Yksi parametriryhmä

Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 25.9.2021 tarkistetusta versiosta . tarkastukset vaativat 2 muokkausta .

Yhden parametrin ryhmän ( eng. One-parameter group ) tai yhden parametrin aliryhmän määritelmä liittyy ryhmän jatkuvaan homomorfismiin

\varphi :\mathbb {R} \rightarrow G

todellisesta rivistä (lisäaineryhmänä) johonkin topologiseen ryhmään . Jos on injektio , niin kuva on alaryhmä, joka on isomorfinen . $\mathbb {R}$ $G$ $\varphi$ $\varphi (\mathbb {R} )$ $G$ $\mathbb {R}$

Sophus Lie otti käyttöön yhden parametrin ryhmät vuonna 1893 määrittelemään infinitesimaalisia muunnoksia. [1] Tällaiset infinitesimaalit muunnokset luovat Lie-algebran , jota käytetään kuvaamaan mielivaltaisen ulottuvuuden Lie-ryhmää .

Yhden parametrin ryhmän toimintaa joukossa kutsutaan vuoksi . Tasainen vektorikenttä monistossa luo paikallisen virtauksen , yhden parametrin ryhmän paikallisia diffeomorfismeja , jotka siirtävät pisteitä pitkin vektorikentän integraalikäyriä . Vektorikentän paikallista virtausta käytetään määrittämään Lie-derivaata tensorikentille pitkin vektorikenttää.

Esimerkkejä

Tällaisilla yhden parametrin ryhmillä on tärkeä rooli Lie-ryhmien teoriassa, jossa jokainen asiaan liittyvän Lie-algebran elementti määrittelee homomorfismin. Matriisiryhmien tapauksessa homomorfismin antaa matriisieksponentti .

Toinen tärkeä tapaus on funktionaalisessa analyysissä , jossa on unitaaristen operaattoreiden ryhmä Hilbert-avaruudessa . $G$

Lee Groupin vuonna 1957 julkaisemassa monografiassa P.M. Kohn antaa seuraavan lauseen:

Mikä tahansa yhdistetty yksiulotteinen Lie-ryhmä on analyyttisesti isomorfinen joko reaalilukujen additiivisen ryhmän tai reaalilukujen additiivisen ryhmän kanssa . Erityisesti jokainen yksiulotteinen Lie-ryhmä on paikallisesti isomorfinen .

\mathfrak{R}

{\mathfrak {T}}

\mod 1

\mathbb {R}

Fysiikka

Fysiikassa yhden parametrin ryhmiä käytetään kuvaamaan dynaamisia järjestelmiä . [2] Jos fysikaalisten lakien joukko on yhdenmukainen differentioituvien symmetrioiden yhden parametrin ryhmän kanssa, sillä on säilynyt määrä Noetherin lauseen mukaan .

Ajan- avaruuden tutkimuksessa yhden hyperbolin käyttäminen aika-avaruusmittausten kalibroimiseksi on tullut tavanomaiseksi Hermann Minkowskin vuonna 1908 tekemän työn jälkeen. Jos käytetään hyperbolin parametrisointia hyperbolisen kulman avulla, niin erityisessä suhteellisuusteoriassa voidaan laskea suhteellinen liike käyttämällä yksiparametriryhmää, jolle on ominaista nopeus . Relativistisessa kinematiikassa ja dynamiikassa nopeus korvaa nopeuden käsitteen. Koska nopeudella ei ole ylärajaa, sen muodostama ryhmä ei ole kompakti. Edmund Whittaker esitteli nopeuden käsitteen vuonna 1910, ja vuotta myöhemmin käsite ilmestyi Alfred Robbin teoksiin . Nopeusparametri vastaa hyperbolisen versorin pituutta , jonka käsite otettiin käyttöön 1800-luvulla. Matemaattiset fyysikot James Cockle, William Clifford ja Alexander McFerlane käyttivät töissään karteesista tasokuvaa käyttämällä operaattoria , jossa on hyperbolinen kulma ja . $(\cosh {a}+r\sinh {a})$ $a$ $r^{2}=+1$

GL(n,ℂ)

Tärkeä esimerkki Lie-muunnosryhmässä on jos on , käännettävien kokomatriisien ryhmä, jossa on kompleksisia merkintöjä. Tässä tapauksessa päätulos voidaan ilmaista seuraavasti: [3] $G$ $\mathrm {GL} (n;\mathbb {C} )$ $n\ kertaa n$

Lause : Olkoon yksiparametrinen ryhmä. Sitten on ainutlaatuinen matriisi , jonka koko on sellainen

\varphi :\mathbb {R} \rightarrow \mathrm {GL} (n;\mathbb {C} )

X

n\ kertaa n

\varphi (t)=e^{tX}

kaikille .

t\in \mathbb {R}

Tästä tuloksesta seuraa, että se on differentioituva, vaikka sellaista oletusta ei käytetä lauseessa. Matriisi voidaan rekonstruoida muodossa $\varphi$ $X$ $\varphi$

\left.{\frac {d\varphi (t)}{dt))\right|_{t=0}=\left.{\frac {d}{dt))\right|_{t =0}e^{tX}=\left.(Xe^{tX})\right|_{t=0}=Xe^{0}=X

. Tätä tulosta voidaan käyttää esimerkiksi osoittamaan, että mikä tahansa jatkuva homomorfismi matriisien Lie-ryhmien välillä on tasaista. [neljä]

Muistiinpanot

↑ Sophus Lie (1893) Vorlesungen über Continuierliche Gruppen Arkistoitu 1. helmikuuta 2014 Wayback Machinessa , englanninkielinen käännös D. H. Delphenich, §8, linkki uusklassisesta fysiikasta
↑ Zeidler, E. (1995) Sovellettu toiminnallinen analyysi: Pääperiaatteet ja niiden sovellukset Springer-Verlag
↑ Hall, 2015 Lause 2.14
↑ Hall, 2015 Seuraus 3.50

Linkit

Hall, Brian C. (2015), Lie Groups, Lie Algebras ja Representations: An Elementary Introduction , voi. 222 (2. painos), Graduate Texts in Mathematics, Springer, ISBN 978-3319134666 .