Fibonaccin numerot

Fibonacci-luvut (oikeinkirjoitus - Fibonacci [2] ) - numeerisen sekvenssin elementit

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 4181, 6765, 109410 , ... OEIS : ssä ),

jossa kaksi ensimmäistä numeroa ovat 0 ja 1, ja jokainen seuraava luku on yhtä suuri kuin kahden edellisen luvun summa [3] . Nimetty keskiaikaisen matemaatikon Leonardo Pisalaisen (tunnetaan nimellä Fibonacci ) mukaan [4] .

Totta, joissakin kirjoissa, varsinkin vanhemmissa[ mitä? ] , termi, joka on yhtä suuri kuin nolla, jätetään pois — silloin Fibonacci-sekvenssi alkaa [5] [6] . $F_{0}$ $F_{1}=F_{2}=1$

Muodollisemmin Fibonacci-lukujen sarja saadaan lineaarisella toistuvuusrelaatiolla : $\{F_{n}\}$

{\displaystyle F_{0}=0,\quad F_{1}=1,\quad F_{n}=F_{n-1}+F_{n-2))

, missä .

\ n\geqslant 2,\ n\in \mathbb {Z}

Joskus Fibonacci-lukuja pidetään myös negatiivisina arvoina kaksipuolisena äärettömänä sekvenssinä, joka täyttää saman toistuvuussuhteen. Niinpä termit negatiivisilla indekseillä on helppo saada käyttämällä vastaavaa "taaksepäin" kaavaa : $n$ $F_{n}=F_{n+2}-F_{n+1}$

n	…	−10	−9	−8	−7	−6	−5	−4	−3	−2	−1	0	yksi	2	3	neljä	5	6	7	kahdeksan	9	kymmenen	…
$F_{n}$	…	−55	34	−21	13	−8	5	−3	2	−1	yksi	0	yksi	yksi	2	3	5	kahdeksan	13	21	34	55	…

Se on helppo nähdä . ${\displaystyle F_{-n}=(-1)^{n+1}F_{n))$

Alkuperä

Fibonacci-sekvenssi tunnettiin hyvin muinaisessa Intiassa [7] [8] [9] , jossa sitä käytettiin metriikkatieteissä ( prosodia , toisin sanoen versifikaatio) paljon aikaisemmin kuin se tuli tunnetuksi Euroopassa [ 8] [10] [ 11] .

Kuvio, jonka pituus on n , voidaan rakentaa lisäämällä S kuvioon, jonka pituus on n − 1 , tai L n − 2 pituiseen kuvioon, ja prosodistit ovat osoittaneet, että n pituisten kuvioiden lukumäärä on kahden edellisen summa. numerot järjestyksessä [9] . Donald Knuth käsittelee tätä vaikutusta ohjelmoinnin taiteessa .

Lännessä tätä sekvenssiä tutki Leonardo Pisalainen, joka tunnetaan nimellä Fibonacci , teoksessaan The Book of the Abacus (1202) [12] [13] . Hän harkitsee idealisoidun (biologisesti epärealistisen) kanipopulaation kehittymistä, jossa olosuhteet ovat seuraavat: alun perin annetaan vastasyntynyt kanipari (uros ja naaras); toisesta syntymäkuukaudesta lähtien kanit alkavat paritella ja tuottavat uuden kaniparin, lisäksi joka kuukausi; kanit eivät koskaan kuole [14] [15] , ja esittää kaniparien lukumäärän vuodessa halutuksi arvoksi.

Ensimmäisen kuukauden alussa on vain yksi vastasyntynyt pariskunta (1) .
Ensimmäisen kuukauden lopussa vielä vain yksi pari kaneja, mutta jo parittunut (1).
Toisen kuukauden lopussa ensimmäinen pari synnyttää uuden parin ja pariutuu uudelleen (2).
Kolmannen kuukauden lopussa ensimmäinen pari synnyttää uuden parin ja parittelee, toinen pari vain parittelee (3).
Neljännen kuukauden lopussa ensimmäinen pari synnyttää toisen uuden parin ja parittelee, toinen pari synnyttää uuden parin ja parittelee, kolmas pari vain parittelee (5).

