Hamiltonin mekaniikka

Hamiltonin mekaniikka on yksi klassisen mekaniikan muodoista . William Hamiltonin ehdottama vuonna 1833 . Se sai alkunsa Lagrangian mekaniikasta , joka on toinen klassisen mekaniikka, jonka Lagrange esitteli vuonna 1788 . Hamiltonin mekaniikka voidaan muotoilla ilman Lagrangian mekaniikkaa käyttämällä symplektisiä ja Poisson-jakoputkia [1] .

Lagrangin ja Hamiltonin mekaniikan muodollisesta vastaavuudesta huolimatta jälkimmäisellä oli mukanaan tuomien hyödyllisten teknisten lisäysten lisäksi olennainen rooli sekä klassisen mekaniikan matemaattisen rakenteen että sen fysikaalisen merkityksen syvemmässä ymmärtämisessä, mukaan lukien yhteys kvanttimekaniikkaan. (Hamilton halusi alun perin muotoilla klassinen mekaniikka jonkin aaltoteorian lyhytaaltorajaksi, joka vastaa lähes täysin modernia näkemystä).

On olemassa näkemys, että Hamiltonin formalismi on yleensä perustavanlaatuisempaa ja orgaanisempaa, mukaan lukien ja erityisesti kvanttimekaniikassa ( Dirac ), vaikka tämä näkökulma ei ole tullut yleisesti hyväksytyksi, lähinnä ilmeisesti johtuen siitä, että merkittävä osa sellaiset tulkinnat menettävät eksplisiittisen (vain eksplisiittisen) Lorentzin kovarianssin, ja myös siksi, että tämä näkökulma ei antanut niin käytännöllistä ulospääsyä, joka vakuuttaisi jokaisen sen tärkeydestä. On kuitenkin huomattava, että heuristisesti se ei luultavasti ollut viimeinen niistä motiiveista, jotka johtivat Dirac-yhtälön löytämiseen , joka on yksi kvanttiteorian perustavanlaatuisimmista yhtälöistä.

Lagrangian mekaniikan uudelleenmuotoilu

Lagrangian mekaniikassa mekaaniselle järjestelmälle on ominaista Lagrangian : - yleistettyjen koordinaattien ja vastaavien nopeuksien funktio ja mahdollisesti aika . Hamiltonin mekaniikassa otetaan käyttöön yleistetyn momentin käsite , jotka on konjugoitu yleistettyihin koordinaatteihin ja jotka määritellään Lagrangin termeillä seuraavasti: $L(q,\;{\piste {q)],\;t)$ $q$ ${\piste {q}}$ $t$

p={\frac {\partial L}{\partial {\dot {q))))

Karteesisissa koordinaateissa yleiset momentit ovat fyysisiä lineaarisia momentteja . Napakoordinaateissa kulmanopeutta vastaava yleinen liikemäärä on fyysinen kulmamomentti . Yleistettyjen koordinaattien mielivaltaisessa valinnassa on vaikea saada intuitiivinen tulkinta näihin koordinaatteihin konjugoituneista impulsseista tai arvata niiden ilmaisu käyttämättä yllä olevaa kaavaa suoraan.

Tällöin Euler-Lagrange-vektoriyhtälö saa muodon

{\piste {p}}={\frac {\partial L}{\partial q}}

Tästä seuraa erityisesti, että jos jokin koordinaatti osoittautui sykliseksi , eli jos Lagrange-funktio ei riipu siitä, vaan riippuu vain sen aikaderivaattasta, niin siihen konjugoitu liikemäärä , eli se on liikkeen integraali (ajassa säilynyt), mikä selventää jonkin verran yleistettyjen impulssien merkitystä. ${\piste {p}}=0$

Tässä koordinaattijärjestelmän valinnasta riippuvassa formulaatiossa ei ole liian ilmeistä, että erilaiset yleistetyt koordinaatit eivät itse asiassa ole mitään muuta kuin saman symplektisen moniston erilaisia koordinaatioita .

