Nolla

0
nolla
← −2 −1 0 1 2 → _ _
Binääri	0
Octal	0
Heksadesimaali	0
Mediatiedostot Wikimedia Commonsissa

"On olemassa kaksi muotoa: nolla ja nolla . Terminologisessa merkityksessä (etenkin epäsuorissa tapauksissa) käytetään yleensä toista, esimerkiksi: on nolla, lämpötila pysyy nollassa " [1] .
"... johdannainen adjektiivi muodostetaan yleensä muodossa nolla , esimerkiksi: nollameridiaani, nollamerkki " [1] .

Nolla ( 0 , nolla lat. nullus - ei mitään [ 2] ) on kokonaisluku , joka mihin tahansa numeroon lisättynä tai siitä vähennettynä ei muuta viimeistä [3] , eli antaa tuloksen, joka on yhtä suuri kuin tämä viimeinen ; minkä tahansa luvun kertominen nollalla antaa nollan [4] .

The Big Explanatory Dictionary of Kuznetsov (2009) [5] mainitsee sanan molemmat muodot: nolla, nolla - vastaavina, vaikka käytössä onkin eroja. Erityisesti muotoa nolla käytetään useammin terminologiassa, varsinkin epäsuorissa tapauksissa, se otetaan myös perustana adjektiivin nolla muodostukselle - vastaavasti muotoa nolla käytetään useammin nominatiivissa (katso sivupalkki) .

Nollalla on erittäin tärkeä rooli matematiikassa ja fysiikassa [6] .

Nolla matematiikassa

Numero "nolla" matematiikassa

Luku "nolla" on matemaattinen merkki, joka ilmaisee tämän bitin arvon puuttumista luvun merkinnöistä paikkalukujärjestelmässä . Tällä hetkellä tätä lukua merkitään melkein aina "0" (indoarabialaisen numeroiden merkinnän mukaan). Numero nolla, joka on sijoitettu toisen numeron oikealle puolelle, lisää kaikkien vasemmalla olevien numeroiden numeerista arvoa numerolla ( esimerkiksi desimaalilukujärjestelmässä kerrotaan kymmenellä). Vertaa esimerkiksi lukuja 4 10 ja 40 10 ; 4 16 ja 40 16 (alaindeksi tarkoittaa lukujärjestelmän kantaa). Nollan käsite on historiallisesti esiintynyt erityisenä digitaalisena symbolina , jota tarvitaan kirjoitettaessa numeroita paikkalukujärjestelmään . Tämä symboli osoitti arvon puuttumisen vastaavassa bitissä, mikä mahdollisti esimerkiksi merkintöjen sekoittamisen $7,70,700.$

Luku 0 liittyy erityisen yksinkertaisiin kokonaislukujen jaollisuuden merkkeihin.

Desimaalilukujärjestelmässä:

Luku on jaollinen 10:llä silloin ja vain, jos se päättyy nollaan.
Luku on jaollinen 100:lla silloin ja vain, jos se päättyy kahteen 0:aan.

Samanlaisia jakomerkkejä on saatavilla luvuille 1000, 10000 jne.

Desimaalijärjestelmän numeroon 0 liittyvät jakomerkit on erityisen helppo yhdistää 2:lla ja 5:llä jaettavien etumerkkien kanssa, esim.

Luku on jaollinen 20:llä silloin ja vain, jos luvun viimeinen numero on 0 ja toiseksi viimeinen parillinen.
Luku on jaollinen 50:llä silloin ja vain, jos luvun viimeinen numero on 0 ja toiseksi viimeinen numero on 0 tai 5.

Samanlaisia jakomerkkejä on saatavilla luvuille 200, 500, 2000, 5000 jne.

Muissa lukujärjestelmissä numeroon "0" liittyvät jakomerkit ovat samanlaisia kuin desimaaliluvuissa. Erityisesti missä tahansa lukujärjestelmässä, jonka kantaluku on k, luku on jaollinen kn:llä, jos se päättyy n nollaan.

