Suhteellisuus ( saksaksi Proportionierung , latinasta pro-portio - ratio , ulottuvuus) on tapa harmonisoida muoto , joka perustuu sen osien määrällisten suhteiden tasa-arvoisuuteen. Suhteellisuus on kahden tai useamman muuttujan suhteiden yhtäläisyys (vakio) . Matematiikassa suhde on sellainen suureiden suhde (riippuvuus), että kun yksi suure kasvaa tai pienenee useita kertoja (kaksinkertaistaa, kolminkertaistaa, puolittaa, ...), toinen suurentaa tai pienentää saman verran . Esimerkiksi 1 : 2 = 3 : 6. Tällaisten suureiden suhdetta kutsutaan suhteellisuuskertoimeksi tai suhteellisuusvakioksi [1].
Taiteen teoriassa ja taidekäytännössä on kehittynyt vakaa määritelmä: "Suhde on taideteoksen osien koon säännöllinen suhde keskenään sekä kunkin osan ja teoksen kokonaisuus" [2] .
Kulttuurifilosofiassa tätä käsitettä pidetään laajemmin keinona luoda optimaalinen ja kokonaisvaltainen muodollinen rakenne käyttämällä osien ja kokonaisuuden kvantitatiivisen koordinoinnin menetelmää, mutta erottaa tämä käsite merkityksellisen eheyden kategoriasta - sommittelusta [ 3] .
Arkkitehtuuriteoriassa päinvastoin käytetään suppeampaa määritelmää: suhteella tarkoitetaan rakennuksen, julkisivun tai sen osien pituuden, leveyden ja korkeuden suhdetta. Arkkitehtuurin mittasuhteiden teoreettinen tutkimus tunnetaan suhteeteoriana [4] .
Suhtautumisen käsite klassisen taiteen historiassa
Muinaisessa Egyptissä oli olemassa melko monimutkainen mittasuhteiden teoria , ei vain matematiikassa, vaan myös taiteessa [5] . Egyptiläisiltä papeista muinaiset kreikkalaiset ja roomalaiset perivät matemaattisen mittasuhteiden teorian. On yleisesti hyväksyttyä, että ensimmäinen kreikkalainen sana "analogia" ( toinen kreikkalainen ἀναλογία ), joka tarkoittaa kirjaimellisesti "uudelleensuhdetta", korvattiin latinalaisella analogilla latinan kielellä . proportio roomalainen puhuja Cicero .
Pythagoralaisten tutkimukset mahdollistivat "suhteellisuuden" ja "suhteellisuuden" käsitteiden sisällön erottamisen. Muinainen roomalainen arkkitehti Vitruvius kutsui tutkielmassa " Kymmenen kirjaa arkkitehtuurista " (13 eaa.) "yksinkertaiseksi suhteelliseksi" tai metriseksi normiksi, sana "symmetria" symmetriaksi ja säännöllisen toiston, rytmisen tai dynaamisen sommittelun organisoinnin. elementit - osuus [6] . Vitruvius lisäsi tähän moduksen käsitteen ( lat. modus - mitta, koko, laajuus, sijainti). Modaliteetti eli modaalisuus on muodon kaikkien osien johdonmukaisuutta, joka perustuu johonkin elementtiin, useimmiten moduuliin (pienin osa otetaan mittayksikkönä). Modaliteetti antaa suhteelliselle rakenteelle emotionaalisen värityksen, tietyn tonaalisuuden (nykyaikaisessa harmoniateoriassa nämä käsitteet ulotetaan väri- ja äänisuhteisiin).
Käytännön suhteutusmenetelmät ja -tekniikat perustuvat "suhteen" ja "suhteen" käsitteiden eroon. Suuren tai kokonaisuuden osien suhteet toisiinsa ovat erilaisia. Yksinkertaisimmat ovat kokonaislukuina ilmaistuja kerrannaisia. Esimerkiksi neliön (1:1) tai kahdesta neliöstä koostuvan suorakulmion sivujen suhde (1:2). Irrationaaliset suhteet ilmaistaan äärettömällä murto-osalla. Suhteellisuus harmoniateoriassa, kuten matematiikassa, viittaa kahden tai useamman suhteen yhtäläisyyteen. Näin ollen paras suhde on se, jossa osien ja kunkin osan suhteet kokonaisuuteen ovat yhtä suuret. Sitä kutsutaan kultaiseksi osaksi tai jumalalliseksi suhteeksi ( lat. Sectio Aurea; Proportia Divina ).
Muinainen kreikkalainen filosofi Platon (n. 427-347 eKr.) mainitsi geometrisen menetelmän neliön pinta-alan kaksinkertaistamiseksi rakentamalla suurempi neliö sen lävistäjälle. Toinen neliö sisältää neljä "puoliskoa" ensimmäisestä, joten sen pinta-ala on kaksi kertaa suurempi [7] . Tämä yksinkertaisin rakenne sisältää tärkeän säännöllisyyden. Neliön diagonaali on irrationaalinen suure. Jos otamme neliön sivun arvoksi 1, niin sen diagonaali on yhtä suuri tai 1,414 ... Näin ollen neliöön ja sen diagonaaliin perustuva mittajärjestelmä sisältää kaksinaisuuden, moniäänisen periaatteen yksinkertaisten kokonaislukujen ja irrationaalisten lukujen välisistä suhteista.
