Ilmainen ryhmä

Vapaa ryhmä ryhmäteoriassa on ryhmä , jolle on olemassa osajoukko siten, että jokainen elementti kirjoitetaan yksiselitteisesti äärellisen määrän elementtejä ja niiden käänteisarvoja tulona . (Ainutlaatuisuus ymmärretään triviaaleihin yhdistelmiin, kuten .) Sen sanotaan olevan (vapaasti) generoitu ja kirjoittaa: tai jos on joukko elementtejä. $G$ $S\alajoukko G$ $G$ $S$ $st=su^{{-1}}ut$ $G$ $S$ $F_{S}$ $F_{n},$ $S$ $n$

Asiaan liittyvä mutta erilainen käsite: vapaa Abelin ryhmä (joka ei yleensä ole vapaa ryhmä).

Rakentava määritelmä

On mahdollista esittää eksplisiittinen rakenne vapaista ryhmistä, mikä todistaa niiden olemassaolon [1] [2] . Käsittelemme joukon elementtejä "symboleina" ja esittelemme jokaiselle symbolille symbolin ; jälkimmäisen joukko merkitään . Päästää $S$ $s$ $S$ $s^{{-1}}$ $S^{{-1}}$

T=S\kuppi S^{{-1}}

Määritellään sana over peräkkäin kirjoitettujen (mahdollisesti toistuvien) merkkien ketjuksi . Yhdessä ketjutuksen (liimaus, attribuutio) kanssa yli-sanajoukosta tulee puoliryhmä . Oletetaan, että sanajoukossa on tyhjä sana , joka ei sisällä symboleja. Siten saamme sanojen monoidin päälle $S$ $T$ $S$ $\varepsilon$ $S.$

Esimerkiksi varten . , kaksi sanaa: $S=\{a,b,c\}$ $T=\{a,a^{{-1}},b,b^{{-1}},c,c^{{-1}}\}$

\alpha =abc^{{-1}}a,~~\beta =b^{{-1}}ba^{{-1}}

ja niiden ketjuttaminen:

\gamma =\alpha \beta =abc^{{-1}}ab^{{-1}}ba^{{-1}}

Esimerkiksi . $\alpha \varepsilon =\alpha =abc^{{-1}}a$

Seuraavaksi esitellään sanan vähennyssääntö. Jos jossain sanassa symboli (symboli) seuraa (edettää) vastaavaa symbolia , tämän merkkiparin poistamista kutsutaan vähentämiseksi . Sanaa kutsutaan supistetuksi , jos sitä ei voi enää pienentää. Täydellinen pelkistys on peräkkäinen vähennyksen soveltaminen tiettyyn sanaan, kunnes se pienenee. Esimerkiksi sanasta (katso esimerkki yllä) täydellisen supistamisen jälkeen saadaan pelkistetty sana: Tämä määritelmä on oikein: on helppo osoittaa, että erilainen järjestys useiden supistusten suorittamisessa, niin kauan kuin ne ovat mahdollista, johtaa yhteen tulokseen. $S$ $S^{{-1}},$ $\gamma$ $abc^{{-1}}.$

Joukon generoima vapaa ryhmä (tai vapaa ryhmä over ) on ryhmä pelkistettyjä sanoja over ketjutusoperaatiolla (seuraa tuloksen täydellinen pelkistys tarvittaessa). $F_{S}$ $S$ $S$ $S$

Ominaisuudet

Kaikki saman tehoisten joukkojen muodostamat vapaat ryhmät ovat isomorfisia. Tietyn vapaan ryhmän muodostavan joukon kardinaalisuutta kutsutaan sen arvoksi .
Vapaa ryhmä on isomorfinen ilmaiskopiotuotteen kanssa . $F_{n}$ $n$ $\mathbb {Z}$
Nielsen-Schreier-lause : jokainen vapaan ryhmän alaryhmä on ilmainen.
Mikä tahansa ryhmä on jonkin vapaan ryhmän tekijäryhmä joidenkin alaryhmiensä H suhteen . Generaattorit voidaan pitää . Sitten on luonnollinen epimorfismi . Tämän epimorfismin ydin H on osoitusrelaatioiden joukko . $G$ $F_{S}$ $S$ $G$ $f:\;F_{S}\to G$ $G=\langle S,H\rangle$
Äärillisen luokan vapaan ryhmän kommutantilla on ääretön arvo. Esimerkiksi kahden elementin muodostaman vapaan ryhmän kommutaattori on kaikkien kommutaattorien muodostama vapaa ryhmä . $Ihana)$ $[a^{n},b^{m}],\,m,n\neq 0$

Yleinen ominaisuus

Vapaa ryhmä on jossain mielessä yleisin joukon muodostama ryhmä . Nimittäin mille tahansa ryhmälle ja mille tahansa joukkojen kartoitukselle on olemassa ainutlaatuinen ryhmähomomorfismi , jolle seuraava kaavio on kommutoiva: $F_{S}$ $S.$ $G$ $f\ kaksoispiste S\ G:ksi$ $\varphi \colon F_{S}\-G,$

Siten kartoitusjoukkojen ja homomorfismien välillä on yksi yhteen vastaavuus . Ei-vapaalle ryhmälle ryhmän suhteet asettaisivat rajoituksia ryhmän synnyttävien elementtien mahdollisille kuville. $S\ to G$ $F_{S}\–G$

Tämä ominaisuus voidaan pitää vapaan ryhmän määritelmänä [3] , kun taas se määritellään vain isomorfismiin asti , kuten mikä tahansa universaali objekti . Tätä ominaisuutta kutsutaan vapaiden ryhmien universaalisuudeksi . Generointijoukkoa kutsutaan ryhmän perustaksi . Samalla vapaalla ryhmällä voi olla eri perusta. $S$ $F_{s}$

Kategoriateorian näkökulmasta vapaa ryhmä on funktori joukkojen ${\mathbf {Set}}$ luokasta luokkaluokkaan ryhmät ${\mathbf {Grp))$ , joka on unohtavan funktorin vasen adjunkti . ${\mathbf {Grp}}\to {\mathbf {Set}}$

Muistiinpanot

↑ Lyndon R., Shupp P. Kombinatorinen ryhmäteoria . - M .: Mir, 1980. - S. 13 .
↑ Luku. 5, § 14 // Ryhmäteorian perusteet / Kargapolov M.I., Merzlyakov Yu.I. - 3. painos - M .: Nauka, 1982. - 288 s.
↑ McLane S. Categories for the working mathematician = Categories for the working mathematician / Per. englannista. toim. V. A. Artamonova. - M .: Fizmatlit, 2004. - 352 s. — ISBN 5-9221-0400-4 .

Kirjallisuus

Melnikov O. V., Remeslennikov V. N., Romankov V. A. . Luku II. Ryhmät // Yleinen algebra / Yleisen alla. toim. L. A. Skornyakova . - M . : Nauka , 1990. - T. 1. - S. 66-290. — 592 s. — (Matemaattinen viitekirjasto). – 30 000 kappaletta. — ISBN 5-02-014426-6 .