Normaalit koordinaatit

Normaalikoordinaatit ovat paikallinen koordinaattijärjestelmä Riemannin moniston pisteen (tai yleisemmin affiiniyhteydellä varustetun moniston) naapurustossa, joka on saatu tangenttiavaruuden koordinaateista tässä pisteessä käyttämällä eksponentiaalista karttaa .

Normaalin koordinaattijärjestelmän peruspisteessä Christoffel-symbolit asetetaan nollaan; tämä usein yksinkertaistaa laskelmia.

Rakentaminen

Olkoon tasainen jakoputkisto affiiniyhteydellä ja olkoon vastaava eksponentiaalinen kartta. Tällöin pisteen normaalikoordinaatit katsotaan yhtä suureksi kuin tangenttiavaruuden vektorin koordinaatit . $M$ $\exp _{p}\colon T_{p}\to M$ $x=\exp _{p}v$ $v$ $T_{p}$

Viimeisten koordinaattien valinta on mielivaltainen, erityisesti Riemannin moninaiselle voidaan olettaa, että koordinaatit ovat suorakaiteen muotoisia.

Muistiinpanot

Normaalikoordinaatit määritellään peruspisteen injektiosäteilysäteen sisällä . $s$

Ominaisuudet

Christoffel-symbolit on asetettu nollaan normaalien koordinaattien peruspisteeseen.

Gaussin lemmassa todetaan, että pienet koordinaattipallot, joiden keskipiste on origossa, ovat metrisiä palloja ja ne pysyvät kohtisuorassa pohjapisteestä lähteviin geodetiikkaan nähden.

Kaarevuustensorin komponentit määräytyvät yksiselitteisesti metrisen tensorin toisen asteen Taylor-polynomilla, joka on kirjoitettu normaalikoordinaateilla. Nimittäin:

g_{ij}(x)=\delta _{ij}-{\tfrac {1}{3}}\cdot R_{iklj}\cdot x^{k}\cdot x^{l}+o (|x|^{2}).

Muunnelmia ja yleistyksiä

Normaalit koordinaatit yleistyvät luonnollisesti Finsler-jakoputkiksi . Koska eksponentiaalinen kartta Finsler-jaostoille ei ole kahdesti differentioitavissa nollassa, [1] Finsler-sarjan normaalikoordinaatit eivät myöskään ole tasaisia nollassa.

Muistiinpanot

↑ Busemann, Herbert (1955), Normaalikoordinaateista Finsler-avaruuksissa , Mathematische Annalen T. 129: 417–423, ISSN 0025-5831 , DOI 10.1007/BF01362381 .