Poisson-kiinnike

Poisson-sulut [1] (myös mahdollisesti Poisson- sulut [2] ja Lie-sulut ) on operaattori, jolla on keskeinen rooli dynaamisen järjestelmän aikakehityksen määrittämisessä . Tämä operaatio on nimetty S.-D. Poisson . S. Poisson piti sitä vuonna 1809 [3] , sitten Carl Jacobi unohti sen ja löysi sen uudelleen .

Vektorikenttien Poisson-sulut

Olkoon ja vektorikenttiä tasaisella monistolla , ole Lie - derivaatan operaattori vektorikentän suunnan suhteen . Operaattorikommutaattori on ensimmäisen asteen differentiaalioperaattori , joten siinä on vektorikenttä , jolle [4] [Huom. 1] $v$ $u$ $M$ $L_{v}$ $v$ $L_{v}$ $L_{u}$ $[v,u]$

L_{v}L_{u}-L_{u}L_{v}\equiv [L_{v},L_{u}]=L_{{[v,u]}}

Vektorikentän komponentit mielivaltaisessa koordinaattijärjestelmässä ilmaistaan komponentteina ja kaavalla $[v,u]$ $v$ $u$

$[v,u]_{i}=\sum _{j}v_{j}{\frac {\partial u_{i}}{\partial x_{j}}}-u_{j}{\ frac {\partial v_{i}}{\partial x_{j}}}.$

Siten kenttä ei riipu kaavassa käytetystä koordinaattijärjestelmästä . $[v,u]$ ${\näyttötyyli (x_{1},...,x_{n}),}$

Tätä vektorikenttää kutsutaan kahden vektorikentän kommutaattoriksi , Lie-sulkeiksi tai Poisson-suluiksi . Eksplisiittinen lauseke hakasulkeille Lie-kentille:

[v,u]=L_{v}u-L_{u}v

Holonomisessa pohjassa se ottaa muodon

[v,u]^{\mu }=v^{\alpha }\osittais _{\alpha }u^{\mu }-u^{\alpha }\osittais _{\alpha }v^{\mu }

Esimerkki

Antaa olla ryhmä diffeomorphisms moninkertaisen . Sitten missä on Poisson-hakasulke ja on differentiaali ryhmän identiteetissä. Symboli tarkoittaa elementin kuvaa . $G=\mathrm {Diff} (M)$ $M$ $\mathrm {ad} _{v}w=-\{v,w\},$ ${\näyttötyyli \{v,w\))$ $\mathrm {ad}$ $\mathrm {Ad}$ ${\displaystyle \mathrm {ad} _{v))$ $v$

Olkoon käyrä, joka poistuu alkunopeudella ja olkoon sama käyrä alkunopeudella Sitten $t\mapsto g(t)$ $k$ ${\piste {g}}=m,$ $s\mapsto h(s)$ $h'=\omega .$

$g(t)h(s)g(t)^{-1}=(k+tm+o(t))(k+s\omega +o(s))(k+tm+o( t))^{-1}=k+s[\omega +t(m\omega -\omega m)+o(t)]+o(s)$

klo $t,s\rightarrow 0.$

Ominaisuudet

Kaikki paitsi kaksi viimeistä on todistettu yksinkertaisella laskelmalla.

Lineaarisuus : on funktiostaja. ${\Big [}u,cv{\Big ]}=c{\Big [}u,v{\Big ]},\;\;\;\;c$ $u$ $v$
Antikommutatiivisuus : ${\Big [}u,v{\Big ]}=-{\Big [}v,u{\Big ]}$
${\Big [}w,u+v{\Big ]}={\Iso [}w,u{\Big ]}+{\Iso [}w,v{\Iso ]}$
${\Big [}u,u{\Big ]}=0$
${\cfrac {\partial {\Big [}u,v{\Big ]}}{\partial t}}={\Big [}{\cfrac {\partial u}{\partial t}},v{\ Iso ]}+{\Iso [}u,{\cfrac {\partial v}{\partial t)){\Big ]}$
${\Big [}w,c{\Big ]}=0$
${\Big [}w,u\cdot v{\Big ]}={\Big [}w,u{\Big ]}v+u{\Big [}w,v{\Big ]}$
${\Big [}w,u(v_{1},\ldots ,v_{k}){\Big ]}=\sum _{{l=1}}^{k}{\cfrac {\partial u} {\osittainen v_{l))}{\Big [}w,v_{l}{\Big ]}$
Jacobin identiteetti : ${\Iso [}{\Big [}u,v{\Big ]},w{\Big ]}+{\Big [}{\Big [}v,w{\Big ]},u{\Big ] }+{\Big [}{\Big [}w,u{\Big ]},v{\Big ]}=0.$
Kommutointioperaatio asettaa Lie-algebran rakenteen vektorikenttien joukkoon .