Lagrangin Legendre-muunnoksen avulla Hamiltonin funktio, Hamiltonin funktio, määritetään:

H\left(q,\;p,\;t\right)=\sum _{i}{\piste {q}}_{i}p_{i}-L(q,\;{\piste {q }},\;t)

Jos muunnosyhtälöt, jotka määrittelevät yleistetyt koordinaatit, eivät ole riippuvaisia arvosta , voidaan osoittaa, että se on yhtä suuri kuin kokonaisenergia: $t$ $H$

E=T+V

Hamiltonin kokonaisdifferentiaali voidaan kirjoittaa seuraavasti:

dH =\summa_i\vasen[\piste{q}_i\,dp_i+p_i\,d\piste{q}_i-\frac{\partial L}{\partial q_i}dq_i-\frac{\partial L}{ \partial\piste{q}_i}\,d\piste{q}_i\oikea]-\vasen(\frac{\partial L}{\partial t}\right)\,dt=\summa_i\vasen[\ piste{q}_i\,dp_i+p_i\,d\piste{q}_i-\piste{p}_i\,dq_i-p_i\,d\piste{q}_i\oikea]-\frac{\osittainen L }{\osittainen t}\,dt =

=\summa_i\vasen[\piste{q}_i\,dp_i-\piste{p}_i\,dq_i\oikea]-\frac{\partial L}{\partial t}\,dt

Ottaen huomioon, että Hamiltonin kokonaisdifferentiaali on myös yhtä suuri

dH=\sum _{i}\left[{\frac {\partial H}{\partial q_{i))}\,dq_{i}+{\frac {\partial H}{\partial p_{i} }}\,dp_{i}\oikea]+\vasen({\frac {\partial H}{\partial t}}\right)\,dt

saamme Hamiltonin mekaniikan liikeyhtälöt, jotka tunnetaan Hamiltonin kanonisina yhtälöinä :

{\frac {\partial H}{\partial q_{j))}=-{\piste {p))_{j},\qquad {\frac {\partial H}{\partial p_{j))} ={\piste {q))_{j},\qquad {\frac {\partial H}{\partial t))=-{\frac {\partial L}{\partial t))

Hamiltonin yhtälöt ovat ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälöitä ja siten helpompia ratkaista kuin Lagrangen yhtälöt , jotka ovat toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöitä. Liikeyhtäloihin johtavat vaiheet ovat kuitenkin työllisempiä kuin Lagrangen mekaniikassa - yleistetyistä koordinaateista ja Lagrangen funktiosta alkaen meidän on laskettava Hamiltonin, ilmaistava jokainen yleinen nopeus konjugaattimomenteilla ja korvattava yleiset nopeudet Hamiltonin konjugaattimomentilla. Yleisesti ottaen ongelman ratkaiseminen Hamiltonin eikä Lagrangin formalismissa tuo vain vähän suorituskykyä, vaikka tämä johtaa lopulta samoihin ratkaisuihin kuin Lagrangin mekaniikka ja Newtonin liikelait .

Hamiltonin lähestymistavan päätarkoituksena on, että se tarjoaa perustan perustavanlaatuisemmille tuloksille klassisessa mekaniikassa.

Kanonisten muuttujien mielivaltaiselle funktiolle meillä on $f(q,\;p,\;t)$

{\frac {df}{dt}}={\frac {\partial f}{\partial t}}+\sum _{i}\left({\frac {\partial f}{\partial q_{i} }}{\piste {q_{i}}}+{\frac {\partial f}{\partial p_{i}}}{\piste {p_{i}}}\right)={\frac {\partial f}{\partial t))\,+\,\sum _{i}\left({\frac {\partial f}{\partial q_{i))}{\frac {\partial H}{\partial p_{i))}-{\frac {\partial f}{\partial p_{i))}{\frac {\partial H}{\partial q_{i))}\right)={\frac {\ osittainen f}{\osittainen t}}\,+\,\{H,\;f\},

missä on Poisson-hakasulke . Tämä yhtälö on Hamiltonin mekaniikan perusyhtälö. Voidaan tarkistaa suoraan, että se pätee myös kanonisille muuttujille itselleen tai . $\{H,\;f\}$ $f=q$ $f = p$

Tästä yhtälöstä seuraa, että jos jokin dynaaminen muuttuja ei ole suora ajan funktio, niin se on liikkeen integraali silloin ja vain, jos sen Poisson-sulku on yhtä suuri kuin nolla.

