Integraatiovakio

Laskennassa tietyn funktion epämääräinen integraali ( eli funktion kaikkien antiderivaatojen joukko) liittyvässä toimialueessa määritellään vain integroinnin additiiviseen vakioon asti. Tämä vakio ilmaisee antijohdannaisten ottamiseen liittyvän monitulkintaisuuden. on määritetty välille, ja se on antiderivaata , niin kaikkien antiderivaatojen joukko on annettu funktioilla , jossa C on mielivaltainen vakio (tämä tarkoittaa, että mikä tahansa C:n arvo tekee antiderivaatasta todellisen). Yksinkertaisuuden vuoksi integrointivakio on joskus jätetty pois integraaliluetteloista. ${\displaystyle {\displaystyle f(x)))$ ${\displaystyle F(x)))$ ${\displaystyle {\displaystyle f(x)))$ ${\displaystyle {\displaystyle f(x)))$ $F(x)+C$

Alkuperä

Minkä tahansa vakiofunktion derivaatta on yhtä suuri kuin nolla. Jos funktiolle löydetään yksi antiderivaata , minkä tahansa vakion C lisääminen tai vähentäminen antaa meille yhden antiderivaatan lisää, koska . Vakio on tapa ilmaista, että jokaisella funktiolla, jossa on vähintään yksi antiderivaata, on niitä ääretön määrä. ${\displaystyle {\displaystyle f(x)))$ $F(x)$ $(F(x)+C)'=F\,'(x)+C\,'=F\,'(x)$

Antaa , ja olla kaksi universaalisti differentioituvaa funktiota. Oletetaan, että jokaiselle reaaliluvulle x. Sitten on sellainen reaaliluku C, että jokaiselle reaaliluvulle x. Todistaaksesi tämän, huomaa, että . Siten F voidaan korvata FG:llä ja G vakiofunktiolla 0 sen osoittamiseksi, että kaikkialla differentioituvan funktion, jonka derivaatta on aina nolla, on oltava vakio: . Jokaiselle x:lle Calculuksen peruslause yhdessä oletuksen kanssa, että F:n derivaatta katoaa, tarkoittaa, että ${\displaystyle {\displaystyle F:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} ))$ $G:{\mathbb {R} }\rightarrow {\mathbb {R} }$ $F\,'(x)=G\,'(x)$ $F(x)-G(x)=C$ $[F(x)-G(x)]'=0$ $C=F(a)$

${\displaystyle {\begin{aligned}&0=\int _{a}^{x}F'(t)\ dt\\&0=F(x)-F(a)\\&0=F( x)-C\\&F(x)=C\\\end{tasattu}}}$

joten F on vakiofunktio.

Kaksi tosiasiaa ovat ratkaisevia tässä todistuksessa. Ensinnäkin todellinen linja on kytketty. Jos todellista linjaa ei olisi yhdistetty, emme ehkä aina pysty integroimaan kiinteästä a:sta mihin tahansa annettuun x:ään. Esimerkiksi jos ottaisimme määritetyt funktiot yhdistämään intervallit [0,1] ja [2,3], ja jos a olisi 0, olisi mahdotonta integroida 0:sta 3:een, koska funktiota ei ole määritelty välillä 1 ja 2 Tässä on kaksi vakiota, yksi kullekin yhdistetylle verkkoalueen komponentille. Yleisessä tapauksessa, korvaamalla vakiot paikallisesti vakiofunktioilla, voimme laajentaa tämän lauseen irrotettuihin alueisiin. Esimerkiksi integrointivakiota on kaksi ja niille äärettömän monta, joten esimerkiksi 1/x-integraalin yleinen muoto on: $\textstyle \int dx/x$ $\textstyle \int \tan x\,dx,$

$\int {1 \over x}\,dx={\begin{cases}\ln \left|x\right|+C^{-}&x<0\\\ln \left|x\right| +C^{+}&x>0\end{cases}}$