Luku "nolla" matematiikassa

Luonnollisiin lukuihin kuuluva

Luonnollisten lukujen määrittelyyn on kaksi lähestymistapaa - jotkut kirjoittajat luokittelevat nollan luonnollisiksi luvuiksi [7] , toiset eivät. Venäläisissä koulumatematiikan opetussuunnitelmissa luonnollisiin lukuihin ei ole tapana lisätä nollaa, vaikka tämä vaikeuttaakin joitakin formulaatioita (esimerkiksi jäännöksellä jakaminen ja kokonaisluvulla jako on erotettava ). Kompromissina lähteet pitävät joskus "pidennettyä luonnollista sarjaa", mukaan lukien nolla [8] .

Kaikkien luonnollisten lukujen joukko merkitään yleensä symbolilla . Kansainväliset standardit ISO 31-11 (1992) ja ISO 80000-2 (2009) sisältävät seuraavat nimitykset [9] : $\mathbb {N}$

$\mathbb {N}$ - luonnolliset luvut, mukaan lukien nolla: . ${\näyttötyyli \{0,1,2,3,4\pisteet\}}$
$\mathbb {N^{*}}$ - luonnolliset luvut ilman nollaa: . ${\näyttötyyli \{1,2,3,4\pisteet\}}$

Sama kuin ISO:ssa, luonnollisten lukujen joukon merkintä on vahvistettu venäläisessä GOST 2011: R 54521-2011 taulukossa 6.1 [10] . Tästä huolimatta venäläisissä lähteissä tätä standardia ei vielä noudateta - niissä symboli tarkoittaa luonnollisia lukuja ilman nollaa ja laajennettua luonnollista sarjaa merkitään esimerkiksi jne. [8] $\mathbb {N}$ ${\displaystyle \mathbb {N} _{0},\mathbb {Z} _{0))$

Nollan perusominaisuudet

0 on kokonaisluku .
Lukurivillä 0 erottaa positiiviset ja negatiiviset luvut .

Nolla on parillinen luku, koska kun se jaetaan kahdella, tuloksena on kokonaisluku : . $0/2 = 0$
Nolla on allekirjoittamaton . Negatiivisen ja positiivisen infinitesimaalin sopimuksia voidaan käyttää : , , mutta nämä eivät ole numeroita tavallisessa merkityksessä. $-0$ $+0$
Mikään luku ei muutu , kun se lisätään nollaan: Nollan vähentäminen mistä tahansa luvusta antaa saman luvun [11] : . $a+0=0+a=a.$ $a-0=a$
Minkä tahansa luvun kertominen nollalla antaa nollan [11] :

a\cdot 0=0\cdot a=0.

Nollan jakaminen millä tahansa nollasta poikkeavalla luvulla johtaa nollaan:

0/a=0

klo

a\neq 0.

Jako nollalla

Nollalla jako ei ole mahdollista missään kentässä tai renkaassa , mukaan lukien reaali- ja kompleksilukukentät .

Todellakin, jos merkitsemme , niin jaon tulisi määritelmän mukaan olla muodollisesti , kun taas lauseke , jokaiselle , on yhtä suuri kuin nolla. Toisin sanoen nollalle ei ole käänteisalkiota missään kentässä.

{\frac {a}{0}}=b

b\cdot 0=a

b\cdot 0

b

Nollasta poikkeavan kompleksiluvun jako nollalla on mahdollista laajennetulla kompleksitasolla , ja sen tulos on piste äärettömässä.

Yksittäisten funktioiden merkitykset

Nollan faktoraali on sopimuksen [12] mukaan yhtä suuri kuin yksi: . Tällaisella sopimuksella henkilöllisyys on totta $0! = 1$ $n!=(n-1)!\cdot n$ $n=1.$
Nollan nostamisen mihin tahansa positiiviseen potenssiin tulos on nolla: at . Nollan nostaminen negatiiviseksi voimaksi ei ole järkevää. $0^{a}=0$ $a>0$
Tulos minkä tahansa luvun (paitsi nollan) nostamisesta nollatehoon on yhtä suuri kuin yksi: . $a^{0}=1$
- Lauseke ( nollasta nollaan aste ) katsotaan merkityksettömäksi [13] [14] [15] , eli määrittelemättömäksi. $0^{0}$

Tämä johtuu siitä, että kahden muuttujan funktiolla on pisteessä redusoitumaton epäjatkuvuus .

x^{y}

\{0,0\}

Itse asiassa akselin positiivista suuntaa pitkin, jossa se on yhtä suuri kuin yksi, ja akselin positiivista suuntaa pitkin, missä se on yhtä suuri kuin nolla.