Kaniparien määrä on kuun lopussa yhtä suuri kuin edellisen kuukauden parien lukumäärä plus vastasyntyneiden parien määrä, joka on sama kuin parien määrä kaksi kuukautta sitten, eli [16] . Tämä ongelma saattoi myös olla ensimmäinen, joka mallintaa eksponentiaalista väestönkasvua . $n$ ${\displaystyle F_{n}=F_{n-2}+F_{n-1))$

Nimeä "Fibonacci-sekvenssi" käytti ensimmäisenä 1800-luvun teoreetikko Eduard Lucas [17] .

Binet'n kaava

Binet'n kaava ilmaisee eksplisiittisesti arvon n: n funktiona : $F_{n}$

F_{n}={\frac {\left({\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{n}-\left({\frac {1-{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{n}}{\sqrt {5}}}={\frac {\varphi ^{n}-(-\varphi )^{-n}}{\ varphi -(-\varphi )^{-1}}}={\frac {\varphi ^{n}-(-\varphi )^{-n}}{2\varphi -1}},

missä - kultainen suhde ja ja ovat ominaisyhtälön juuret Yleensä samanlainen kaava on olemassa mille tahansa lineaariselle toistuvalle sekvenssille , joka on Fibonacci-sekvenssi. $\varphi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}$ $\varphi$ $(-\varphi )^{-1}=1-\varphi$ $x^{2}-x-1=0.$

Perustelut

[kahdeksantoista]

Muunnetaan ominaisyhtälö muotoon, kerrotaan molemmat osat : - ja korvataan tässä summalla , mikä voidaan tehdä ominaisyhtälön avulla. Saamme Jatkamme kertomista ja muuntamista alkuperäisen yhtälön mukaisesti: $x^{2}-x-1=0$ $x^{2}=x+1,$ $x$ $x^{3}=x^{2}+x$ $x^{2}$ $x+1$ $x^{3}=x^{2}+x=(x+1)+x=2x+1.$ $x$ $x^{2}$

${\begin{aligned}x^{4}&=2x^{2}+x=2(x+1)+x=\\&=3x+2,\\x^{5}&= 3x^{2}+2x=3(x+1)+2x=\\&=5x+3,\\x^{6}&=5x^{2}+3x=5(x+1)+3x =\\&=8x+5,\\x^{7}&=8x^{2}+5x=8(x+1)+5x=\\&=13x+8,\\&\cpisteet \end {aligned}}$

Näin muodostuu yleinen yhtälö: Jotta tämä yhtälö voidaan muuttaa todelliseksi yhtälöksi ja ilmaista itse Fibonacci-luvut, sinun on korvattava juuret ja $x^{n}=F_{n}x+F_{n-1}.$ $\varphi$ $-\varphi ^{-1}\colon$

${\begin{cases}\varphi ^{n}=F_{n}\varphi +F_{n-1},\\(-\varphi )^{-n}=-F_{n}\varphi ^{-1}+F_{n-1},\end{cases}}$

$\varphi ^{n}-(-\varphi )^{-n}=F_{n}[\varphi -(-\varphi )^{-1}],\qquad \varphi ^{n}+ (-\varphi )^{-n}\cdot \varphi ^{2}=F_{n-1}(1+\varphi ^{2}),$

$\color {Musta}{\tfrac {1}{\sqrt {5}}}\left(({\tfrac {1+{\sqrt {5}}}{2}})^{n}- ({\tfrac {1-{\sqrt {5}}}{2}})^{n}\right)=F_{n},\qquad {\tfrac {1}{\sqrt {5}}}\ vasen(({\tfrac {1+{\sqrt {5}}}{2}})^{n-1}-({\tfrac {1-{\sqrt {5}}}{2}})^ {n-1}\right)=F_{n-1}.$

Seuraus ja yleistys

Binet-kaavasta seuraa, että kaikille luvuille on pyöristys eli erityisesti asymptotiikalle $n\geqslant 0$ $F_{n}$ ${\frac {\varphi ^{n}}{\sqrt {5}}},$ $F_{n}=\left\lfloor {\frac {\varphi ^{n}}{\sqrt {5}}}\right\rceil .$ $n\to\infty$ $F_{n}\sim {\frac {\varphi ^{n}}{\sqrt {5}}}.$

Binet'n kaavaa voidaan jatkaa analyyttisesti seuraavasti:

F_{z}={\frac {1}{\sqrt {5}}}\left(\varphi ^{z}-{\frac {\cos {\pi z}}{\varphi ^{z}}} \oikea).

