Lähentyminen mitoissa
Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 28.9.2021 tarkistetusta
versiosta . vahvistus vaatii
1 muokkauksen .
Mitan (todennäköisyyden) konvergenssi funktionaalisessa analyysissä , todennäköisyysteoriassa ja niihin liittyvissä tieteenaloissa on eräänlainen avaruudessa annettujen mitattavien funktioiden ( satunnaismuuttujien ) konvergenssi mittaan ( todennäköisyysavaruus ).
Määritelmä
Olkoon tila mittauksella. Olkoon mitattavissa olevia toimintoja tässä avaruudessa. Funktioiden sarjan sanotaan konvergoivan mitattuna funktioon, jos
.
Nimitys: .
Todennäköisyysteorian kannalta, jos todennäköisyysavaruus on annettu satunnaismuuttujineen , sanotaan, että se konvergoi todennäköisyydellä jos
.
Nimitys: .
Huomautus
Mitan konvergenssin määritelmä (todennäköisyydellä) voidaan yleistää kartoituksiin ( satunnaiselementteihin ), jotka ottavat arvoja mielivaltaisessa metriavaruudessa .
Konvergenssin ominaisuudet mitassa
- Lause (Riess F.): Jos funktiojono konvergoi mittaan , niin sillä on osajono , joka suppenee - melkein kaikkialle .
- Lause (mitan konvergenssin kriteeri): Jos suure on äärellinen, niin funktiojono konvergoi suureen jos ja vain, jos jollekin sekvenssin osasekvenssille on olemassa osajono, joka suppenee melkein kaikkialle.
- Jos funktiojono konvergoi mitattuna arvoon , ja , missä , sitten , ja konvergoi sisään .
- Jos äärellisen suuren avaruudessa funktiojono suppenee -melkein kaikkialla kohtaan , niin se myös konvergoi mitassa. Päinvastoin ei yleensä pidä paikkaansa.
- Jos funktiojono konvergoi arvossa k , niin se konvergoi myös mittana. Päinvastoin ei yleensä pidä paikkaansa.
- Jos satunnaismuuttujien sarja konvergoi todennäköisyydessään arvoon , niin se konvergoi jakaumaan ja jakaumaan .
- Jos satunnaismuuttujien sarja konvergoi todennäköisyydessään arvoon , niin mille tahansa jatkuvalle funktiolle on totta, että . Tämä väite pätee erityisesti useiden muuttujien jatkuvaan funktioon