x,

y=0,

Y,

x=0,

Katso lisätietoja artikkelista Zero to the power zero . Nolla geometriassa

Pistettä voidaan pitää nollaulotteisena objektina .
Tason piste, jolla on yksi nollakoordinaatti, on vastaavalla koordinaattiakselilla. Molemmat nollakoordinaatit määrittelevät pisteen, jota kutsutaan origoksi .
Kolmiulotteisen avaruuden piste, jolla on yksi nollakoordinaatti, sijaitsee vastaavalla koordinaattitasolla. Kolmiulotteisen avaruuden pistettä kutsutaan myös origoksi, jos sen kaikki koordinaatit ovat nollia.
Samanlaiset väitteet pätevät minkä tahansa ulottuvuuden avaruudelle .
Ympyrässä paikat 0° ja 360° ovat samat.

Nolla laskennassa

Laskettaessa rajaa relaatiolle , jossa ja , syntyy sellainen tilanne, että suora substituutio antaa lausekkeen , jonka arvoa ei ole määritelty. Epävarmuustekijöiden paljastamisprosessissa seitsemän tällaista tilannetta on mahdollista, ja neljässä niistä on muodollisesti nolla: , , , . $(a/b)$ $a\nuoli oikealle 0$ $b\rightarrow 0$ $(0/0)$ $\left({\frac {0}{0}}\oikea)$ $(0^{0})$ $(\infty ^{0})$ $(0\cdot\infty )$
Hyvin määritelty tilanne on myös mahdollinen, kun otetaan huomioon äärettömän pienen arvon yksipuolinen (oikea tai vasen) raja :

Oikea raja: _ tai _ . $\lim _{x\to +0}{\frac {1}{x}}=\left({\frac {1}{0}}\right)=+\infty ,$ $\left({\frac {1}{x}}\right){\xrightarrow[{x\xrightarrow {} +0}]{}}~{+\infty }$
Vasen raja: _ tai _ . $\lim _{x\to -0}{\frac {1}{x}}=\left({\frac {1}{0}}\right)=-\infty ,$ $\left({\frac {1}{x}}\right){\xrightarrow[{x\xrightarrow {} -0}]{}}~{-\infty }$

Yleistykset (nolla yleisalgebrassa)

Nollan analogi voi olla missä tahansa joukossa, jossa yhteenlaskutoiminto on määritelty; yleisalgebrassa tällaista elementtiä kutsutaan joskus neutraaliksi elementiksi , joskus additiiviseksi nollaksi , useimmiten nollaksi summauksen suhteen . Esimerkkejä tällaisesta elementistä ovat nollavektori ja nollamatriisi . (Jos kertolaskuoperaatio on määritelty joukossa, kertolaskuyksikköä voidaan pitää nollan analogina tai kertolaskuyksikkönä , jos sellainen on.)

Sekä yhteen- että kertolaskulla varustetut algebralliset rakenteet voivat sisältää myös nollan analogin. Nollaelementti sisältää minkä tahansa renkaan ja sen erikoistapaukset - rungon ja kentän . Esimerkiksi neliön nollakokomatriisi on neliömatriisirenkaan nollaelementti . Polynomien renkaassa on myös nollaelementti - polynomi, jolla on nollakerroin, tai nollapolynomi , . $n\ kertaa n$ $M_{n}(R)$ $p(x)\equiv 0$

Nolla tietojenkäsittelytieteessä ja tietojenkäsittelyssä

Luku "nolla" tietojenkäsittelytieteessä ja tietojenkäsittelyssä

Suurin osa tietokoneista perustuu binäärijärjestelmään , eli niiden muisti sisältää vain nollia ja ykkösiä. Ei-numeerisissa tiedoissa käytetään standardikoodausta - esimerkiksi loogiset käsitteet TOSI ja EPÄTOSI on yleensä koodattu arvoiksi 1 ja 0, ja Unicode on kehitetty tekstidatalle eri kielillä .