Antiikin taiteen historiassa termi "neliömäiset hahmot" tunnetaan (( antiikin kreikkalainen τετραγωνος ). Muinainen roomalainen kirjailija Plinius Vanhin (23-79 jKr) kutsui Argiven koulun pronssisia patsaita "neliön näköisiksi" ( lat. signa quadrata ) , erityisesti kuvanveistäjä Polykleitosin kuuluisat " Dorifor " ja " Diadumen "... Samanaikaisesti hän viittasi tietosanakirjailija Mark Terentius Varroon (116-27 eKr.) ehdottaen, että sana "neliö" voisi olla eivät osoita patsaan siluetin luonnetta, vaan Polykleitosin " Canonin " teoreettisessa teoksessa (teosta ei ole säilytetty) esitettyä mittausmenetelmää [8] .
Polykleitosin kuvassa olevat urheilijoiden patsaat näyttävät todella "neliöiltä" (toisessa käännöksessä "leveät mittasuhteet"). Analysoitaessa niiden mittasuhteita käy ilmi, että hahmon moduuli on neliön sivu, jonka lävistäjä puolestaan toimii suuremman neliön sivuna jne. Tämän seurauksena kaikki patsaan linjan osat suhteellisesti ylöspäin "parimittojen" järjestelmässä: rationaaliset ja irrationaaliset suhteet. Joten koko hahmon korkeus on jaettu kahteen, neljään ja kahdeksaan osaan (hahmon pää on 1/8 korkeudesta). Kuitenkin plastisen liikkeen aikana (urheilija lepää yhdellä jalalla, toinen jalka on taivutettu polvessa ja taaksepäin) syntyy irrationaalisia suhteita. Jos otamme yksikkönä (pienen neliön sivu) hahmon yläosan (sen todellisesta koosta riippumatta) - pään ja vartalon suoliluun harjalle (jolla vinot lihakset ovat) - yksikkönä, silloin hahmon alaosa (lantiovyö ja tukijalka) on yhtä suuri kuin 1,618 (suuremman neliön sivu). Näin ollen hahmon koko korkeus on 2,618. Näitä suhteita yhdistää " kultaisen leikkauksen " malli, jonka muinaiset egyptiläiset löysivät ja joka on universaali [9] .
On huomattava, että viittauksilla väitetysti muuttumattomiin, harmonisimpiin kanonisiin arvoihin, joita usein löytyy populaarikirjallisuudesta, ei ole riittävää tieteellistä perustetta. Muinaisten patsaiden mittaukset, joihin tällaiset teoriat perustuvat, erityisesti ne, jotka on annettu A. Zeisingin klassisissa tutkimuksissa : "Ihmiskehon mittasuhteista .." (1854) [10] ja "Esteettinen tutkimus" (1854 ) ) [11] , niillä on satunnainen, muuttuva luonne ja ne on tehty "erittäin huolimattomasti" [12]
Erinomaisten taideteosten oletettavasti sisältyvät absoluuttiset ja muuttumattomat harmoniset luvut ovat hyödyttömiä useista syistä. Ensinnäkin merkittävimmät muinaiset patsaat eivät ole kopioita, vaan viimeisimpiä ja likimääräisiä jäljennöksiä alkuperäisistä, jotka eivät ole säilyneet ja jotka eroavat yksityiskohdissa suuresti, koska roomalaisten ja uusattisten koulujen mestarit eivät nähneet alkuperäisiä ja luottivat vain niihin. likimääräiset kirjalliset kuvaukset ja muut jäljennökset muissa materiaaleissa ja koossa. Toiseksi kaikki veistokset annetaan eri liikkeissä: pään kallistukset, vartalon käännökset, käsien ja jalkojen asennot. Tällaisissa tapauksissa ei ole selvää, mitkä mittauspisteet katsotaan oikeiksi: anatomiset vai visuaaliset, todellisista perspektiiveistä havaittuina. Kolmanneksi suhteelliset kaanonit , vaikka ne olivatkin kiinteitä, muuttuivat merkittävästi vuosisatojen ja jopa vuosikymmenten aikana, ne riippuivat aikakaudesta, tavoista, mestareiden ja koulujen työajasta ja -paikasta . Esimerkiksi klassisten aikakausien, Polykleitosin ja Phidiaan aikakauden sekä hellenismin veistoksissa Lysippoksen ja Praxitelesin teoksissa. Sama pätee arkkitehtuuriin. On selvää, että suhteiden harmonian salaisuus ei piile "ideaaliluvuissa", vaan liikkuvien, dynaamisten suhteellisten suhteiden laeissa [13] .
