Liouvillen vaihetilavuuden säilymislause

Liouvillen lause , joka on nimetty ranskalaisen matemaatikon Joseph Liouvillen mukaan, on matemaattisen fysiikan , tilastollisen fysiikan ja Hamiltonin mekaniikan avainlause . Lause väittää faasitilavuuden ajallisen säilymisen eli todennäköisyystiheyden vaiheavaruudessa.

Sanamuoto

Hamiltonin järjestelmän jakaumafunktio on vakio millä tahansa vaiheavaruuden liikeradalla .

Liouvillen yhtälö

Liouvillen yhtälö kuvaa Hamiltonin järjestelmän jakautumisfunktion ( todennäköisyystiheyden ) aikakehitystä -ulotteisessa vaiheavaruudessa ( on järjestelmän hiukkasten lukumäärä). Tarkastellaan Hamiltonin järjestelmää koordinaatteineen ja konjugoitu momentti , jossa . Sitten jakauma vaiheavaruudessa määrittää todennäköisyyden , että järjestelmä on vaiheavaruutensa tilavuuselementissä. $6N$ $N$ $q_{i}$ $p_{i}$ $i=1,\pisteet ,d,$ $d=3N$ ${\näyttötyyli \rho (p_{i},q_{i})}$ $\rho (p,q)\,\mathrm {d} ^{d}q\,\mathrm {d} ^{d}p$ $\mathrm {d} ^{d}q\,\mathrm {d} ^{d}p$

Liouvillen yhtälö kuvaa ajassa tapahtuvaa kehitystä funktion kokonaisderivaatan löytämissäännön mukaisesti , kun otetaan huomioon virtauksen kokoonpuristumattomuus vaiheavaruudessa: $\rho (p_{i},q_{i};t)$ $t$

{\frac {\mathrm {d} \rho }{\mathrm {d} t))={\frac {\partial \rho }{\partial t))+\sum _{i=1}^ {d}\left({\frac {\partial \rho }{\partial q_{i))}{\frac {\mathrm {d} q_{i)){\mathrm {d} t))+{\ frac {\partial \rho }{\partial p_{i))}{\frac {\mathrm {d} p_{i)){\mathrm {d} t))\right)=0.

Hamiltonin järjestelmien vaihekoordinaattien aikaderivaatat kuvataan Hamiltonin yhtälöiden mukaisesti :

{\piste {q}}_{i}\equiv {\frac {\mathrm {d} q_{i}}{\mathrm {d} t}}={\frac {\partial H}{\ osittainen p_{i}}},

{\piste {p}}_{i}\equiv {\frac {\mathrm {d} p_{i}}{\mathrm {d} t}}=-{\frac {\partial H}{ \partial q_{i}}}.

Lauseen yksinkertainen todiste on havainto, että evoluution määrää jatkuvuus (jatkuvuus) yhtälö : $\rho$

{\frac {\partial \rho }{\partial t))+\nabla (\rho \,\mathbf {v} )={\frac {\partial \rho }{\partial t))+\ rho \operaattorin nimi {div} \mathbf {v} +\mathbf {v} \operaattorin nimi {grad} \rho =0,

missä on vaiheavaruuden tutkitun tilavuuden liikenopeus: $\mathbf{v}$

\nabla (\rho \,\mathbf {v} )=\sum _{i=1}^{d}\left({\frac {\partial (\rho {\piste {q))_{ i})}{\partial q_{i))}+{\frac {\osittinen (\rho {\piste {p))_{i})}{\partial p_{i))}\right)

ja havainto, että ero tämän lausekkeen ja Liouville-yhtälön välillä määräytyy vain eroa kuvaavan termin perusteella, nimittäin sen puuttuessa, mikä tarkoittaa todennäköisyystiheyden lähteiden tai nielujen puuttumista:

\rho \operaattorinnimi {div} \mathbf {v} =\rho \sum _{i=1}^{d}\left({\frac {\partial {\piste {q))_{i} } 1}^{d}\left({\frac {\partial ^{2}H}{\partial q_{i}\,\partial p_{i))}-{\frac {\partial ^{2}H }{\partial p_{i}\,\partial q_{i}}}\right)=0,

missä on Hamiltonin ja käytettiin Hamiltonin yhtälöitä . Tämä voidaan esittää järjestelmän pisteiden "fluidivirtauksen" vaiheavaruuden läpi tapahtuvana liikkeenä. Lause tarkoittaa, että Lagrangen derivaatta tai tiheyden oleellinen derivaatta on yhtä suuri kuin nolla. Tämä seuraa jatkuvuusyhtälöstä , koska nopeuskenttä vaiheavaruudessa on divergentti, mikä puolestaan seuraa Hamiltonin yhtälöistä konservatiivisille järjestelmille. $H$ $d\rho /dt$ $({\piste {p)),{\piste {q)))$