Tietokoneella työskennellessä, koska oli olemassa vaara, että numero 0 sekoitetaan latinalaiseen tai venäläiseen O -kirjaimeen , mikä voi aiheuttaa vakavia seurauksia, aikoinaan suositeltiin [16] yliviivata nolla : . Joskus he tekivät päinvastoin: ohjelmoiessaan Minsk-32- tietokoneella he ylittivät O -kirjaimen , eivät nollaa [17] . Monien tekstipäätteiden merkkigeneraattorit , videosovittimet ja pistematriisitulostimet tuottavat myös nollan yliviivatussa muodossa työskennellessään tekstitilassa (joissakin tulostimissa oli sisäänrakennetut kytkimet yliviivatun nollatilan käyttöön ja poistamiseksi) [18] [19] . IBM 3270 -näytöissä numero 0 on kuvattu pisteellä keskellä. Visuaalinen ero numeron 0 ja O - kirjaimen välillä on edelleen tärkeä vaatimus monospace - fonteille . Suhteellisissa fonteissa O - kirjain on huomattavasti leveämpi kuin nolla, joten yliviivausta ei yleensä tarvita. $\emptyset$

Yliviivatussa nollassa ei ole erillistä Unicode-merkkiä; se voidaan saada merkillä U+0030, jota seuraa välittömästi U+FE00, mutta tulos riippuu sekä nykyisestä fontista että selaimesta. Joskus sen sijaan käytetään samannäköisiä symboleja skandinaaviselle kirjaimelle (Ø), tyhjälle sarjalle (∅) tai halkaisijalle (⌀). Jotkut OpenType -kirjasimet sisältävät erityisen nollaviivausvaihtoehdon, jolle on olemassa erityinen vaihtoehto CSSfont-feature-settings: zero :ssä .

Luku "nolla" tietojenkäsittelytieteessä ja tietojenkäsittelyssä

Tietokoneissa on käsite " koneen nolla " - tämä on liukuluku ja sellainen negatiivinen järjestys, jonka tietokone pitää nollana.

Toinen tietojen esittämisen ominaisuus tietojenkäsittelytieteessä: monissa ohjelmointikielissä tietotaulukon alkiot ei ole numeroitu tavallisesta yksiköstä, vaan nollasta, joten todellisen M(n):n kuvaus tarkoittaa .array Microsoft .NET Framework -alusta konsolidoi tämän standardin ja jopa käänsi Visual Basic -sovelluksen , joka alun perin käytti numerointia yhdestä. $M_{0},M_{1}\dots M_{n-1}.$

SQL - tietokannassa kentällä voi olla erikoisarvo NULL , joka ei tarkoita nollaa, vaan määrittelemätöntä arvoa. Mikä tahansa lauseke, joka sisältää NULL-arvon, johtaa NULL-arvoon.

Matematiikassa ; eli ne edustavat samaa numeroa, ei ole erillisiä positiivisia ja negatiivisia nollia. Joissakin tietokonemuodoissa (esimerkiksi IEEE 754 -standardissa tai eteenpäin- ja taaksepäin suunnatussa koodissa ) on kuitenkin kaksi erilaista esitystapaa nollalle: positiivinen (positiivisella etumerkillä) ja negatiivinen; katso −0 (ohjelmointi) saadaksesi lisätietoja . Nämä erot eivät kuitenkaan vaikuta laskelmien tuloksiin. $-0=+0=0$ $-0,+0$

Desimaaliesitys _	Binääriesitys (8 bittiä)
Desimaaliesitys _	suoraan	takaisin	lisää
+0	0000 0000	0000 0000	0000 0000
-0	1000 0000	1111 1111	0000 0000

History of Zero

Numeron 0 historia

Numero 0 ilmestyi samaan aikaan kun paikkanumerointi (paikallinen) syntyi - Intiassa desimaali ja Babylonissa seksagesimaali .

Muinainen itä

Babylonialaiset matemaatikot osoittivat seksagesimaalista nollaa, ensin aukkoa ja sitten erityistä nuolenpäämerkkiä "kaksoiskiila"; oletetaan, että babylonialaiset käyttivät viimeistä merkkiä noin 300 eKr. e., ja heidän sumerilaiset opettajansa tekivät tämän luultavasti jo aikaisemmin. Babylonian viisaiden "kaksoiskiilan" symbolilla ei kuitenkaan koskaan ollut itsenäistä merkitystä, ja sitä ei pidetty numerona, vaan luvun puuttumisena; Lisäksi sitä ei koskaan sijoitettu numeromerkinnän loppuun, joten esimerkiksi luvut 2 ja 120 (2×60) oli erotettava kontekstin perusteella [20] [21] .