Toiseksi oletettiin, että F ja G ovat kaikkialla differentioituvia. Jos F ja G eivät ole differentioituvia ainakaan yhdessä pisteessä, niin lause epäonnistuu. Oletetaan esimerkkinä Heaviside-funktio, joka on nolla negatiivisille x-arvoille ja yksi ei-negatiivisille x-arvoille, ja olkoon sitten F:n derivaatta nolla, kun se on määritelty, ja G:n derivaatta aina nolla. On kuitenkin selvää, että F ja G eivät eroa vakioarvolla. Vaikka oletetaan, että F ja G ovat kaikkialla jatkuvia ja differentioituvia melkein kaikkialla, lause epäonnistuu silti. Otetaan esimerkkinä F Cantor-funktioksi ja G = 0. $F(x)$ $G(x)=0.$

Oletetaan esimerkiksi, että joku haluaa löytää antijohdannaisia . Yksi tällainen primitiivi on tämä . Toinen - Kolmas - . Jokaisella niistä on derivaatta , joten ne ovat kaikki antiderivaatteja. Osoittautuu, että vakioiden yhteen- ja vähennys on ainoa joustavuus, joka meillä on löytää saman funktion eri antiderivaatat. Eli kaikki antijohdannaiset ovat samoja vakioon asti. Ilmaistaksemme tämän tosiasian cos(x:lle) kirjoitamme: $\cos(x)$ ${\displaystyle {\displaystyle \sin(x)))$ $\sin(x)+1.$ ${\displaystyle {\displaystyle \sin(x)-\pi ))$ $\cos(x)$ ${\displaystyle \cos(x)}\$ $\int \cos(x)\,dx=\sin(x)+C.$

C:n korvaaminen numerolla tuottaa antiderivaalin. C:n kirjoittaminen luvun sijaan antaa kuitenkin kompaktin kuvauksen kaikista mahdollisista antiderivaatteista cos(x). C:tä kutsutaan integraatiovakioksi. On helppo määrittää, että kaikki nämä funktiot ovat todellakin johdannaisia $\cos(x):$

${\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}[\sin(x)+C]&={\frac {d}{dx}}[\sin(x)]+{\ frac {d}{dx}}[C]\\&=\cos(x)+0\\&=\cos(x)\end{aligned}}$

välttämättömyys

Ensi silmäyksellä saattaa tuntua, että vakiota ei tarvita, koska se voidaan nollata. Myös kun määrällisiä integraaleja arvioidaan laskennan peruslauseen avulla, vakio kumoaa aina itsensä. Vakion asettaminen nollaan ei kuitenkaan aina ole järkevää. Se voidaan esimerkiksi integroida ainakin kolmella eri tavalla: $2\sin(x)\cos(x)$

${\begin{aligned}\int 2\sin(x)\cos(x)\,dx&=&\sin ^{2}(x)+C&=&-\cos ^{2}(x) +1+C&=&-{\frac {1}{2}}\cos(2x)+C\\\int 2\sin(x)\cos(x)\,dx&=&-\cos ^{2 }(x)+C&=&\sin ^{2}(x)-1+C&=&-{\frac {1}{2}}\cos(2x)+C\\\int 2\sin(x) )\cos(x)\,dx&=&-{\frac {1}{2}}\cos(2x)+C&=&\sin ^{2}(x)+C&=&-\cos ^{2 }(x)+C\end{tasattu}}$

Joten C:n nollaus voi silti jättää vakion. Tämä tarkoittaa, että tälle toiminnolle ei ole olemassa "Yksinkertaista johdannaista".

