Differentiaaliyhtälöiden ryhmäanalyysi

Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 25.9.2021 tarkistetusta versiosta . vahvistus vaatii 1 muokkauksen .

Differentiaaliyhtälöiden ryhmäanalyysi on matematiikan ala, joka tutkii differentiaaliyhtälöiden symmetriaominaisuuksia riippuvien ja riippumattomien muuttujien eri muunnoksilla. Se sisältää differentiaaligeometrian menetelmiä ja sovellettavia näkökohtia, Lie- ryhmien ja algebroiden teoriaa , variaatiolaskentaa ja on puolestaan tehokas tutkimustyökalu ODE :iden , PDE :iden ja matemaattisen fysiikan teoriassa .

Motivaatio

Jos differentiaaliyhtälö muuttuu itsestään jonkin muuttujien muutoksen jälkeen (enintään identtisiin muunnoksiin), niin tämä muutos muuttaa minkä tahansa yhtälön ratkaisun takaisin ratkaisuksi, joka ei yleisesti ottaen ole sama kuin alkuperäinen. Kaikki tällaiset korvaukset muodostavat ryhmän, jota kutsutaan differentiaaliyhtälön symmetriaryhmäksi tai differentiaaliyhtälön hyväksymäksi ryhmäksi. Siten symmetriaryhmän ja joidenkin yksittäisten ratkaisujen tuntemus mahdollistaa alkuperäisistä ratkaisuista saatujen perheiden muodostamisen käyttämällä kaikkia ryhmän muunnoksia. Lisäksi jos jokin yhtälön ratkaisu on invariantti ryhmän (tai sen joidenkin alaryhmien ) suhteen, tämä seikka asettaa tiettyjä ehtoja sen muodolle, mikä antaa meille mahdollisuuden odottaa alkuperäisen yhtälön yksinkertaistumista, kun se rajoittuu sellaiseen. muuttumattomat ratkaisut (erityisesti riippumattomien muuttujien määrän väheneminen). Nämä näkökohdat johtavat yleisten menetelmien ongelmaan tietyn differentiaaliyhtälön hyväksyttävän ryhmän löytämiseksi. Toisaalta tietyn muunnosryhmän mukaan voidaan periaatteessa rakentaa joukko differentiaaliyhtälöitä, jotka sallivat sen symmetriaryhmäkseen, mikä on erityisen tärkeää teoreettisen fysiikan perusosien kannalta .

Hyvin kehittyneet ryhmäteorian ja differentiaaligeometrian menetelmät mahdollistavat edellä olevien näkökohtien antamisen tiukkojen muotoilujen ja konstruktiivisen ratkaisemisen joukon niihin liittyviä ongelmia sekä laajentavat merkittävästi työkalujen arsenaalia differentiaaliyhtälöiden ratkaisujen kvalitatiivisen käyttäytymisen tutkimiseen, numeeriseen integraatio jne.

Määritelmät

Olkoon ja merkitsevät jonkin järjestyksen differentiaaliyhtälöjärjestelmän riippumattomien ja riippumattomien muuttujien joukkoa ${\displaystyle x=(x^{1},x^{2},...x^{n})\in X=R^{n))$ ${\displaystyle u=(u^{1},u^{2},...,u^{m})\in U=R^{m))$ $s$

F(x,u,{\underset {1}{u}},...,{\underset {s}{u}})=0,\qquad F=(F^{1},F ^{2},...,F^{m}),

(yksi)

a on kaikkien mahdollisten järjestyksen derivaattojen joukko . Yhtälöjärjestelmä ( 1 ) määrittelee jonkin alimoniskon avaruudessa . ${\underset {k}{u}}\in {\underset {k}{U}}$ $k$ ${\underset {s}{Z}}=X\times U\times {\underset {1}{U}}\times ...\times {\underset {s}{U}}$ $M$

Toimikoon Lie-ryhmä riippumattomien ja riippuvien muuttujien avaruudessa muunnoksilla $G$ ${\underset {0}{Z}}\equiv Z=X\times U$

x'=\phi (x,u,g),\quad u'=\psi (x,u,g),\quad g\in G.

(2)

Laskemalla muunnettujen muuttujien derivaatat uudelleen muunnokset ( 2 ) laajennetaan yksiselitteisesti koko avaruuteen : ${\underset {s}{Z))$

{u'}_{a_{1}...a_{k}}^{\alpha }\equiv {\frac {\partial u'^{\alpha }}{\partial x'^{a_ {1}}...\partial x'^{a_{k}}}}=\psi _{a_{1}...a_{k}}^{\alpha }(x,u,{\underset {1}{u}},...,{\underset {k}{u}},g),\quad k=1,...,s.