Numero 0 puuttui roomalaisesta, kreikkalaisesta ja kiinalaisesta numerointijärjestelmästä. Tästä luvusta luovuttiin antamalla joillekin symboleille suurten lukujen arvot. Esimerkiksi kreikkalaisen numerojärjestelmän numero 100 merkittiin kirjaimella Ρ, roomalaisella - kirjaimella C, kiinaksi - hieroglyfillä 百.

Maya ja inkat

Maya-imperiumi oli olemassa Yucatanin niemimaalla noin vuodesta 300 eaa. e. vuoteen 900 jKr e. Mayat käyttivät nollaa vigesimaalilukujärjestelmässään melkein vuosituhatta aikaisemmin kuin intiaanit , mutta vain papit ja vain kalenteritarpeisiin (arkielämässä mayat käyttivät hieroglyfistä viisijärjestelmää) [22] . Ensimmäinen säilynyt stele, jolla on maya-kalenteripäivämäärä , on päivätty 7.16.3.2.13, 6 Ben 16 Shul, eli 8. joulukuuta 36 eKr. e.

On kummallista, että äärettömyyttä merkittiin myös samalla Maya-matematiikan merkillä , koska se ei merkinnyt nollaa sanan eurooppalaisessa merkityksessä, vaan "alkua", "syytä" [23] . Kuukauden päivien laskenta Mayan kalenterissa alkoi nollapäivästä, jota kutsuttiin Ahauksi .

Tahuantinsuyun inka-imperiumissa numerotietojen tallentamiseen käytettiin solmukipujärjestelmää, joka perustui paikkadesimaalilukujärjestelmään . Numerot 1-9 merkittiin tietyn tyyppisillä solmuilla, nolla - ohittamalla solmu haluttuun kohtaan. Nykyaikaisessa ketšuassa nollaa merkitään ketšuan sanalla ch'usaq (kirjaimella "poissa", "tyhjä"), mutta mitä sanaa inkat käyttivät nollaa lukiessaan quipua, ei ole vielä selvää, koska esim. Joissakin ensimmäisissä ketšua-espanjassa ( Diego González Holguín , 1608) ja ensimmäisessä aymara-espanjassa ( Ludovico Bertonio , 1612) ei ollut vastinetta espanjalaiselle "cero" - "nolla".

Intia

Intiassa numeroa " nolla" kutsuttiin sanskritin sanaksi śūnyaḥ ("tyhjyys"; "poissaolo") ja sitä käytettiin laajalti runoissa ja pyhissä teksteissä. Ilman nollaa Intiassa keksittyjen lukujen desimaalipaikkamerkintä olisi ollut mahdotonta . Ensimmäinen nollan merkki löytyy intialaisesta " Bakhshali -käsikirjoituksesta " vuodelta 876 jKr. eli se näyttää paksulta pisteeltä tai täytetyltä ympyrältä, jota myöhemmin kutsuttiin śūnya-binduḥ "tyhjyyspisteeksi" [24] [25] .

Intiaanien kautta arabien kautta, jotka kutsuivat numeroa 0 ṣifr (siitä sanat figure , cipher ja italia zero , zero ), se tuli Länsi-Eurooppaan [26] .

Eurooppa

Wienissä säilytetään Konstantinopolista ( Istanbul ) hankittua 1400-luvun käsinkirjoitettua aritmetiikkaa, jossa käytetään kreikkalaisia numeerisia merkkejä sekä nollaa pisteellä [27] . 1100-luvun arabiankielisissä käännöksissä nollan merkkiä (0) kutsutaan ympyräksi . Sacroboscon käsikirjassa, jolla oli suuri vaikutus aritmeettisen opetuksen opetukseen länsimaissa , kirjoitettu vuonna 1250 ja painettu uudelleen hyvin monissa maissa, nollaa kutsutaan nimellä " thêta vel theca vel circulus vel cifra vel figura nihili " - theta tai teka , tai ympyrä tai kuvio tai ei mitään merkki . Termi nulla figura - ei merkkiä - esiintyy käsinkirjoitetuissa latinankielisissä käännöksissä ja arabiankielisten teosten muunnelmissa 1100-luvulta. Termi nulla löytyy Nicolas Schuquetin vuoden 1484 käsikirjoituksesta ja ensimmäisestä painetusta ns. (julkaisupaikan mukaan) Trevize aritmetiikasta (1478) [28] .