Tässä tapauksessa relaatio pätee mille tahansa kompleksiluvulle z . $F_{z+2}=F_{z+1}+F_{z}$

Identiteetit

$F_{1}+F_{2}+F_{3}+\pisteet +F_{n}=F_{n+2}-1.$ [kaksikymmentä]

Todiste

Todistamme kaavan induktiolla n : llä :

Induktion perusta: $n=0\colon$

$F_{0}=F_{2}-1=0.$

Induktiovaihe: olkoon lause for on tosi: $n$

$F_{1}+F_{2}+F_{3}+...+F_{n}=F_{n+2}-1.$

Sitten meidän on todistettava väite puolesta ${\näyttötyyli n+1\kaksoispiste }$

$F_{1}+F_{2}+F_{3}+...+F_{n}+F_{n+1}=F_{n+3}-1.$

Makasimme ja _

F_{n+3}

F_{n+2}

F_{n+1}\colon

F_{1}+F_{2}+F_{3}+...+F_{n}+F_{n+1}=F_{n+2}+F_{n+1}-1

Lyhennämme molempia osia

F_{n+1}\colon

F_{1}+F_{2}+F_{3}+...+F_{n}=F_{n+2}-1,

Q.E.D. ∎

$F_{1}+F_{3}+F_{5}+\dots +F_{2n-1}=F_{2n}.$ [20] [21]

Todiste

Todistamme kaavan induktiolla n : llä :

Induktion perusta: $n=1\colon$

$F_{1}=F_{2}=1.$

Induktiovaihe: Olkoon väitteen puolesta totta: $n$

$F_{1}+F_{3}+F_{5}+\dots +F_{2n-1}=F_{2n}.$

Sitten meidän on todistettava väite puolesta ${\näyttötyyli n+1\kaksoispiste }$

$F_{1}+F_{3}+F_{5}+\pisteet +F_{2n-1}+F_{2n+1}=F_{2n+2}.$

Makasimme ja _

F_{2n+2}

F_{2n+1}

F_{2n}\colon

F_{1}+F_{3}+F_{5}+\pisteet +F_{2n-1}+F_{2n+1}=F_{2n+1}+F_{2n}.

Lyhennämme molempia osia

F_{2n+1}\colon

F_{1}+F_{3}+F_{5}+\dots +F_{2n-1}=F_{2n}.

Q.E.D. ∎

$F_{2}+F_{4}+F_{6}+\dots +F_{2n}=F_{2n+1}-1.$ [20] [22]

Tämä identiteetti voidaan todistaa vähentämällä ensimmäinen toisesta:

{\begin{alignedat}{2}(F_{1}+F_{2}+\dots +F_{{\color {Red}2}n})-(F_{1}+F_{3} +\pisteet +F_{2n-1})&=F_{{\väri {punainen}2}n+2}-1-F_{2n},\\F_{2}+F_{4}+\pisteet + F_{2n}&=F_{2n+1}-1.\\\end{alignedat}}

$F_{n+1}F_{n+2}-F_{n}F_{n+3}=(-1)^{n}.$ [23]
$F_{1}^{2}+F_{2}^{2}+F_{3}^{2}+\pisteet +F_{n}^{2}=F_{n}F_{n+ yksi }$ (katso kuva).
$F_{n}^{2}+F_{n+1}^{2}=F_{2n+1}.$ [kaksikymmentä]
$F_{2n}=F_{n+1}^{2}-F_{n-1}^{2}.$ [kaksikymmentä]
$F_{3n}=F_{n+1}^{3}+F_{n}^{3}-F_{n-1}^{3}.$ [24]
$F_{5n}=25F_{n}^{5}+25(-1)^{n}F_{n}^{3}+5F_{n}.$
$F_{n+1}=C_{n}^{0}+C_{n-1}^{1}+C_{n-2}^{2}+\pisteet$ [25] , missä ovat binomikertoimet . $C_{n}^{k}$

