Lp:n lähentyminen

$L^{p}$ Funktionaalisen analyysin , todennäköisyysteorian ja niihin liittyvien tieteenalojen konvergenssi on mitattavien funktioiden tai satunnaismuuttujien konvergenssityyppi .

Määritelmä

Antaa olla tila toimenpiteellä . Silloin mitattavien funktioiden avaruus siten, että niiden th teho, jossa , on Lebesgue integroitava , on metrinen . Tämän tilan mittarilla on muoto: $(X,\mathcal{F},\mu)$ $L^p\equiv L^p(X,\mathcal{F},\mu)$ $s$ $p\geqslant 1$

d(f,g) = \|f - g\|_p \equiv \left(\, \int\limits_X |f(x)-g(x)|^p\, \mu(dx)\, \oikea )^{1/p}

Olkoon sekvenssi annettu . Sitten sanotaan, että tämä sekvenssi konvergoi funktioon, jos se konvergoi edellä määritellyssä metriikassa , ts. $\{f_{n}\}_{n=1}^{\infty }\subset L^{p}$ $L^{p}$ $f \in L^p$

\lim\limits_{n \to \infty} \|f_n - f\|_p = 0

Kirjoita :. Joskus he käyttävät myös nimitystä - englannista. Englanti raja keskiarvossa . $f_n \stackrel{L^p}{\longrightarrow}f$ $f(x)=\mathop{\mathrm{lim}}_{n\to\infty} f_n(x)$

Todennäköisyysteorian kannalta satunnaismuuttujien sarja konvergoi samasta avaruudesta if $\{X_n\}_{n=1}^{\infty}\subset L^p(\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P})$ $X$

\lim\limits_{n\to \infty}\mathbb{E}|X_n-X|^p = 0

Kirjoita :. $X_n \stackrel{L^p}{\longrightarrow} X$

Terminologia

Konvergenssia avaruudessa kutsutaan keskimääräiseksi konvergenssiksi. $L^1$
Konvergenssia avaruudessa kutsutaan rms-konvergenssiksi. $L^{2}$

Konvergenssiominaisuudet kohteessa $L^{p}$

Rajan ainutlaatuisuus. Jos ja , niin - melkein kaikkialla ( - melkein varmasti ). $f_n \stackrel{L^p}{\longrightarrow}f$ $f_n \stackrel{L^p}{\longrightarrow} g$ $f = g$ $\mu$ $\mathbb {P}$

Tila on täynnä . Jos , niin on olemassa sellainen, että . $L^{p}$ $\|f_n-f_m\|_p \arvoon 0$ $\min(n,m) \to \infty$ $f \in L^p$ $f_n \stackrel{L^p}{\longrightarrow}f$

Lähentyminen tarkoittaa mittasuhteiden ( todennäköisyydellä ) lähentymistä. Jos , niin . $L^{p}$ $f_n \stackrel{L^p}{\longrightarrow}f$ $f_n \stackrel{\mu}{\longrightarrow} f$