1500-luvun alusta lähtien sana "nolla" on ollut laajassa käytössä Saksassa ja muissa maissa, aluksi vieraana sanana ja latinalaisessa kielioppimuodossa, mutta vähitellen se saa tälle kansalliskielelle ominaisen muodon.

Venäjä

Leonty Magnitsky " Aritmetiikassa " kutsuu merkkiä 0 "numero tai ei mitään" (tekstin ensimmäinen sivu); taulukon toisella sivulla, jossa jokaiselle numerolle on annettu nimi, 0 kutsutaan " ei mitään ". 1700-luvun lopulla toisessa venäläisessä painoksessa X. Wolfin " Abbreviations of the First Funds of Mathematics " ( 1791 ) nollaa kutsutaan myös luvuksi . 1600-luvun matemaattisissa käsikirjoituksissa, joissa käytetään intialaisia numeroita, 0:ta kutsutaan "päällä " , koska se muistuttaa o -kirjainta [29] .

Numeron "nolla" historia

Vaikka egyptiläisessä lukujärjestelmässä ei ole lukua 0 , egyptiläiset matemaatikot käyttivät jo Keski-valtakunnasta (2. vuosituhannen alku eKr.) sen sijaan hieroglyfiä nfr (“kaunis”), mikä merkitsi myös lähtölaskennan alkua vuonna temppelien, pyramidien ja hautojen suunnitelmat [30] .

Kiinalaisista numerotietueista puuttuu myös numero "nolla"; numeron "nolla" merkitsemiseksi he käyttävät merkkiä 〇 - yksi " keisarinna Wu Zetianin hieroglyfeistä ".

Muinaisessa Kreikassa numeroa 0 ei tunnettu. Claudius Ptolemaioksen tähtitieteellisissä taulukoissa tyhjät solut on merkitty symbolilla ο (kirjain omicron , muusta kreikasta οὐδέν - ei mitään ); on mahdollista, että tämä nimitys vaikutti luvun "nolla" esiintymiseen, mutta useimmat historioitsijat tunnustavat, että intialaiset matemaatikot keksivät desimaalinollan .

Euroopassa 0:ta pidettiin pitkään tavanomaisena symbolina, eikä sitä tunnistettu numeroksi; vielä 1600-luvulla Wallis kirjoitti: "Nolla ei ole numero." Aritmeettisissa kirjoituksissa negatiivinen luku tulkittiin velaksi ja nolla täydelliseksi tuhoksi. Leonhard Eulerin teokset edesauttoivat erityisesti hänen oikeuksiensa täydellistä tasoitusta muiden numeroiden kanssa .