Ja yleisempiä kaavoja:

$F_{n+m}=F_{n-1}F_{m}+F_{n}F_{m+1}=F_{n+1}F_{m+1}-F_{n-1 }F_{m-1}.$ [26]
$F_{(k+1)n}=F_{n-1}F_{kn}+F_{n}F_{kn+1}.$
$F_{n}=F_{l}F_{n-l+1}+F_{l-1}F_{nl}.$
Fibonacci-lukuja edustavat yksikköjoukon jatkuvien arvot: ts . $F_{n+1}=K_{n}(1,\pisteet ,1),$ $F_{n+1}=\det {\begin{pmatrix}1&1&0&\cdots &0\\-1&1&1&\ddots &\vdots \\0&-1&\ddots &\ddots &0\\\vdots &\ddots & \ddots &\ddots &1\\0&\cdots &0&-1&1\end{pmatrix}}$ , yhtä hyvin kuin $\ F_{n+1}=\det {\begin{pmatrix}1&i&0&\cdots &0\\i&1&i&\ddots &\vdots \\0&i&\ddots &\ddots &0\\\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &i\\0&\cdots &0&i&1\end{pmatrix}},$

missä matriiseilla on koko ja missä i on imaginaariyksikkö .

n\ kertaa n

Fibonacci-luvut voidaan ilmaista Chebyshev-polynomeina : $F_{n+1}=(-i)^{n}U_{n}\vasen({\frac {-i}{2}}\oikea),$ $F_{2n+2}=U_{n}\vasen({\frac {3}{2}}\oikea).$
mille tahansa n :lle , ${\begin{pmatrix}1&1\\1&0\end{pmatrix}}^{n}={\begin{pmatrix}F_{n+1}&F_{n}\\F_{n}&F_{n- 1}\end{pmatrix}}.$
Tämän seurauksena determinanttien laskeminen antaa Cassinin identiteetin : [27] [28]

(-1)^{n}=F_{n+1}F_{n-1}-F_{n}^{2}.

Cassinin tasa-arvoon liittyy yleisempi lausunto, joka on nimetty Eugène Catalanin mukaan : $F_{n}^{2}-F_{nr}F_{n+r}=(-1)^{nr}F_{r}^{2}.$

$F_{n+1}={\frac {F_{n}+{\sqrt {5F_{n}^{2}+4(-1)^{n)))){2)).$
Tämä lausunto on johdettu Cassinin identiteetistä käyttämällä Fibonacci-lukujen perussuhdetta: ${\displaystyle (-1)^{n}=F_{n+1}(F_{n+1}-F_{n})-F_{n}^{2))$ $\Pitkävasenoikeanuoli$ $0={\väri {Punainen}F_{n+1}}^{2}-{\väri {Punainen}F_{n+1}}F_{n}-(F_{n}^{2} +(-1)^{n}).$

Ominaisuudet

Kahden Fibonacci-luvun suurin yhteinen jakaja on yhtä suuri kuin Fibonacci-luku, jonka indeksi on yhtä suuri kuin indeksien suurin yhteinen jakaja, eli seuraukset : $(F_{m},F_{n})=F_{(m,n)}.$
- $F_{m}$ on jaollinen jos ja vain jos se on jaollinen (paitsi ). Erityisesti on jaollinen (eli on parillinen) vain sillä on jaollinen vain sillä on jaollinen vain : lla jne. $F_{n}$ $m$ $n$ $n = 2$ $F_{m}$ $F_{3}=2$ $m=3k;$ $F_{m}$ $F_{4}=3$ $m=4k;$ $F_{m}$ $F_{5}=5$ $m = 5 k$
- $F_{m}$ voi olla vain alkuluku alkuluvuille (lukuun ottamatta yhtä poikkeusta ). Esimerkiksi luku on alkuluku ja sen indeksi 13 on myös alkuluku. Mutta vaikka luku olisi alkuluku, luku
ei aina ole alkuluku, ja pienin vastaesimerkki on Ei tiedetä, onko alkulukujen joukko Fibonacci-lukuja ääretön. $m$ $m = 4$ $F_{{13}}=233$ $m$ $F_{m}$ $F_{19}=4181=37\cdot 113.$