Geometrinen tulkinta

Tarkastellaan pienen pisteen (pistejoukon) liikerataa vaiheavaruudessa. Liikkuessaan liikerataa pitkin täplä venytetään yhdessä koordinaatissa, esimerkiksi - - mutta puristetaan toisessa koordinaatissa niin, että tulo pysyy vakiona. Pistealue (vaiheen tilavuus) ei muutu. $p_{i}$ $q_i$ ${\displaystyle \Delta p_{i}\,\Delta q_{i))$

Tarkemmin sanottuna vaihetilavuus säilyy ajansiirtojen aikana. Jos $\Gamma$

\int \limits _{\Gamma }d^{d}q\,d^{d}p=C,

ja on joukko pisteitä vaiheavaruudessa, johon joukko voi kehittyä ajanhetkellä , sitten ${\näyttötyyli \Gamma (t)}$ $\Gamma$ $t$

\int \limits _{\Gamma (t)}d^{d}q\,d^{d}p=C

kaikkina aikoina . Hamiltonin systeemin vaiheavaruuden tilavuus säilyy, koska ajan evoluutio Hamiltonin mekaniikassa on kanoninen muunnos ja kaikilla kanonisilla muunnoksilla on Jacobian yksikkö . $t$

Symplektisen lomakkeen kautta

Olkoon symplektinen monisto ja sujuva funktio. Olkoon symplektinen gradientti eli relaatiota tyydyttävä vektorikenttä ${\näyttötyyli (M,\omega )}$ $H\colon M\to \mathbb {R}$ $V$ $H$

dH(X)=\omega (V,X)

mille tahansa vektorikentälle . Sitten $X$

{\mathcal {L}}_{V}\omega =0,

jossa tarkoittaa Lie derivaatta . $\mathcal{L}$

Tästä väitteestä seuraa Liouvillen lause. Itse asiassa yllä olevasta identiteetistä seuraa, että

{\mathcal {L}}_{V}\omega ^{\wedge n}=0,

ja jos on -dimensionaalinen, niin on tilavuusmuoto . $M$ $2n$ $\omega ^{{\wedge n}}$ $M$

Fyysinen tulkinta

Odotettu hiukkasten kokonaismäärä on jakaumafunktion koko vaiheavaruuden integraali:

N=\int d^{d}q\,d^{d}p\,\rho (p,q)

(normalisointikerroin jätetty pois). Yksinkertaisimmassa tapauksessa, kun hiukkanen liikkuu euklidisessa avaruudessa potentiaalivoimien kentässä, jossa on koordinaatit ja momentti , Liouvillen lause voidaan kirjoittaa seuraavasti $\mathbf {F}$ $\mathbf {x}$ ${\mathbf {p}}$

{\frac {\partial \rho }{\partial t))+\mathbf {v} \cdot \nabla _{\mathbf {x} }\rho +{\frac {\mathbf {F} }{ m}}\cdot \nabla _{\mathbf {p} }\rho =0,

missä on nopeus. Plasmafysiikassa tätä lauseketta kutsutaan Vlasov-yhtälöksi tai törmäysttömäksi Boltzmann-yhtälöksi, ja sitä käytetään kuvaamaan suurta määrää törmäystämättömiä hiukkasia, jotka liikkuvat itseyhdenmukaisessa voimakentässä . $\mathbf {v} ={\piste {\mathbf {x} ))$ $\mathbf {F}$

Klassisessa tilastomekaniikassa hiukkasten määrä on suuri, Avogadron luvun luokkaa . Kiinteässä tapauksessa voidaan löytää tietyssä tilastojoukossa käytettävissä olevien mikrotilojen tiheys . Stationääritiloissa jakaumafunktio on yhtä suuri kuin mikä tahansa Hamiltonin funktio , esimerkiksi Maxwell-Boltzmann-jakaumassa , jossa lämpötila on Boltzmannin vakio . $N$ $\partial\rho/\partial t = 0$ $\rho$ $H$ ${\displaystyle \rho \sim e^{-H/kT))$ $T$ $k$

Merkintä Poisson-sulun kautta

Käyttämällä Poisson-sulkua , joka kanonisissa koordinaateissa on ${\näyttötyyli (q^{i},p_{j})}$

\{A,B\}=\sum _{i=1}^{N}\left(-{\frac {\partial A}{\partial q^{i))}{\frac {\ osittainen B}{\osittainen p_{i))}+{\frac {\osittais A}{\osittainen p_{i))}{\frac {\osittinen B}{\osittainen q^{i))}\oikea ),

Liouvillen yhtälö Hamiltonin järjestelmille saa muodon

{\frac {\partial \rho }{\partial t))=-\{\rho ,H\}.