Funktioiden Poisson-sulut

Antaa olla symplectic monimuotoinen . Symplektinen rakenne on mahdollistaa Poissonin hakasulkeiden toimintaan liittyvien funktioiden käyttöönoton , jotka on merkitty tai annettu säännöllä [1] [Huomautukset 2] $M$ $\omega$ $M$ $M$ $\{\cdot ,\cdot \}$ $[\cdot ,\cdot]$

[F,G]\ {\stackrel {{\text{def}}}{=}}\ L_{{{\mathbf F}}}G\equiv dG({\mathbf F})\equiv \omega ({ \mathbf F},{\mathbf G})

missä (myös ) on Hamilton-funktiota vastaava vektorikenttä . Se määritellään funktiodifferentiaalilla ja isomorfismilla 1-muotojen ja (ei-degeneroituneen) muodon antamien vektorien välillä . Nimittäin mille tahansa vektorikentälle $\mathbf {F}$ $IdF$ $F$ $F$ $\omega$ ${\mathbf v}$

dF({\mathbf v})\ {\stackrel {{\text{def))}{=}}\ \omega ({\mathbf v},{\mathbf F})

Hamiltonin funktioiden Lie-algebra

Vinosymmetrian ja bilineaarisuuden vuoksi Poisson-kiinnike on myös vinosymmetrinen ja bilineaarinen: $\omega$

[F,G]=-[G,F]

[F,\lambda G+\mu H]=\lambda [F,G]+\mu [F,H]

Ilmaisu

[F, [G, H]] + [G, [H, F]] + [H, [F, G]]

on kunkin funktion toisten derivaatan lineaarinen funktio . kuitenkin $F,G,H$

{\begin{array}{r}[F,[G,H]]+[G,[H,F]]+[H,[F,G]]=\\-L_{{Id[G,H ]}}F+L_{{{\mathbf G}}}L_{{\mathbf H}}}F-L_{{{\mathbf H}}}L_{{{\mathbf G}}}F=\ \\left(-L_{{Id[G,H]}}+L_{{[{\mathbf G},{\mathbf H}]}}\oikea)F\end{array}}

Tämä lauseke ei sisällä toisia johdannaisia . Samoin se ei sisällä toisia johdannaisia ja , ja siksi $F$ $G$ $H$

[F, [G, H]] + [G, [H, F]] + [H, [F, G]] = 0

eli Poissonin hakasulkeet täyttävät Jacobi-identiteetin . Siten Poissonin hakasulkeet mahdollistavat Lie-algebran rakenteen esittelemisen funktiojoukolle . Jacobi-identiteetistä seuraa, että mihin tahansa toimintoon $M$ $H$

L_{{Id[F,G]}}H=L_{{[{\mathbf F},{\mathbf G}]}}H

tuo on

Id[F,G]=[{\mathbf F},{\mathbf G}]

— Hamiltonin vektorikentän konstruointi funktiosta määrittää funktioiden Lie-algebran homomorfismin vektorikenttien Lie-algebraksi.

Ominaisuudet

Poisson-sulut eivät ole rappeutuneet :

\kaikki F\not \equiv 0\ \olemassa H:[F,H]\neq 0

Poisson-sulut täyttävät Leibnizin identiteetin :

[F,GH]=[F,G]H+G[F,H]

Funktio on ensimmäinen integraali Hamiltonin järjestelmälle, jossa on Hamiltonin järjestelmä, jos ja vain jos $F$ $H$ $[F,H] = 0$
Järjestelmän kahden ensimmäisen integraalin Poisson-sulku on jälleen ensimmäinen integraali (seuraus Jacobin identiteetistä).
Tarkastellaan Hamiltonin järjestelmän kehitystä, jonka Hamiltonin funktio on annettu monissa . Mielivaltaisen funktion kokonaisaikaderivaata voidaan kirjoittaa muodossa $H$ $M$ $f\colon M\times \mathbb{R} \to \mathbb{R}$

{\begin{array}{cl}{\frac {d}{dt}}f=&{\frac {\partial f}{\partial t}}+{\dot q}{\frac {\partial f} {\osittais q))+{\piste p}{\frac {\osittinen f}{\osittainen p))=\\&{\frac {\osittinen f}{\osittainen t))+L_{({\ mathbf H))}f=\\&{\frac {\partial }{\partial t))f+[H,f]\end{array))