Toinen ongelma C:n asettamisessa nollaan on, että joskus haluamme löytää antiderivaatteja, joilla on tietty arvo tietyssä pisteessä (kuten alkuarvoongelmassa). Jos esimerkiksi saadaan antiderivaata , jonka arvo on 100, kun x = π, vain yksi C:n arvo toimii (tässä tapauksessa C = 100). ${\displaystyle {\displaystyle \cos(x)))$

Tämä rajoitus voidaan muotoilla uudelleen differentiaaliyhtälöiden kielellä. Funktion määrittelemättömän integraalin löytäminen on sama asia kuin differentiaaliyhtälön ratkaiseminen.Millä tahansa differentiaaliyhtälöllä on useita ratkaisuja, ja jokainen vakio on ainoa ratkaisu hyvin aseteltuun alkuarvoongelmaan. Alkuehto on se, että asetetaan ehto, että antiderivaattinen arvomme saa arvon 100 kohdassa x = π. Jokainen alkuehto vastaa yhtä ja vain yhtä C:n arvoa, joten ilman C:tä ongelman ratkaiseminen olisi mahdotonta. $f(x)$ ${\frac {dy}{dx}}=f(x).$

On toinenkin perustelu, joka perustuu abstraktiin algebraan. Reaalilukujen kaikkien (sopivien) reaalifunktioiden avaruus on vektoriavaruus ja differentiaalioperaattori on lineaarinen operaattori. Operaattori näyttää funktion, joka on yhtä suuri kuin nolla, jos ja vain, jos tämä funktio on vakio. Siten ydin on kaikkien vakiofunktioiden tila. Epämääräinen integrointiprosessi rajoittuu tietyn funktion prototyypin löytämiseen. Tietylle funktiolle ei ole kanonista esikuvaa, mutta kaikkien tällaisten esikuvien joukko muodostaa kosetin. Vakion valitseminen on samanlaista kuin kosetin elementin valitseminen. Tässä yhteydessä alkuarvoongelman ratkaisu tulkitaan olevan alkuehtojen antamassa hypertasossa. ${\frac {d}{dx))$ ${\frac {d}{dx))$ ${\frac {d}{dx))$

Fyysinen merkitys

Katsotaanpa joitain esimerkkejä.

Ruumis putoaa talon viidennestä kerroksesta maahan lentäen jonkin matkaa. Sitten sama ruumis putoaa yhdeksännestä kerroksesta viidennen parvekkeelle ja lentää saman matkan alkuasennon erosta huolimatta. Jätämme huomiotta painovoiman muutoksen talon korkeudessa. Tässä esimerkissä integrointivakio määrittää kappaleen alkuasennon (kerroksen numero).

Auto ajaa suoraa tietä jollain vaihtelevalla nopeudella. Jos auto siirretään liikkeen alussa toiseen paikkaan reitillä, se ajaa samaa reittiä.

Hevonen vetää rekiä tasaisella pellolla. Riippumatta siitä, missä hevonen on pellolla, hän tekee saman työn rekiä vetäessään (hevosen kulkeman matkan on oltava sama).

Vesi valuu ulos lieriömäisestä astiasta pohjassa olevan reiän kautta. Astian pintaa lasketaan 10 cm. Riippumatta siitä, mihin asti astia alun perin täytetty, sama kulunut vesimäärä laskee tasoa 10 cm.

Kondensaattorin yli oleva jännite muuttuu 1 voltista 0 volttiin. Sitten saman kondensaattorin jännite muuttuu 1000 voltista 999 volttiin. Molemmissa tapauksissa kondensaattorin läpi kulkeva varaus on sama.

Keho jäähtyy 1°C:sta 0°C:seen. Sama kappale jäähtyy 1000 °C:sta 999 °C:seen. Jos jätämme huomiotta lämpökapasiteetin riippuvuuden lämpötilasta, niin keho menettää molemmissa tapauksissa saman määrän lämpöä.

Kirjallisuus

Stewart, James (2008). Calculus: Early Transcendentals (6. painos). Brooks/Cole. ISBN0-495-01166-5.
Larson, Ron; Edwards, Bruce H. (2009). Calculus (9. painos). Brooks/Cole. ISBN0-547-16702-4.
Lukijakysely: loki| x | + C ”, Tom Leinster, n - luokan kahvila , 19. maaliskuuta 2012
Banner, Adrian (2007). Calculus lifesaver: kaikki työkalut, joita tarvitset kunnon laskemiseen . Princeton [ua]: Princeton University Press. s. 380. ISBN978-0-691-1308