Ryhmää kutsutaan järjestelmän ( 1 ) symmetriaryhmäksi, jos monisto on toiminnan ( 2 ) : nnen jatkeen, eli toiminnan ( 2 ) invariantti monisto , joka on laajennettu järjestyksessä järjestyksessä oleviin derivaattaisiin. Ryhmän jokaisen yksiparametrisen aliryhmän ( katso eksponentiaalinen kartoitus ) toiminta avaruudessa generoidaan vektorikentällä (tässä ja alla viitataan Einsteinin summaussääntöön ) $G$ $M$ $s$ $s$ ${\displaystyle e^{tA))$ $A\in {\mathcal {G}}=\mathrm {Lie} \,G$ $G$ $X\times U$

Y_{A}=\xi ^{a}(x,u){\frac {\partial }{\partial x^{a))}+\eta ^{\alpha }(x,u){ \frac {\partial }{\partial u^{\alpha }}},\quad \xi ^{a}=\left.{\frac {d\phi ^{a}(x,u,e^{tA })}{dt))\right|_{t=0},\quad \eta ^{\alpha }=\left.{\frac {d\psi ^{\alpha }(x,u,e^{ tA})}{dt}}\right|_{t=0}.

(3)

Alaryhmätoiminnon vastaava generaattori laajennettiin tilaan , $g(t)$ ${\underset {s}{Z))$

{\underset {s\ \ \ }{Y_{A))}=\xi ^{a}(x,u){\frac {\partial }{\partial x^{a))}+\ eta ^{\alpha }(x,u){\frac {\partial }{\partial u^{\alpha ))}+\sum \limits _{|I|=1}^{s}\theta _{ I}^{\alpha }(x,u,{\underset {1}{u}},...,{\underset {|I|}{u}}){\frac {\partial }{\partial u_{I}^{\alpha }}},\quad \theta _{I}^{\alpha }=\left.{\frac {d\psi _{I}^{\alpha }(x,u, {\underset {1}{u}},...,{\underset {|I|}{u}},e^{tA})}{dt}}\right|_{t=0},

(neljä)

missä on moniindeksi , kutsutaan generaattorin :nneksi jatkoksi . Analogisesti, lisäämällä sarjaan ( 4 ) muodollisesti rajoittamaton määrä termejä korkeamman asteen johdannaisilla, otetaan käyttöön äärettömän jatkuvuuden käsite . Tässä tapauksessa kysymystä tämän sarjan konvergenssista ei esiinny, koska käytännössä on aina käsiteltävä funktioita, jotka riippuvat äärellisen kertaluvun derivaatoista. $minä$ $s$ $Y_{A}$ ${\displaystyle {\underset {\infty \ \ \ }{Y_{A))))$

Päämääräykset ja tulokset

Jatkuvien generaattoreiden kertoimet

Jatkuvan generaattorin kertoimien eksplisiittinen muoto löydetään rajoitukset eriyttämällä

d{u'}^{\alpha }={u'}_{a}^{\alpha }d{x'}^{a},\quad d{u'}_{a}^{ \alpha }={u'}_{ab}^{\alpha }d{x'}^{b}

jne., päällekkäin avaruuden koordinaattien päällä muunnosparametrin mukaisesti . Esimerkiksi, jos haluat löytää kertoimet osoitteessa , harkitse suhteita ${\underset {s}{Z))$ $t$ $t = 0$ $\partial /\partial u_{a}^{\alpha }$

d{u'}^{\alpha }=\left({\frac {\partial {u'}^{\alpha }}{\partial x^{a}}}+{\frac {\partial {u'}^{\alpha }}{\partial u^{\beta }}}u_{a}^{\beta }\right)dx^{a}={u'}_{a}^{\ alpha }d{x'}^{a}={u'}_{b}^{\alpha }\left({\frac {\partial {x'}^{b)){\partial x^{a ))}+{\frac {\partial {x'}^{b}}{\partial u^{\beta }}}u_{a}^{\beta }\right)dx^{a}.