Fibonacci-lukujono on käänteissekvenssin erikoistapaus , jonka ominaispolynomilla on juuret ja

x^{2}-x-1

\varphi

-{\frac {1}{\varphi )).

Suhteet ovat erityisesti kultaisen leikkauksen sopivia murto -osia ,

{\frac {F_{n+1}}{F_{n}}}

\phi \colon

\lim _{n\to \infty }{\frac {F_{n+1}}{F_{n}}}=\varphi .

Pascalin kolmion diagonaalien binomikertoimien summat ovat Fibonacci-lukuja kaavasta johtuen

F_{n+1}=\sum _{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor }{nk \choose k}.

Vuonna 1964 J. Cohn ( JHE Cohn ) osoitti [29] , että ainoat täydelliset neliöt Fibonacci-lukujen joukossa ovat Fibonacci-luvut, joiden indeksit ovat 0, 1, 2, 12:

F_{0}=0^{2}=0,

F_{1}=1^{2}=1,

F_{2}=1^{2}=1,

F_{12}=12^{2}=144.

Fibonacci-lukusarjan generoiva funktio on:

x+x^{2}+2x^{3}+3x^{4}+5x^{5}+\pisteet =\sum _{n=0}^{\infty }F_{n}x^{n }={\frac {x}{1-xx^{2}}}

Erityisesti 1 / 998,999 = 0,00 100 100 200 300 500 8 0 13 0 21 … _ _

Fibonacci-lukujen joukko on sama kuin polynomin ei-negatiivisten arvojen joukko

z(x,y)=2xy^{4}+x^{2}y^{3}-2x^{3}y^{2}-y^{5}-x^{4}y +2v

ei-negatiivisten kokonaislukujen x ja y joukossa [30] .

Kahden muun kuin yhden Fibonacci-luvun tulo ja osamäärä ei ole koskaan Fibonacci-luku.
Fibonacci-lukujen jaksoa modulo luonnollinen luku kutsutaan Pisano-jaksoksi ja sitä merkitään . Pisano-jaksot muodostavat sarjan: $n$ $\pi(n)$ $\pi(n)$ 1, 3, 8, 6, 20, 24, 16, 12, 24, 60, 10, 24, 28, 48, 40, 24, 36, … (sekvenssi A001175 OEIS : ssä ).
- Erityisesti Fibonacci-lukujen viimeiset numerot muodostavat jaksollisen sekvenssin pisteen kanssa , Fibonacci-lukujen viimeinen numeropari muodostavat sekvenssin, jossa on piste , viimeiset kolme numeroa - pisteellä, viimeiset neljä - pisteen kanssa, viimeiset viisi - pisteellä jne. $\pi (10)=60$ $\pi (100)=300$ $\pi (1000)=1500,$ $\pi (10000)=15000,$ $\pi (100000)=150000$
Luonnollinen luku on Fibonacci-luku silloin ja vain jos tai on neliö [31] . $N$ $5N^{2}+4$ $5N^{2}-4$
Ei ole olemassa Fibonacci-luvuista koostuvaa aritmeettista pituutta, joka on suurempi kuin 3 [32] .
Fibonacci-luku on yhtä suuri kuin niiden monikkojen lukumäärä, joiden pituus on n nollia ja ykkösiä, jotka eivät sisällä kahta vierekkäistä ykköstä. Tässä tapauksessa se on yhtä suuri kuin tällaisten monikoiden lukumäärä alkaen nollasta, ja - alkaen yhdestä. $F_{n+2}=F_{n+1}+F_{n}$ $F_{{n+1}}$ $F_{n}$
Kaikkien peräkkäisten Fibonacci-lukujen tulo on jaollinen ensimmäisten Fibonacci-lukujen tulolla. $n$ $n$
Fibonacci-lukujen käänteislukujen ääretön summa konvergoi, sen summa (" Fibonacci-vakion käänteisluku ") on 3,359884...

