Atlas (topologia)

Atlas - differentiaaligeometrian käsite , jonka avulla voit ottaa käyttöön lisärakenteita jakotukkiin ; esimerkiksi sileä rakenne tai monimutkainen rakenne.

Atlas koostuu yksittäisistä kartoista, jotka kuvaavat yksittäisiä monimuotoisuusalueita. Jos monimuotoisuudella tarkoitamme maan pintaa, sanat "kartta" ja "atlas" saavat tavalliset merkityksensä.

Määritelmät

Antaa olla numerokenttä (esimerkiksi , tai ), olla topologinen avaruus . $K$ $\mathbb {R}$ $\mathbb {C}$ $X$

Kartta on pari missä ${\näyttötyyli (U,f)}$

U

on avoin setti

X

f

on homeomorfismi alkaen avoimeen joukkoon _

U

K^n

Paikallinen kartta syöttää kaarevia koordinaatteja yhdistämällä pisteen numerosarjaan $U$ $x=f^{-1}(t)$ $t=(t^{1},...,t^{n})$

Jos kahden kartan alueet leikkaavat ( ), niin joukkojen ja välillä on keskenään käänteisiä kuvauksia (homeomorfismeja), joita kutsutaan vertailufunktioiksi tai liimausmappauksiksi : $(U_{1},f_{1})$ $(U_{2},f_{2})$ $U_{1}\cap U_{2}\neq \emptyset$ $f_{1}(U_{2})$ $f_{2}(U_{1})$ ${\begin{matrix}f_{12}=f_{1}\circ f_{2}^{-1}|_{f_{2}(U_{1}\cap U_{2})}& :\ f_{2}(U_{1}\cap U_{2})\to f_{1}(U_{1}\cap U_{2})\\f_{21}=f_{2}\circ f_ {1}^{-1}|_{f_{1}(U_{1}\cap U_{2})}&:\ f_{1}(U_{1}\cap U_{2})\to f_ {2}(U_{1}\cap U_{2})\end{matrix}}$

Atlas on joukko koordinoituja karttoja , jotka muodostavat avaruuden peiton . Tässä on joukko indeksejä. Tässä tapauksessa atlasta kutsutaan sileäksi (luokan ) tai analyyttiseksi, jos kaikkien karttojen koordinaattimuutosfunktiot ovat sileitä (luokan ) tai analyyttisiä. ${\displaystyle \{(U_{\alpha },f_{\alpha })\))$ $\alpha \in {\mathcal {A}}$ $\{U_{\alpha }\}$ $X$ ${\mathcal {A}}$ $C^k$ $f_{\alpha _{1}\alpha _{2))$ $C^k$

Aiheeseen liittyvät määritelmät

Kahden sileän (analyyttisen) atlasen sanotaan olevan johdonmukaisia, jos niiden liitto on myös sileä (analyyttinen) atlas.