Lagrangen johdannainen

Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 27.9.2021 tarkistetusta versiosta . vahvistus vaatii 1 muokkauksen .

Lagrangen derivaatta , joka tunnetaan myös substantiivisena derivaatana tai materiaaliderivaattana , on derivaatta , joka on otettu nopeudella u liikkuvan koordinaattijärjestelmän funktiona ja jota käytetään usein nestemekaniikassa ja klassisessa mekaniikassa . Se määritetään sekä koordinaattien ja ajan skalaarifunktiosta että vektorista : $\phi ({\vec {r)),t)$ ${\vec {v}}({\vec {r}}),t)$

{\frac {D\phi }{Dt))={\frac {\partial \phi }{\partial t))+({\mathbf {u))\cdot \nabla )\phi

{\frac {D{\mathbf {v}}}{Dt}}={\frac {\partial {\mathbf {v}}}{\partial t}}+({\mathbf {u}}\cdot \ nabla ){\mathbf {v))

missä on nabla-operaattori ja osoittaa osittaisderivaata suhteessa t. Toinen termi on tämän funktion konvektiivinen derivaatta . $\nabla$ ${\frac {\partial }{\partial t))$

Seuraava identiteetti on totta, kun integraalin Lagrangen derivaatta otetaan :

{\frac {D}{Dt}}\int \limits _{{V(t)}}f({\mathbf {x}})\,dV=\int \limits _{{V(t))) ) \left({\frac {\partial f}{\partial t}}+\nabla \cdot (f{\mathbf {u}})\right)\,dV=\int \limits _{{V(t ) }}\left({\frac {Df}{Dt}}+f(\nabla \cdot {\mathbf {u}})\right)\,dV

Todiste

Todistus osittaisten derivaattojen kompleksisten funktioiden differentiaatiosäännön avulla . Tensorimerkinnällä (Einsteinin summauskäytännöllä) voidaan kirjoittaa:

\left[{\frac {d{\mathbf {B}}}{dt}}\right]_{j}={\frac {d}{dt}}{\hattu {B_{j}}}(t ,x_{i}(t))={\frac {\partial B_{j)){\partial t))+{\frac {\osittinen B_{j)){\osittinen x_{i))}{\ frac {\partial x_{i}}{\partial t}}={\frac {\partial B_{j}}{\partial t}}+{\frac {\partial x_{i}}{\partial t} }{\frac {\partial }{\partial x_{i))}B_{j}={\frac {\partial B_{j)){\partial t))+\left[({\mathbf {u} }\cdot \nabla ){\mathbf {B}}\right]_{j}

Katso myös

Konvektiivinen johdannainen