Muunnelmia ja yleistyksiä

tribonaccin numerot
Fibonacci-luvut ovat Lucas-sekvenssien erikoistapaus . $F_{n}=U_{n}(1,-1)$
- Lisäksi niiden täydennys on Lucasin numerot . $L_{n}=V_{n}(1,-1)$

Muilla alueilla

On olemassa mielipide, että melkein kaikki väitteet, jotka löytävät Fibonacci-lukuja luonnon- ja historiallisissa ilmiöissä, ovat vääriä - tämä on yleinen myytti, joka usein osoittautuu epätarkkaksi sopivaksi haluttuun tulokseen [34] [35] .

Luonnossa

Kasvien fylotaksia (lehtiasetelma) kuvataan Fibonacci-sekvenssillä, jos yksivuotisen kasvun (verso, varsi) lehdet (silmut) ovat ns. kierrelehtiä. Tässä tapauksessa peräkkäin spiraaliin järjestettyjen lehtien (silmujen) lukumäärä plus yksi sekä spiraalin täydellisten kierrosten lukumäärä vuotuisen kasvun akselin (verso, varsi) ympäri ilmaistaan yleensä ensimmäisillä Fibonacci-luvuilla.
Auringonkukansiemenet , männynkäpyt , terälehdet , ananassolut on myös järjestetty Fibonacci-sekvenssin mukaan [ 36 ] [37] [38] [39] .

Taiteessa

Runoudessa "kultaisen leikkauksen" (kultaisen osuuden) suhde löytyy useammin, yhdistettynä Binet-kaavan kautta Fibonacci-lukuihin. Esimerkiksi Sh. Rustavelin runossa " Knight in the Panther's Skin " ja taiteilijoiden maalauksissa [40] .

Fibonacci-numeroita löytyy kuitenkin sekä suoraan runoudesta että musiikista [41]

Koodauksessa

Koodausteoriassa ehdotetaan stabiileja ns. " Fibonacci-koodeja " [42] , ja näiden koodien perusta on irrationaalinen luku.