Kertoimien yhtälöiminen at ja niiden erottaminen suhteessa at , kun otetaan huomioon lausekkeet ( 3 - 4 ) ${\displaystyle dx^{a))$ $t$ $t = 0$

{\frac {\partial \eta ^{\alpha }}{\partial x^{a}}}+{\frac {\partial \eta ^{\alpha }}{\partial u^{\beta ))}u_{a}^{\beta }=\theta _{a}^{\alpha }+u_{b}^{\alpha }\left({\frac {\partial \xi ^{b)) {\partial x^{a))}+{\frac {\partial \xi ^{b)){\osittinen u^{\beta ))}u_{a}^{\beta }\right),

missä

\theta _{a}^{\alpha }=D_{a}\eta ^{\alpha }-u_{b}^{\alpha }D_{a}\xi ^{b},

missä merkintä

D_{a}={\frac {\partial }{\partial x^{a))}+u_{a}^{\beta }{\frac {\partial }{\partial u^{\beta ))}+u_{ab}^{\beta }{\frac {\partial }{\partial u_{b}^{\beta }}}+...

kokonaisjohdannaisoperaattorille koordinaatin suhteen . Samalla tavalla voidaan löytää yleisiä toistuvia ja eksplisiittisiä lausekkeita mielivaltaisen järjestyksen kertoimille: $x^{a}$

\theta _{aI}^{\alpha }=D_{a}\theta _{I}^{\alpha }-u_{bI}^{\alpha }D_{a}\xi ^{b} ,\quad \theta _{I}^{\alpha }=D_{I}\left(\eta ^{\alpha }-u_{b}^{\alpha }\xi ^{b}\oikea)+\ xi ^{b}u_{bI}^{\alpha }.

Infinitesimaalinen kriteeri järjestelmän ( 1 ) invarianssille on ehto

\left.{\underset {s\ \ \ }{Y_{A))}F\right|_{F=0}=0,

jonka on pädettävä mille tahansa elementille Lie-algebran nollan ympäristöstä . Koska tämä ehto ei sisällä vain muuttujia ja , joista generaattorin kertoimet riippuvat , vaan myös johdannaisia, yleisesti ottaen luokkaan mukaan lukien, jotka tässä tapauksessa esiintyvät itsenäisinä muuttujina, joiden arvoille ehdon tulee olla täyttyy, niin se hajoaa systeemiksi, pääsääntöisesti uudelleen määritellyiksi lineaarisiksi differentiaaliyhtälöiksi kertoimille , . Kun tämä järjestelmä on ratkaistu, voidaan periaatteessa palauttaa ryhmän (paikallinen) toiminta avaruudessa ja sitten myös . $A$ ${\cal {G}}$ $x$ $u$ $Y$ $s$ ${\näyttötyyli \xi ^{a))$ $\eta ^{\alpha }$ $G$ $X\times U$ ${\underset {s}{Z))$

Differentiaaliset invariantit

$s$ Ryhmän järjestyksen differentiaalinen invariantti on differentioituva funktio järjestyksessä, riippuen järjestyksen johdannaisista , ja invariantti tämän ryhmän toiminnan th:n jatkon alla. Differentiaalijärjestyksen invariantit täyttävät ensimmäisen kertaluvun lineaariyhtälöiden järjestelmän $G$ ${\underset {s}{Z))$ $k$ $s$ $s$

{\underset {s\ \ \ }{Y_{i))}J=0,\qquad i=1,...,\dim G,

missä on ryhmän generaattorien perusta . Tällaisten järjestelmien yleisestä teoriasta seuraa, että mielivaltainen invariantti voidaan ilmaista tietyllä toiminnallisesti riippumattomien invarianttien vähimmäisjoukolla, jossa on riippumattomien muuttujien määrä ja riippumattomien yhtälöiden lukumäärä järjestelmässä, joka on yhtä suuri kuin sen kerroinmatriisin maksimiarvo. $Y_{i}$ $G$ $Z$ $Nr$ ${\displaystyle N=n+m\,C_{s}^{n+s))$ $r$

Merkittävä osa ryhmäanalyysin sovelluksista perustuu seuraavaan lauseeseen.

Differentiaaliinvarianttien tunteminen mahdollistaa siten tietyn ryhmän suhteen invarianttien yhtälöiden yleisen muodon löytämisen, ja symmetriaryhmän Lie-algebran rakenteen analyysi mahdollistaa muuttujien muutoksen, joka pienentää. annettu yhtälö yksinkertaisimpaan mahdolliseen muotoon, esimerkiksi mahdollistaen järjestyksen pienentämisen (katso kohta " Liitteet ").