Merkintä Liouville-operaattorilla

Liouville-operaattorilla

i{\hat {L}}=\sum _{i=1}^{d}\left[{\frac {\partial H}{\partial p_{i))}{\frac {\partial }{\partial q_{i))}-{\frac {\partial H}{\partial q_{i))}{\frac {\partial }{\partial p_{i))}\right]

Hamiltonin järjestelmien yhtälö saa muodon

{\frac {\partial \rho }{\partial t))+i{\hat {L))\rho =0.

Muistiinpanot

Kanoninen kvantisointi antaa kvanttimekaanisen version lauseesta.

Tämä menetelmä, jota käytetään usein klassisten järjestelmien kvanttianalogien saamiseksi, sisältää klassisen järjestelmän kuvaamisen Hamiltonin mekaniikkaa käyttämällä. Klassiset muuttujat tulkitaan sitten uudelleen, nimittäin kvanttioperaattoreiksi, kun taas Poissonin hakasulkeet korvataan kommutaattoreilla . Tässä tapauksessa saamme yhtälön

{\frac {\partial }{\partial t}}\rho ={\frac {1}{i\hbar }}[H,\rho ],

missä ρ on tiheysmatriisi . Tätä yhtälöä kutsutaan von Neumannin yhtälöksi ja se kuvaa Hamiltonin järjestelmien kvanttitilojen kehitystä.

Liouvillen yhtälö pätee tasapaino- ja epätasapainojärjestelmiin. Tämä on epätasapainoisen tilastomekaniikan perusyhtälö.

Oletus vaihevirran kokoonpuristumattomuudesta, eli ehdon täyttymisestä

\sum _{i=1}^{d}\left({\frac {\partial }{\partial q_{i))}{\frac {\mathrm {d} q_{i)){\ mathrm {d} t))+{\frac {\partial }{\partial p_{i))}{\frac {\mathrm {d} p_{i)){\mathrm {d} t))\right) =0,

on merkittävä. Mielivaltaisen dynaamisen järjestelmän yleisessä tapauksessa

{\piste {q}}_{i}=Q_{i}(\mathbf {p} ,\mathbf {q} ,t),\quad {\piste {p}}_{i}=P_ {i}(\mathbf {p} ,\mathbf {q} ,t)

faasiavaruudessa olevien hiukkasten jakautumistiheyden aikakehityksen yhtälö saadaan tasapainoyhtälöstä $\rho (\mathbf {p} ,\mathbf {q} ,t)$

\rho (\mathbf {p} ',\mathbf {q} ',t')\,d\Lambda '=\rho (\mathbf {p} ,\mathbf {q} ,t)\,d \lambda ,

t'=t+dt,\quad p_{i}'=p_{i}+P_{i}\,dt,\quad q_{i}'=q_{i}+Q_{i}\, dt,\quad d\Lambda '=d\Lambda \left[1+dt\sum _{i=1}^{d}\left({\frac {\partial Q_{i)){\partial q_{i ))}+{\frac {\partial P_{i}}{\partial p_{i}}}\right)\right]

(viimeinen suhde on vaihetilavuuselementin skaalaus äärettömän pienellä siirtymällä vaiheradalla). Lopullisella yhtälöllä on muoto

{\frac {\partial \rho }{\partial t))+\sum _{i=1}^{d}\left({\frac {\partial (\rho Q_{i})}{ \partial q_{i))}+{\frac {\partial (\rho P_{i})}{\partial p_{i))}\right)=0

(katso myös Fokker-Planck-yhtälö ) ja siinä tapauksessa osuu yhteen Liouvillen yhtälön kanssa. ${\displaystyle Q_{i}=\osittainen H/\osittainen p_{i},\ P_{i}=-\osittainen H/\osittainen q_{i))$

Katso myös

Poincaré-Cartan-integraali