Geometrinen Brownin liike

Geometrinen Brownin liike (GBM) (harvemmin eksponentiaalinen Brownin liike, taloudellinen Brownin liike) on jatkuvaaikainen satunnainen prosessi, jonka logaritmi on Brownin liike ( Wiener-prosessi ). GBM:ää käytetään hinnoittelun mallintamiseen rahoitusmarkkinoilla, ja sitä käytetään ensisijaisesti optiohinnoittelumalleissa , koska GBM voi saada minkä tahansa positiivisen arvon. GBM on kohtuullinen arvio osakekurssien todellisesta dynamiikasta, mutta se ei ota huomioon harvinaisia tapahtumia (outliers).

Satunnaisprosessi S t on GBM, jos se täyttää seuraavan stokastisen differentiaaliyhtälön :

{\displaystyle dS_{t}=\mu S_{t}\,dt+\sigma S_{t}\,dW_{t))

missä on Brownin liike , ja ("drift-parametri") ja ("volatiliteettiparametri") ovat vakioita. $W_{t}$ $\mu$ $\sigma$

Tällä SDE:llä on ratkaisu mielivaltaiselle alkuarvolle S 0

S_{t}=S_{0}\exp \left(\left(\mu -{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)t+\sigma W_{t}\right ),

mikä on lognormaalijakautunut satunnaismuuttuja keskiarvolla ja varianssilla _ ${\displaystyle \mathbb {E} (S_{t})=e^{\mu t}S_{0))$ $\operatorname {Var} (S_{t})=e^{2\mu t}S_{0}^{2}\left(e^{\sigma ^{2}t}-1\right) .$

Ratkaisun oikeellisuus voidaan todeta käyttämällä Itôn lemmaa . Satunnaismuuttuja log( S t / S 0 ) on normaalisti jakautunut keskiarvon ja varianssin kanssa , mikä tarkoittaa, että GBM:n lisäykset ovat normaaleja (hinta huomioiden), mikä antaa aihetta puhua "geometrisesta" prosessista. $(\mu -\sigma ^{2}/2)t$ $\sigma ^{2}t$