Hamiltonin yhtälöiden johtaminen suoraan stationaarisen toiminnan periaatteesta

Yksinkertainen suora johdannainen mekaniikan Hamiltonin muodosta tulee toiminnan Hamiltonin merkinnästä:

S=\int \left(\sum _{j}p_{j}\,dq_{j}-H(p,\;q)\,dt\right)=\int \left(\sum _{j} p_{j}{\piste {q}}_{j}-H(p,\;q)\oikea)\,dt,

jota voidaan pitää mekaniikan peruspostulaattina tässä formulaatiossa [2] . ( Indekseillä ja ilman tarkoitamme tässä koko yleistettyjen momenttien ja koordinaattien joukkoa). $s$ $q$

Toiminnan paikallaan pysyvyys

\deltaS=0

mahdollistaa Hamiltonin kanonisten yhtälöiden saamisen, ja variaatio tässä suoritetaan itsenäisesti ja . Joten saamme (taas, mutta nyt ilman Lagrangin menetelmää) Hamiltonin kanoniset yhtälöt: $\delta p_{j}$ $\delta q_{j}$

{\piste {p}}_{j}=-{\frac {\partial H}{\partial q_{j}}},

{\piste {q}}_{j}={\frac {\partial H}{\partial p_{j}}}.

Toista käyttämällä kaikki voidaan ilmaista joukolla ja , minkä jälkeen integraalin alla oleva lauseke muuttuu ilmeisesti vain Lagrange-funktioksi. Siten saamme Hamiltonista kiinteän (vähiten) toiminnan periaatteen Lagrangian formuloinnin. $p_{j}$ $q_{i}$ $\piste{q_i}$

Matemaattinen formalismi

Mitä tahansa symplektisen jakosarjan sujuvaa funktiota voidaan käyttää Hamiltonin järjestelmän määrittelemiseen. Funktio tunnetaan Hamiltonin tai energiafunktiona . Symplektistä jakosarjaa kutsutaan vaiheavaruudeksi . Hamiltonin generoi erityisen vektorikentän symplektiselle monille, joka tunnetaan symplektisenä vektorikentällä . $H\colon M\to \mathbb{R}$ $M$ $H$

Symplektinen vektorikenttä (tunnetaan myös nimellä Hamiltonin vektorikenttä) generoi Hamiltonin virtauksen monistossa. Vektorikentän integraalikäyrät ovat yhden parametrin monimuotomuunnoksia, joiden parametri on aika . Evoluutio ajassa on annettu symplektomorfismilla . Liouvillen lauseesta seuraa , että jokainen symplektomorfismi säilyttää tilavuusmuodon vaiheavaruudessa. Hamiltonin virtauksen muodostamaa symplektomorfismien joukkoa kutsutaan yleensä Hamiltonin järjestelmän Hamiltonin mekaniikaksi .

Hamiltonin vektorikenttä generoi myös erikoisoperaation, Poissonin hakasulkeen . Poissonin hakasulke vaikuttaa symplektisen moniston funktioihin antaen näin moniston funktioiden tilalle Lie-algebran rakenteen .

Jos meillä on todennäköisyysjakauma , niin voimme osoittaa, että sen konvektiivinen derivaatta on yhtä suuri kuin nolla, koska vaiheavaruuden nopeudella ( ) on nolladivergentti ja todennäköisyys säilyy. Saada $\rho$ ${{\piste p}_{i)),\;{{\piste q}_{i))$

{\frac {\partial }{\partial t}}\rho =-\{\rho ,\;H\}.

