $\int\limits_{-\infty}^{b} f(x)dx$ $\infty$ $\pm \infty$

Jos funktio on määritelty ja jatkuva koko reaaliviivalla, niin tässä funktiossa voi olla väärä integraali, jolla on kaksi ääretöntä integrointirajaa, joka määritetään kaavalla: $f(x)$

$\int\limits_{-\infty}^{+\infty} f(x)dx = \int\limits_{-\infty}^{c} f(x)dx + \int\limits_{c}^{+ \infty} f(x)dx$ , jossa c on mielivaltainen luku.

Ensimmäisen tyyppisen väärän integraalin geometrinen merkitys

Ensimmäisen tyyppinen väärä integraali ilmaisee äärettömän pitkän kaarevan puolisuunnikkaan alueen.

Esimerkkejä

$\int \limits _{-\infty }^{-1}{1 \over x^{2}}dx=\lim _{a\to -\infty }\int \limits _{a}^ {-1}{1 \over x^{2}}dx=\lim _{a\to -\infty }{\Bigl .}-{\frac {1}{x}}{\Bigr |}_{ a}^{-1}=1+\lim _{a\to -\infty }{\frac {1}{a}}=1+0=1$

Toisen tyyppiset väärät integraalit

Antaa on määritelty , kärsii äärettömästä epäjatkuvuudesta pisteessä x = a ja . Sitten: $f(x)$ $(a, b]$ $\forall \delta > 0 \Oikea nuoli \exists \int\limits_{a + \delta}^{b} f(x)dx = \mathcal{I}(\delta)$

Jos , niin merkintää käytetään ja integraalia kutsutaan toisen tyyppiseksi vääräksi Riemannin integraaliksi . Tässä tapauksessa integraalia kutsutaan konvergentiksi. $\exists \lim_{\delta \to 0+0} \mathcal{I}(\delta) = I\in\mathbb{R}$ $I=\int\limits_{a}^{b} f(x)dx$
Jos tai , nimitys säilyy, mutta sitä kutsutaan divergentiksi " ", " " tai yksinkertaisesti poikkeavaksi. $\lim_{\delta \to 0+0} \mathcal{I}(\delta) = \infty \; (\pm\infty$ $\on olemassa)$ $\mathcal{I}=\int\limits_{a}^{b} f(x)dx$ $\infty$ $\pm \infty$

Antaa on määritelty , kärsii äärettömästä epäjatkuvuudesta x = b ja . Sitten: $f(x)$ $[a, b)$ $\forall \delta > 0 \Oikea nuoli \exists \int\limits_{a}^{b-\delta} f(x)dx = \mathcal{I}(\delta)$

Jos , niin merkintää käytetään ja integraalia kutsutaan toisen tyyppiseksi vääräksi Riemannin integraaliksi . Tässä tapauksessa integraalia kutsutaan konvergentiksi. $\exists \lim_{\delta \to 0+0} \mathcal{I}(\delta) = I\in\mathbb{R}$ $I=\int\limits_{a}^{b} f(x)dx$
Jos tai , nimitys säilyy, mutta sitä kutsutaan divergentiksi " ", " " tai yksinkertaisesti poikkeavaksi. $\lim_{\delta \to 0+0} \mathcal{I}(\delta) = \infty \; (\pm\infty$ $\on olemassa)$ $\mathcal{I}=\int\limits_{a}^{b} f(x)dx$ $\infty$ $\pm \infty$

Jos funktio kärsii epäjatkuvuudesta segmentin sisäisessä pisteessä, toisen tyyppinen virheellinen integraali määritetään kaavalla: $f(x)$ $c$ $[a;b]$

$\int \limits _{a}^{b}f(x)dx=\int \limits _{a}^{c}f(x)dx+\int \limits _{c}^{b} f(x)dx.$

Toisen tyyppisten väärien integraalien geometrinen merkitys

Toisen tyyppinen väärä integraali ilmaisee äärettömän korkean kaarevan puolisuunnikkaan alueen.

Esimerkki

$\int\limits_{0}^{1} {dx \over x} = \lim_{\delta \to 0+0} \Bigl. \ln|x| \Bigr|_{0+\delta }^1 = 0 - \lim_{\delta \to 0+0} \ln \delta = + \infty$

Yksittäinen tapaus

Olkoon funktio määritelty koko reaaliakselilla ja sen pisteissä on epäjatkuvuus . $f(x)$ $x_1,x_2,\pisteet,x_k$

Sitten voimme löytää väärän integraalin $\int\limits_{-\infty }^{+\infty} f(x)dx = \int\limits_{-\infty }^{x_1} f(x)dx + \sum_{j=1}^{k -1} {\int\limits_{x_j}^{x_{j+1}} f(x)dx}+ \int\limits_{x_k}^{+\infty} f(x)dx$

Cauchyn kriteeri

1. Antaa määritellään asetettu ja . $f(x)$ $[a,+\infty)$ $\forall A>a\ \exists \int \limits _{a}^{A}f(x)dx$

Sitten lähentyy

\mathcal{I}=\int\limits_{a}^{+\infty} f(x)dx

\Leftrightarrow \forall \varepsilon >0\ \exists A(\varepsilon )>a:\forall (A_{2}>A_{1}>A)\Rightarrow \left|\,\int \limits _{ A_{1}}^{A_{2}}f(x)dx\right|<\varepsilon

2. Antaa määritellään ja . $f(x)$ $(a, b]$ $\forall \delta >0\ \exists \int \limits _{a+\delta }^{b}f(x)dx$

Sitten lähentyy

\mathcal{I}=\int\limits_{a}^{b} f(x)dx

\Leftrightarrow \forall \varepsilon >0\Rightarrow \exists \delta (\varepsilon )>0:\forall (0<\delta _{1}<\delta _{2}<\delta )\Rightarrow \left |\,\int \limits _{a+\delta _{1}}^{a+\delta _{2}}f(x)dx\right|<\varepsilon

Absoluuttinen konvergenssi

Integraalia kutsutaan ehdottoman konvergentiksi , jos se konvergoi. Jos integraali konvergoi absoluuttisesti, niin se konvergoi. $\int\limits_{a}^{+\infty} f(x)dx \ \ \left(\int\limits_{a}^{b} f(x)dx\right)$ $\int\limits_{a}^{+\infty} |f(x)|dx \ \ \left(\int\limits_{a}^{b} |f(x)|dx\right)$

Ehdollinen konvergenssi

Integraalia kutsutaan ehdollisesti konvergentiksi , jos se konvergoi mutta hajoaa. $\int\limits_{a}^{+\infty} f(x)dx \ \$ $\int\limits_{a}^{+\infty} f(x)dx \ \$ $\int\limits_{a}^{+\infty} |f(x)|dx \ \$

Katso myös

Riemannin integraali
Lebesguen integraali
Samokish-menetelmä on numeerinen menetelmä singulaarisuuden sisältävien integraalien laskemiseen.

Kirjallisuus

Dmitri Kirjoitettu. Korkeamman matematiikan luentomuistiinpanot, osa 1. - Iris Press, 2007. - S. 233-237.

Sanakirjat ja tietosanakirjat	Iso venäläinen