Kanonisissa koordinaateissa Poisson-sulut ovat muotoa [Notes 3] $(q_{i},p_{j})$

[f,g]=\sum _{i=1}^{N}\left({\frac {\partial f}{\partial p_{i))}{\frac {\partial g}{ \partial q^{i))}-{\frac {\partial f}{\partial q^{i))}{\frac {\partial g}{\partial p_{i))}\right)

[5]

Filosofinen merkitys

Poisson-suluilla on ollut tärkeä heuristinen rooli kvanttimekaniikan luomisessa klassisen ja kvanttimekaniikan klassisen analogian avulla. [6] [7] [8] [9]

Muistiinpanot

↑ Jotkut kirjoittajat [Arnold] käyttävät määritelmää päinvastaisella etumerkillä, mikä myös muuttaa etumerkkiä funktioiden Poissonin hakasulkeissa (katso alla). Tämän lähestymistavan sanelee ilmeisesti halu säilyttää sekä Hamiltonin kenttien luonnolliset geometriset määritelmät ja niiden ominaisuudet että perinteinen muoto kirjoittaa Poissonin hakasulkeet koordinaatteihin. Tämä kuitenkin tuhoaa luonnollisen symmetrian Lie-derivaatojen, vektorien ja funktioiden kommutaattorien välillä. Lisäongelmia syntyy, kun siirrytään yleisiin differentiaaligeometrian käsitteisiin (muodot, vektoriarvoiset muodot, erilaiset johdannaiset), joissa tämän symmetrian puuttuminen monimutkaistaa kaavoja tarpeettomasti. Siksi tässä artikkelissa käytetään muita määritelmiä varauksin.
↑ Joissakin kirjoissa [Arnold] on otettu käyttöön päinvastainen määritelmä, nimittäin samaan aikaan vektorikenttien kommutaattori on määritelty myös vastakkaisella merkillä (katso edellä), ja Poisson-sulun lauseke koordinaateissa on perinteinen muoto, mutta kenttäkytkimen lausekkeessa ja kaavassa näkyy ylimääräinen miinus . $[F,G]\ {\stackrel {def}{=}}\ dF({\mathbf G})={-L_{{{\mathbf F}}}G.}$ $L_{{Id[F,G]}}=-L_{{[{\mathbf F},{\mathbf G}]}}$
↑ [Arnold]:ssa [Gantmacher] lausekkeella on päinvastainen merkki (samanlainen kuin yllä olevat huomautukset). Perinteisesti lauseke kirjoitetaan kuten [Gantmacher].

Kirjallisuus

↑ 1 2 Gantmakher F. R. Luennot analyyttisestä mekaniikasta: Oppikirja yliopistoille / Toim. E. S. Pyatnitsky. - 3. painos - M. : FIZMATLIT, 2005. - 264 s. — ISBN 5-9221-0067-X .
↑ Arnold V. I. Klassisen mekaniikan matemaattiset menetelmät. - 5. painos, stereotyyppinen. - M. : Pääkirjoitus URSS, 2003. - 416 s. - 1500 kappaletta. — ISBN 5-354-00341-5 .
↑ Poisson SD Memoire sur lavariation des Constantes arbitraire dans les Questions de Mechanique. - Matka. Politechn. 1809 t. VIII, s. 266-344
↑ Ivan Kolář, Peter W. Michor, Jan Slovák Luonnolliset operaatiot differentiaaligeometriassa Arkistoitu 6. heinäkuuta 2020 Wayback Machinessa , - Springer-Verlag, Berliini, Heidelberg, 1993. - ISBN 3-540-56235-4 , ISBN 0- 387-56235-4 .
↑ Landau L.D, Lifshitz E.M. Teoreettinen fysiikka. Osa 1. / Fysikaalisten ja matemaattisten tieteiden tohtori L.P. Pitajevski. - 5. - FIZMATLIT, 2004. - S. 176-179. - ISBN 5-9221-0055-6 .
↑ Dirac P A M "Basic Equations of Quantum Mechanics" Arkistokopio 2. toukokuuta 2021, Wayback Machine UFN 122 611–621 (1977)
↑ Dirac P.A.M. Muistoja poikkeuksellisesta aikakaudesta. - M., Nauka, 1990. - s. 20-21
↑ Dirac P. A. M. Kvanttimekaniikan periaatteet. - M., Fizmatlit, 1960. - s. 125-130
↑ Razumovsky O. S. Poissonin hakasulkeet menetelmänä // Yanenko N. N. , Preobrazhensky N. G., Razumovsky O. S. Matemaattisen fysiikan metodologiset ongelmat. - Novosibirsk, Nauka, 1986. - s. 246-263