Katso myös

Muistiinpanot

↑ John Hudson Tiner. Matematiikan maailmaan tutustuminen: muinaisista tietueista tietokoneiden viimeisimpään edistykseen . - New Leaf Publishing Group, 200. - ISBN 978-1-61458-155-0 . (Venäjän kieli)
↑ Katso esimerkiksi T. V. Kropotova, V. G. Podolsky, P. E. Kashargin. Johdatus korkeampaan matematiikkaan. — Kazanin liittovaltion yliopiston fysiikan instituutti.
↑ Lucas, 1891 , s. 3.
↑ Fibonacci-luvut // Suuri Neuvostoliiton Encyclopedia : [30 nidettä] / ch. toim. A. M. Prokhorov . - 3. painos - M . : Neuvostoliiton tietosanakirja, 1969-1978.
↑ Beck & Geoghegan (2010) .
↑ Bona, 2011 , s. 180.
↑ Goonatilake, Susantha (1998), Toward a Global Science , Indiana University Press, s. 126, ISBN 978-0-253-33388-9 , < https://books.google.com/books?id=SI5ip95BbgEC&pg=PA126 >
↑ 1 2 Singh, Parmanand (1985), Niin kutsutut Fibonacci-luvut muinaisessa ja keskiaikaisessa Intiassa , Historia Mathematica , osa 12(3):229-244 , DOI 10.1016/0315-0860(85)90021-7
↑ 1 2 Knuth, Donald (2006), The Art of Computer Programming , voi. 4. Generating All Trees - History of Combinatorial Generation, Addison-Wesley, s. 50, ISBN 978-0-321-33570-8 , < https://books.google.com/books?id=56LNfE2QGtYC&pg=PA50&dq=rhythms >
↑ Knuth, Donald (1968), The Art of Computer Programming , voi. 1, Addison Wesley, s. 100, ISBN 978-81-7758-754-8 , < https://books.google.com/books?id=MooMkK6ERuYC&pg=PA100 >
↑ Livio, 2003 , s. 197.
↑ Pisano, 2002 , s. 404-405.
↑ Fibonaccin Liber Abaci (Laskennan kirja) . Utahin yliopisto (13. joulukuuta 2009). Käyttöönottopäivä: 28.11.2018. (määrätön)
↑ Hemenway, Priya. Jumalallinen osuus : Phi taiteessa, luonnossa ja tieteessä . - New York: Sterling, 2005. - S. 20-21 . — ISBN 1-4027-3522-7 .
↑ Knott, tohtori Ron Fibonaccin numerot ja kultainen osa Nature - 1 : ssä . Surreyn yliopisto (25. syyskuuta 2016). Käyttöönottopäivä: 27.11.2018. (määrätön)
↑ Knott, Ron Fibonaccin kanit . Surreyn yliopiston tekniikan ja fysiikan tiedekunta. (määrätön)
↑ Gardner, Martin (1996), Mathematical Circus , The Mathematical Association of America, s. 153, ISBN 978-0-88385-506-5
↑ Ongelmanratkaisun taito . artofproblemsolving.com . Haettu: 9. toukokuuta 2021. (määrätön)
↑ Fibonacci-luvut // Nuoren matemaatikon tietosanakirja / Comp. Savin A.P. - 2. painos - M . : Pedagogia , 1989. - S. 312-314. — 352 s. — ISBN 5715502187 .
↑ 1 2 3 4 5 Lause on esitetty tässä tiedostossa . (määrätön)
↑ Kohta 23 . (määrätön)
↑ Kohta 24 . (määrätön)
↑ Seuraus kohdasta 36 . (määrätön)
↑ Kohta 30 . (määrätön)
↑ 64 . (määrätön)
↑ Kohta 55 . (määrätön)
↑ todiste Cassinin henkilöllisyydestä . planetmath.org . Käyttöönottopäivä: 30.5.2021. (määrätön)
↑ Cassini-identiteetti . (määrätön)
↑ JHE Cohn . Neliön Fibonacci-luvut jne ., s. 109-113. Arkistoitu alkuperäisestä 11. heinäkuuta 2010. Haettu 1. heinäkuuta 2010.
↑ P. Ribenboim. Uusi alkulukuennätysten kirja . - Springer, 1996. - S. 193.
↑ Ira Gessel. Ongelma H-187 // Fibonacci Quarterly. - 1972. - T. 10 . - S. 417-419 .
↑ V. Serpinsky . Tehtävä 66 // 250 Alkulukuteorian tehtäviä . - M . : Koulutus, 1968. - 168 s.
↑ Hutchison, Luke. Sukupuun kasvattaminen: DNA:n voima perhesuhteiden rekonstruoinnissa // Proceedings of the First Symposium on Bioinformatics and Biotechnology (BIOT-04) : aikakauslehti. - 2004 - syyskuu.
↑ Fibonacci Flim-Flam . Arkistoitu 23. huhtikuuta 2012 Wayback Machinessa .
↑ Myytti , joka ei katoa .
↑ Kultainen leikkaus luonnossa .
↑ Fibonacci-luvut .
↑ Fibonacci-luvut .
↑ Akimov O.E. Tieteen loppu .
↑ Vološinov A. V. Matematiikka ja taide. Moskova: Koulutus, 2000. 400 s. ISBN 5-09-008033-X
↑ Matematiikka runoudessa ja musiikissa
↑ Stakhov A., Sluchenkova A., Shcherbakov I. Da Vinci-koodi ja Fibonacci-sarja. SPB. Kustantaja: Piter, 2006. 320 s. ISBN 5-469-01369-3