Katso myös

Muistiinpanot

↑ 1 2 D. E. Rosenthal . Opas oikeinkirjoitukseen, ääntämiseen ja kirjalliseen editointiin. Luku X. Numeroiden oikeinkirjoitus. Arkistoitu 12. tammikuuta 2015, Wayback Machine M.: CheRo, 1999.
↑ Nuoren matemaatikon tietosanakirja, 1985 .
↑ Zero // Mathematical Encyclopedia (5 osassa). - M .: Neuvostoliiton tietosanakirja , 1982. - T. 3. - S. 1082.
↑ Nolla // Suuri tietosanakirja . – 2000. (Venäjän kieli)
↑ Suuri venäjän kielen selittävä sanakirja. Ch. toim. S. A. Kuznetsov. Ensimmäinen painos: Pietari: Norint, 1998.
↑
Tärkein luku on nolla. Oli loistava idea tehdä tyhjästä jotain, antaa sille nimi ja keksiä sille symboli.
- Van der Waerden B. L. Heräämisen tiede. Muinaisen Egyptin, Babylonin ja Kreikan matematiikka. - M .: Fizmatlit, 1959. - S. 77.
↑ Bunt, Lucas Nicolaas Hendrik; Jones, Phillip S.; Bedient, Jack D. Alkeismatematiikan historialliset juuret (englanniksi) . - Courier Dover Publications , 1976. - P. 254-255. - ISBN 0-486-13968-9 . , Ote sivuista 254–255 Arkistoitu 10. toukokuuta 2016 Wayback Machinessa
↑ 1 2 Potapov M. K., Alexandrov V. V., Pasichenko P. I. Algebra ja alkeisfunktioiden analyysi. - M .: Nauka, 1981. - S. 9. - 560 s.
↑ Kansainvälinen standardi 80000-2:2009. Osa 2 . NCSU COE ihmiset . Haettu 12. elokuuta 2019. Arkistoitu alkuperäisestä 28. helmikuuta 2019. (määrätön)
↑ GOST R 54521-2011 Tilastolliset menetelmät. Matemaattiset symbolit ja merkit standardeissa käytettäväksi (uudelleenjulkaisu), 24. marraskuuta 2011 - docs.cntd.ru. docs.cntd.ru _ Haettu 14. tammikuuta 2022. Arkistoitu alkuperäisestä 9. heinäkuuta 2021. (määrätön)
↑ 1 2 Savin A.P. Nuoren matemaatikon tietosanakirja / koost. A.P. Savin. - M . : "Pedagogia", 1989. - S. 219.
↑ Tsypkin A. G. Matematiikan käsikirja lukioille / Toim. S. A. Stepanova. - 3. painos - M .: Nauka, 1983. - S. 415. - 480 s.
↑ Mikä on luvun voima Arkistoitu 28. heinäkuuta 2021 Wayback Machinessa // School Mathematics, Internet-resurssi.
↑ Miksi luku 0:n potenssilla on yhtä suuri kuin 1? Arkistokopio päivätty 2. huhtikuuta 2015 Wayback Machinessa // Naukolandiya , Internet-resurssi.
↑ Virtatoiminto Arkistoitu 2. huhtikuuta 2015 Wayback Machinessa // Great Soviet Encyclopedia. - M .: Neuvostoliiton tietosanakirja 1969-1978.
↑ Brich Z. S., Voyush V. I., Degtyareva G. S., Kovalevich E. V. Ohjelmointi ES-tietokoneen kokoonpanokielellä. — M .: Tilastot, 1976. — 296 s. - S. 13-14, 19.
↑ Kulakovskaja V.P., Romanovskaja L.M., Savchenko T.A., Feldman L.S. Kobol Computer Minsk-32. Korvaus tietokonekeskusten työntekijöille. - M . : Tilastot, 1973. - 284 s.
↑ Bryabrin V. M. Ohjelmisto henkilökohtaisille tietokoneille. 3. painos — M .: Nauka , 1990. — 272 s. — ISBN 5-02-014824-5 . - S. 17, 113-114.
↑ Smirnov N. N. Ohjelmistot henkilökohtaisille tietokoneille. - L .: Mashinostroenie, 1990. - 272 s. — ISBN 5-217-00029-5 . - S. 13, 80-81.
↑ Lamberto Garcia del Cid. Muiden kulttuurien erikoisnumerot → 116 // Merkittäviä lukuja. Zero, 666 ja muut pedot. - DeAgostini, 2014. - T. 21. - S. 116. - 159 s. — (Matematiikan maailma). - ISBN 978-5-9774-0716-8 .
↑ Lammas, Evelyn (31. elokuuta 2014), katso, äiti, ei nollaa! , Scientific American , Roots of Unity , < http://blogs.scientificamerican.com/roots-of-unity/2014/08/31/look-ma-no-zero/ > Arkistoitu 17. lokakuuta 2014 Wayback Machinessa
↑ Menninger K. Numeroiden historia. Numerot, symbolit, sanat . - M .: ZAO Tsentrpoligraf, 2011. - S. 469 -470. — 543 s. — ISBN 9785952449787 .
↑ Laura Laurencich-Minelli. Mesoamerikkalaisen ja andien "nolla-objektin" omituinen käsitys ja inkojen lukujumalien logiikka . Arkistoitu alkuperäisestä 23. heinäkuuta 2012. (määrätön)
↑ Fuss Around Zero . Haettu 19. syyskuuta 2017. Arkistoitu alkuperäisestä 20. syyskuuta 2017. (määrätön)
↑ Paljon melua tyhjästä : muinainen intialainen teksti sisältää varhaisimman nollasymbolin . The Guardian (14.9.2017). Haettu 19. syyskuuta 2017. Arkistoitu alkuperäisestä 20. marraskuuta 2017.
↑ Lamberto Garcia del Cid. Muiden kulttuurien erikoisnumerot → 116 // Merkittäviä lukuja. Zero, 666 ja muut pedot. - DeAgostini, 2014. - T. 21. - S. 115. - 159 s. — (Matematiikan maailma). - ISBN 978-5-9774-0716-8 .
↑ "Zentralblatt für Mathematik", huhtikuu 1957, tšekkiläisen matematiikan historioitsija G. Vetterin tiedonanto.
↑ Depman, 1965 , s. 89.
↑ Depman, 1965 , s. 90.
↑ Joseph, George Gheverghese. The Crest of the Peacock: Ei-eurooppalaiset matematiikan juuret (kolmas painos) (englanniksi) . — Princeton University Press , 2011. — s . 86 . - ISBN 978-0-691-13526-7 .