Invariantti differentiaatio

Ryhmän invariantin differentiaalin operaattori on differentiaalioperaattori, joka, kun se vaikuttaa tämän ryhmän differentiaaliinvarianttiin, antaa korkeamman asteen differentiaalisen invariantin. Määritelmästä seuraa, että operaattori on ryhmän muuttumattoman eriyttämisen operaattori, jos ja vain jos se kommutoi minkä tahansa tämän ryhmän jatkuvan toiminnan generaattorin kanssa: $G$ $\delta$ $G$ ${\underset {\infty }{Y}}$

\left[\delta ,\,{\underset {\infty }{Y}}\right]=0.

(5)

Jokaiselle avaruusmuunnosryhmälle on olemassa ensimmäisen kertaluvun invariantteja differentiaatiooperaattoreita, jotka ovat lineaarisesti riippumattomia tietyn ryhmän invarianttien kentästä . Näillä invarianteilla on muoto ja ( 5 ) huomioon ottaen ne täyttävät yhtälöjärjestelmän $G$ $Z=X\times U$ $n=\dim X$ $\delta =\lambda ^{a}D_{a}$

{\underset {\kappa \ \ }{Y_{i))}\lambda ^{a}=\lambda ^{b}D_{b}\xi _{i}^{a},\qquad i =1,...,\dim G.

Numero on sen ryhmän pienin jatkojärjestys, jonka sijoitus on maksimi, eli yhtä suuri kuin . Differentiaaliinvarianttien kentällä on äärellinen joukko generaattoreita siinä mielessä, että mielivaltainen differentiaalinen invariantti voidaan saada äärellisellä määrällä toimintoja, mukaan lukien funktionaaliset operaatiot ja ensimmäisen asteen invarianttien differentiaalioperaattoreiden soveltaminen, kertaluvun differentiaalien invarianttien perusteella. . $\kappa$ $G$ $\dim G$ $\kappa +1$

Sovellukset

Tavalliset differentiaaliyhtälöt

Tavallisille differentiaaliyhtälöiden järjestelmille ryhmäanalyysi luo riittävät edellytykset integroitavuudelle kvadratuureissa ja, jos ne täyttyvät, antaa algoritmin yleisen ratkaisun muodostamiseksi. Jos nämä ehdot eivät täyty, symmetriaryhmän tunteminen mahdollistaa yhtälön tai järjestelmän kertaluvun alenemisen, eli niiden ratkaisujen ilmaisemisen alemman kertaluvun yhtälön tai järjestelmän ratkaisuina, joissa yhtälöiden määrä on pienempi. .

Alla on tärkeimmät ryhmäanalyysin tulokset suhteessa ODE:hen.

Alennetaan

Jos tavallinen differentiaaliyhtälö

F(x,u',...,u^{(s)})=0

hyväksyy yhden parametrin symmetriaryhmän generaattorilla

Y=\xi (x,u){\frac {\partial }{\partial x))+\eta (x,u){\frac {\partial }{\partial u)),

(6)

sitten siirtymällä muuttujiin, jotka suoristavat vektorikenttää ( 6 ), sen järjestystä voidaan pienentää yhdellä. Erityisesti ensimmäisen kertaluvun yhtälö, joka on ratkaistu derivaatan suhteen, integroidaan kvadratuuriin tämän ehdon mukaisesti.

Viimeinen väite voidaan muotoilla vaihtoehtoisesti integroivaksi tekijäksi.

Integrointitekijä

Tavallinen differentiaaliyhtälö kokonaisdifferentiaaleissa

P(x,u)\,dx+Q(x,u)\,du=0

hyväksyy yhden parametrin symmetriaryhmän generaattorilla ( 6 ) jos ja vain jos funktio

\mu ={\frac {1}{P\,\xi +Q\,\eta }}

on tämän yhtälön integroiva tekijä .

Valheen lause

Yllä olevat tulokset yleistetään seuraavalla lauseella.

Kun otetaan huomioon kertaluvun yhtälöiden ja ensimmäisen kertaluvun yhtälöjärjestelmien välinen vastaavuus, samanlainen lause pätee myös yhden kertaluvun yhtälölle . $s$ $s$ $s$

Osittaisdifferentiaaliyhtälöt

Kirjallisuus

L. V. Ovsjannikov. Differentiaaliyhtälöiden ryhmäanalyysi. - M . : Tiede. Ch. toim. Fys.-Math. lit., 1978. - 400 s.
P. Olver. Lie-ryhmien sovellukset differentiaaliyhtälöihin. Per. englannista - M . : Mir, 1989. - 639 s. — ISBN 5-03-001178-1 .
N. Kh. Ibragimov. Matemaattisen fysiikan muunnosryhmät. - M . : Tiede. Ch. toim. Fys.-Math. lit., 1983. - 280 s.