Kirjallisuus

N. N. Vorobjov. Fibonaccin numerot . - Nauka, 1978. - T. 39. - ( Suosittuja matematiikan luentoja ).
A. I. Markushevich. paluusekvenssit . - Rouva. Teknisen ja teoreettisen kirjallisuuden kustantamo, 1950. - Vol. 1. - ( Suosittuja matematiikan luentoja ).
A.N. Rudakov. Fibonacci-luvut ja luvun yksinkertaisuus 2 127 − 1 // Matemaattinen koulutus , kolmas sarja. - 2000. - T. 4 .
Donald Knuth . The Art of Computer Programming, osa 1. Basic Algorithms = The Art of Computer Programming, voi. 1. Perusalgoritmit. - 3. painos - M . : "Williams" , 2006. - S. 720. - ISBN 0-201-89683-4 .
Donald Knuth , Ronald Graham , Oren Patashnik . konkreettista matematiikkaa. Tietojenkäsittelytieteen perusta = Concrete Mathematics. Tietojenkäsittelytieteen säätiö. — M .: Mir ; Binomi. Knowledge Lab , 2006. - S. 703. - ISBN 5-94774-560-7 .
Grant Arakelyan. Matematiikka ja kultaisen leikkeen historia. — M.: Logos, 2014. — S. 404. — ISBN 978-5-98704-663-0 .
Ball, Keith M (2003), 8: Fibonacci's Rabbits Revisited, Strange Curves, Counting Rabbits and Other Mathematical Explorations , Princeton, NJ: Princeton University Press , ISBN 978-0-691-11321-0 .
Beck, Matthias & Geoghegan, Ross (2010), The Art of Proof: Basic Training for Deeper Mathematics , New York: Springer, ISBN 978-1-4419-7022-0 .
Bóna, Miklós (2011), A Walk Through Combinatorics (3. painos), New Jersey: World Scientific, ISBN 978-981-4335-23-2 .
- Bóna, Miklós (2016), A Walk Through Combinatorics (4. tarkistettu painos), New Jersey: World Scientific, ISBN 978-981-3148-84-0 .
Lemmermeyer, Franz (2000), Vastavuoroisuuden lait: Eulerista Eisensteiniin , Springer Monographs in Mathematics, New York: Springer, ISBN 978-3-540-66957-9 .
Livio, Mario . Kultainen suhde: Tarina Phistä , maailman hämmästyttävimmästä numerosta . — Ensimmäinen kaupan pokkari. — New York City: Broadway Books, 2003. - ISBN 0-7679-0816-3 .
Lucas, Édouard (1891), Théorie des nombres , voi. 1, Pariisi: Gauthier-Villars, Théorie des nombres in Google Books , < https://archive.org/details/thoriedesnombr01lucauoft > .
Pisano, Leonardo (2002), Fibonaccin Liber Abaci: Laskentakirjan käännös nykyenglannin kielelle , matematiikan ja fysiikan historian lähteet ja tutkimukset, Springer, ISBN 978-0-387-95419-6

Linkit

Ensimmäiset 300 Fibonacci-numeroa (englanniksi) .
Fibonacci-luvut luonnossa (englanniksi) .

Sanakirjat ja tietosanakirjat	Iso venäläinen Britannica (verkossa)
Bibliografisissa luetteloissa	NDL : 00923391

Jaksot ja rivit
Jaksot	Numerosarja Perusjärjestys Lineaarinen toistuva sekvenssi Fibonaccin numerot kiharat numerot Factorial Barker-sekvenssi de bruijn sekvenssi
Rivit, perus	Rivin summa Loput rivistä Ehdollinen konvergenssi Vaihteleva sarja Rivien moniosa
Numerosarja ( operaatiot numerosarjoilla )	harmoninen sarja Leibniz-sarja Sarja käänteisiä neliöitä Käänteisten alkulukujen sarja Dirichlet rivi Mercator-sarja Rivi Grandi 1 - 2 + 3 - 4 + ... 1 + 2 + 3 + 4 + ...
toiminnallisia rivejä	Taylor-sarja Laurent-sarja Fourier-sarja Trigonometrinen Fourier-sarja trigonometrinen sarja Wiener-sarja
Muut rivityypit	Neumann-sarja Puiseux'n rivi