Kirjallisuus

Depman I. Ya. Aritmetiikan historia . - 2. painos, tarkistettu. - M . : Koulutus, 1965. - 417 s.
Lamberto Garcia del Cid. Ensimmäiset luonnolliset luvut ja niiden arvo → 0 on moniselitteinen luku // Merkittäviä lukuja. Zero, 666 ja muut pedot. - DeAgostini, 2014. - T. 21. - S. 14-15. — 159 s. — (Matematiikan maailma). - ISBN 978-5-9774-0716-8 .
Zero // Nuoren matemaatikon tietosanakirja / Comp. A.P. Savin. - M .: Pedagogiikka , 1985. - S. 219 . — 352 s.
Turvassa, Charles. Nolla. Vaarallisen idean elämäkerta = Zero: Vaarallisen idean elämäkerta. - Uusklassinen, AST, 2014. - 288 s. - ISBN 978-5-17-083294-1 .
Kaplan, Robert. Ei mitään mikä on. Luonnonhistoria nollasta . - Oxford: Oxford University Press, 2000. - 226 s. — ISBN 0-19-512842-7 .
Wells, David. 0 // Pingviinien sanakirja uteliaista ja mielenkiintoisista numeroista . - Penguin Books, 1986. - S. 23-26 . — 229 s. — ISBN 0-14-008029-5 .

Linkit

Nollan historia
Mikset voi jakaa nollalla?
Numeroiden symboliikka (nolla) /S. Curius / "Time Z" nro 2/2007
Käsitteiden "nolla" ja "ei mitään" vertailusta Smirnov OA - Tieteellinen istunto MEPhI-2003.
Numeron nolla ominaisuudet
JJ O'Connor, E. F. Robertson. Nollan historia . MacTutor Matematiikan historia -arkisto . Matematiikan ja tilastotieteen laitos, St Andrewsin yliopisto, Skotlanti (marraskuu 2000). (määrätön)

Sanakirjat ja tietosanakirjat	Hienoa norjalaista Iso venäläinen Britannica (verkossa) Brockhaus
Bibliografisissa luetteloissa	BNF : 12089393x GND : 4368215-7 J9U : 987007534242405171 LCCN : sh85149761 NKC : ph323412

Numeeriset järjestelmät
Laskettavat sarjat	Luonnolliset luvut ( ) $\scriptstyle \mathbb {N}$ Kokonaisluvut ( ) $\scriptstyle \mathbb {Z}$ Järkevä ( ) $\scriptstyle \mathbb {Q}$ Algebrallinen ( ) $\scriptstyle {\overline {\mathbb {Q} }}$ Jaksot Laskettavissa Aritmeettinen
Reaaliluvut ja niiden laajennukset	Todellinen ( ) $\scriptstyle \mathbb {R}$ Monimutkainen ( ) $\scriptstyle \mathbb {C}$ Quaternions ( ) $\scriptstyle \mathbb {H}$ Cayleyn numerot (oktaavit, oktoniot) ( ) $\scriptstyle \mathbb {O}$ Sedenions ( ) $\scriptstyle \mathbb {S}$ Vaihtoehdot Kaksinkertainen Hyperkompleksi Superrealistinen Hypermateriaali surrealistinen
Numeeriset laajennustyökalut	Cayley-Dixonin menettely Frobenius-lause Hurwitzin lause
Muut numerojärjestelmät	kardinaaliluvut Järjestysluvut (transfinite, ordinaals) p-adic Yliluonnollisia lukuja intervallinumerot
Katso myös	kaksoisnumerot Irrationaalisia lukuja transsendenttiset numerot numerosäde Biquaternion

Kokonaisluvut

100 asti

100 ja enemmän