Triviaali topologia
Triviaali topologia yleisessä topologiassa on topologia , joka koostuu vain koko avaruudesta ja tyhjästä joukosta . On kuitenkin loogisempaa kutsua tätä topologiaa antidiskreetiksi, koska sekä diskreetti että antidiskreetti topologiat ovat molemmat melko triviaaleja sanan yleisessä kielen merkityksessä.
Määritelmä
Antaa olla mielivaltainen joukko . Osajoukkojen perhe , jossa ilmaisee tyhjää joukkoa, on topologia . Tätä topologiaa kutsutaan triviaaliksi, antidiskreetiksi tai tahmeaksi pistetopologiaksi . Paria kutsutaan triviaaliksi (toisin: antidiskreetiksi) topologiseksi avarukseksi .
Huomautus
Jos joukko sisältää useamman kuin yhden pisteen, ne kaikki ovat topologisesti erottamattomia, koska ne sisältyvät yhteen paikkaan .
Ominaisuudet
- Ainoat suljetut joukot antidiskreetissä topologisessa avaruudessa ovat ja
- Antidiskreetillä topologialla on ainutlaatuinen perusta :
- Antidiskreetti topologinen avaruus ei täytä useimpia erotteluaksioomia . Erityisesti se ei ole Hausdorff , joten se ei ole mitattavissa . Antidiskreetti topologinen avaruus kuitenkin tyydyttää aksioomit T 3 , T 31 , T 4 , koska siinä ei ole niitä objekteja, joille on tarpeen tarkistaa aksioomien ehdot. Tästä syystä säännöllisten, täysin säännöllisten ja normaalien topologisten avaruuksien määrittelyihin liittyy vaatimus täyttää vielä yksi erotettavuuden aksiooma: aksiooma T 1 .
- Antidiskreetti topologinen avaruus on kompakti ja parakompakti .
- Mikä tahansa pisteiden sarja pisteestä konvergoi mihin tahansa pisteeseen samasta avaruudesta. Erityisesti antidiskreetti topologinen avaruus on peräkkäin kompakti .
- Mielivaltaisen oikean osajoukon sisäpuoli on tyhjä.
- Mielivaltaisen ei-tyhjän osajoukon sulkeminen osuu . Erityisesti mikä tahansa antidiskreetin topologisen avaruuden osajoukko on kaikkialla tiheä
- Kaksi antidiskreettistä topologista avaruutta ovat homeomorfisia silloin ja vain, jos niillä on sama kardinaliteetti .
