Sgn

sgn (signum, latinasta signum - merkki) ontodellisen argumentin palasittain vakiofunktio . Nimetty. Määritelty seuraavasti: $\operaattorinimi{sgn} x$

\operaattorinnimi{sgn} x={\begin{cases}\ \ 1,&x>0\\\ \ 0,&x=0\\-1,&x<0\end{cases}}

Toiminto ei ole alkeellinen .

Usein käytetty esitys

\operaattorinnimi {sgn} x={\frac {d}{dx}}|x|

Tässä tapauksessa moduulin derivaatta nollassa, jota ei tarkasti ottaen ole määritelty, määritellään edelleen vastaavien vasemmalla ja oikealla olevien derivaattojen aritmeettisella keskiarvolla .

Toiminnolla on sovelluksia signaalinkäsittelyteoriassa , matemaattisissa tilastoissa ja muilla matematiikan aloilla, joilla luvun etumerkin osoittamiseen vaaditaan kompakti merkintä .

Historia ja nimitykset

Leopold Kronecker esitteli toiminnon vuonna 1878, aluksi hän nimesi sen eri tavalla: . Vuonna 1884 Kroneckerin täytyi käyttää yhdessä artikkelissa funktiota " kokonaislukuosa ", joka myös osoitettiin hakasulkeilla. Sekaannusten välttämiseksi Kronecker otti käyttöön merkinnän , joka (miinus argumentin edessä oleva piste) oli tieteessä kiinteä. Joskus funktiota kutsutaan nimellä . $\operaattorinimi{sgn} x$ $[x]$ $\operaattorinimi{sgn}$ $sgn.x$ ${\näyttötyyli \operaattorin nimi {merkki} x}$

Function Properties

Määritelmäalue : . $\mathbb {R}$
Arvoalue : . $\{-1;0;+1\}$
Tasainen kaikissa kohdissa nollaa lukuun ottamatta.
Funktio on outo .
Piste on ensimmäisen tyyppinen epäjatkuvuuspiste , koska nollan oikealla ja vasemmalla puolella olevat rajat ovat samat ja vastaavasti. $x=0$ $+1$ $-yksi$
$|x|=\operaattorinimi{sgn} x\cdot x$ ja . _ Toisin sanoen, $x=\operaattorinimi{sgn} x\cdot |x|$ $\forall x\in {\mathbb {R}}$

\operaattorinimi {sgn} x={x \over |x|}={|x|  \over x}

osoitteessa .

x \ne 0

${\frac {d}{dx}}\operaattorinnimi{sgn} x=2\cdot \delta (x)$ , missä on Diracin delta -funktio . $\delta(x)$
$\operaattorinnimi{sgn} x\cdot \operaattorinnimi{sgn} y=\operaattorinnimi{sgn}(x\cdot y)$ .
$\operaattorinnimi{sgn} x={\frac {2}{\pi }}\int _{{0}}^({\infty }}{\frac {\sin tx}{t}}dt$ .

Monimutkaisen argumentin funktion yleistykset

Esitys

\operatorname {sgn} z={\begin{cases}{\frac {z}{|z|}},&z\neq 0\\0,&z=0\end{cases}}

antaa yhden mahdollisista etumerkkifunktion yleistyksistä kompleksilukujen joukkoon . Tässä tapauksessa missä on kompleksiluvun argumentti . Kun funktion tulos on lähimpänä lukua oleva yksikköympyrän piste . Tämän yleistyksen tarkoitus on käyttää yksikköpituuden sädevektoria osoittamaan suuntaa lukua vastaavalla kompleksitasolla . Sama suunta napakoordinaateissa määrittää kulman . Numeroa vastaava epämääräinen suunta ilmaistaan funktion nolla-arvolla. Esimerkiksi näin funktio signum määritellään Haskellin kielen kompleksilukujen standardikirjastossa [1] . ${\frac {z}{|z|}}=\cos \varphi +i\sin \varphi =e^{i\varphi }$ $\varphi =\operaattorin nimi {Arg} z$ $z$ $z\neq 0$ ${\näyttötyyli \operaattorin nimi {sgn} z}$ $z$ $z$ $\varphi$ $z = 0$

Toinen funktion yleistyksen versio, joka on merkitty nimellä , määritellään seuraavasti: $\operaattorin nimi {csgn}$

\operaattorinnimi {csgn} (z)={\begin{cases}1,&\operaattorin nimi {Re} z>0\\-1,&\operaattorinnimi {Re} z<0\\\operaattorinnimi {sgn} \operaattorinimi {Im} z&\operaattorinimi {Re} z=0\end{cases}}

Tätä yleistystä käytetään esimerkiksi sovelluksissa Mathcad ja Maple [2] .

Katso myös

Heaviside-toiminto

Muistiinpanot

↑ Simon Peyton Jones (toimittaja) et al. 13. Kompleksiluvut // Haskell 98 Language and Libraries : The Revised Report. – 2002.
↑ Maple V -dokumentaatio. 21. toukokuuta 1998

Kirjallisuus

Bronstein I. N., Semendyaev K. A. Matematiikan käsikirja. - M .: Nauka, 1964. - 608 s.
Vodnev V. T., Naumovich A. F., Naumovich N. F. Matemaattiset peruskaavat. Hakemisto. - Minsk: Higher School, 1988. - 269 s.