Tätä lauseketta kutsutaan Liouvillen yhtälöksi . Jokainen symplektisen jakosarjan sileä funktio määrittelee yhden parametrin symplektomorfismien perheen, ja jos , niin vaihevirta säilyttää sen. $G$ $\{G,\;H\}=0$ $G$

Hamiltonin vektorikenttien integroitavuus on ratkaisematon ongelma. Yleisesti ottaen Hamiltonin järjestelmät ovat kaoottisia ; mitan , täydellisyyden , integroitavuuden ja vakauden käsitteet ovat heikosti määriteltyjä. Tällä hetkellä dynaamisten järjestelmien tutkimukset keskittyvät pääasiassa järjestelmien laadullisten ominaisuuksien ja niiden muutosten tutkimiseen.

Muistiinpanot

↑ A.V. Borisov, I.S. Mamaev. Poisson-rakenteet ja Lie-algebrat Hamiltonin mekaniikassa. M.: RHD, 1999. - 464 s.
↑ Tämä on (vakiokertoimeen asti, joka voidaan jättää pois sopivalla yksikkövalinnalla) ehkä suorimmin kirjoitettu lauseke vaiheelle $\scriptstyle {\varphi =\int \left(\sum \limits _{j}k_{j}\,dx_{j}-\omega (k_{j},\;x_{j})\,dt\oikea )}$ kvanttimekaniikassa ( Feynmanin polkuintegraalin näkökulmasta tai yksinkertaisessa puoliklassisessa aaltopaketin liikkeen tarkastelussa), jossa liikemäärä ja energia ovat samaan vakiotekijään (Planckin vakioihin) asti aaltovektori ja taajuus $\scriptstyle {p_{j}=\hbar k_{j},\quad E=\hbar \omega }$ (tässä käytetään yksinkertaisuuden vuoksi suorakulmaisia koordinaatteja). Stacionaarifaasimenetelmä puolestaan antaa klassisen approksimoinnin, joka on täysin analoginen kuvatun Hamiltonin menetelmän kanssa, toisin sanoen se yksinkertaisesti toistaa sen. Huomaamme myös, että tämä on yleisesti ottaen yksi suorimmista tavoista luoda analogia häiriöjen "pisteaalto"-pakettien etenemisen välillä laajassa medialuokassa ja materiaalipisteen liikkeen välillä mekaniikassa. Tämä analogia erityisesti mahdollistaa toisen hyödyllisen näkökulman yleistettyjen impulssien luonteeseen ja ominaisuuksiin. $\scriptstyle {\delta \varphi =0}$

Katso myös

Linkit

Arnold VI Klassisen mekaniikan matemaattiset menetelmät. - 5. painos, stereotyyppinen. - M. : Pääkirjoitus URSS, 2003. - 416 s. - 1500 kappaletta. — ISBN 5-354-00341-5 .
Vilazi G. Hamiltonin dynamiikka. — Käännös englannista. - M. : IKI ja RHD, 2006. - 432 s. - ISBN 5-93972-444-2 .
ter Haar, D. Hamiltonin mekaniikan perusteet . - M .: Nauka, 1974.
Vinogradov A. M., Dyer I. S. Mikä on Hamiltonin formalismi? // Matemaattisten tieteiden edistysaskel. - 1975. - V. 30, numero 1 (181), - s. 173–198.
Vinogradov A. M., Kupershmidt B. A. Hamiltonin mekaniikan rakenne // Advances in Mathematical Sciences. - 1977. - T. 32. - s. 175-236.
Abraham R., Marsden JE Foundations of Mechanics. - Lontoo: Benjamin-Cummings, 1978. - ISBN 0-8053-0102-X .
Rychlik M. Lagrangian ja Hamiltonin mekaniikka — Lyhyt johdanto. (linkki ei ole käytettävissä 18-05-2013 alkaen [3449 päivää] - historia )
Binney J. Klassinen mekaniikka . — Luennot PDF -muodossa .
Tong D. Klassinen dynamiikka . — Luennot Cambridgen yliopistossa.

Sanakirjat ja tietosanakirjat	iso kiinalainen
Bibliografisissa luetteloissa	GND : 4376155-0