On myös ominaista, että suhteutusteoriaa kehitettiin intensiivisesti rationaalisimman asenteen aikana luontoon ja taiteeseen. Vuodesta 1496 lähtien Milanossa taiteilija Leonardo da Vinci ja matemaatikko Luca Pacioli ovat yrittäneet yhdessä luoda samanlaisen teorian tutkielmassa " Divine Proportion " ( lat. De Divina Proportione ). Päätekstin ja matemaattiset laskelmat sekä kirjan julkaisun suoritti L. Pacioli. Tästä tutkielmasta on säilynyt kaksi käsikirjoitusta - yksi Geneven yleisessä kirjastossa ja toinen Milanon Ambrosian-kirjastossa. Leonardo viimeisteli kuvat, mahdollisesti myös Vitruvian-miehenä tunnetun kuvan . Tutkimus valmistui 14. joulukuuta 1498. Puupiirrokset tehtiin Leonardon piirustuksista. Tutkimus julkaistiin Venetsiassa vuonna 1509 [14] [15] .
Mittasuhteiden teorian kehittivät monet renessanssin taiteilijat: Lorenzo Ghiberti , Leon Battista Alberti , Albrecht Dürer , myöhemmin I. D. Preisler .
Mittaustavat arkkitehtuurin historiassa
Rakennuskäytännössä eri aikojen arkkitehdit ennen harmonian tieteellisen teorian syntyä noudattavat pääsääntöisesti intuitiivisesti muotojen harmonisoinnin lakeja. Nämä taidot välittivät isältä pojalle monien sukupolvien vaeltavien rakennusartellien ("vapaamuurarit" - vapaamuurarit ) mestarit. Toisin kuin luovuuden irrationaaliset syvyydet, suureiden suhteiden numeeriset lait ovat tarkan laskennan, analyysin ja kiinnityksen alaisia, ja siksi ne on helpompi siirtää mestarisukupolvelta toiselle, opettajilta oppipoikaksi " mestaruuden salaisuudet".
"Kultainen keskitie" ( lat. aurea mediocritas ) toimi intuitiivisena kriteerinä mittasuhteiden harmonialle ja luonnossa havaitut suuruussuhteet mallina. Joten muinaiset hellenit käyttivät arkkitehtuurissaan kokonaislukuja, useita moduuleja ja rationaalisia tekniikoita, mutta ottivat käyttöön "optisia korjauksia" ja vivahteita, jotka antoivat suuruussuhteille pienen epäsäännöllisyyden. Näitä ovat kaarevuus ( lat. curvatura - kaarevuus, suorien viivojen ja tasojen kaarevuus), entasis ( muut kreikka ἔντασις - jännitys) - sarakkeiden lievä paksuuntuminen keskiosassa, supistuminen (pylväiden välisen tasa-arvon rikkominen, etäisyyksien lähentyminen sarakkeiden välissä).
He käyttivät myös epimoraalisia suhteita ( antiikin kreikkalainen επι - ylä, yli ja muut kreikkalaiset μοριον - osa, hiukkanen), joissa, toisin kuin yksinkertaisissa kerrannaisissa (1:2; 1:3; 1:4), suurimman osan ylijäämä on yhtä suuri kuin yksi osuus pienemmistä (esimerkiksi: 2:3; 3:4; 8:9), mikä on melkein lähellä "kultaisten segmenttien" suhdetta. Tämä menetelmä ilmeni erityisesti laskettaessa antiikin kreikkalaisten temppelien pylväiden lukumäärää etu- ja sivujulkisivuilla epimoraalisen kaavan mukaan: n : (n + 1), kun sivujulkisivun pylväiden lukumäärä on yksi enemmän. kuin edessä. Tätä säännönmukaisuutta kreikkalaiset kutsuivat "analogiaksi".
Napolin kansallisessa arkeologisessa museossa ja Rooman Terme - museossa säilytetään Pompejin kaivauksissa löydettyjä epätavallisia esineitä ja tavanomaisesti suhteellisia kompasseja . Ne eroavat yksityiskohdista, mutta lähentyvät pääasiassa - kaksi puista lankkua on ristisilloitettu kiinteällä saranalla. Niiden sivujen suhteet vastaavat "kultaisen osan" sääntöä. Arkeologit löytävät samanlaisia työkaluja muinaisen maailman eri alueilta. Ne toimivat luultavasti suhteellisten moduulien standardeina arkkitehtuurissa [16] .
Arkkitehtuurin suhteellisuusjärjestelmä on aina ollut kiinteästi sidoksissa rakentamisen tekniikkaan ja tekniikkaan, geometrian kehittämiseen ja suureiden mittausmenetelmiin. Tarve asettaa rakennuksen suunnitelma maahan täysikokoisena auttoi kehittämään tekniikoita tiettyjen suhteellisten suhteiden rakentamiseksi sekä vaaka- että pystytasoissa. Yksinkertaisin tapa tällaiseen mittasuhteeseen oli rakentaa maahan suora kulma , josta riippui tulevan rakenteen painopisteen projektio alustan keskelle (koho ylhäältä maatasoon nähden) - ensimmäinen ehto rakennuksen lujuuden ja luotettavuuden vuoksi. Muinaiset arkkitehdit ratkaisivat tämän ongelman nerokkaasti yksinkertaisesti. He ottivat mittanauhan - köyden, joka jaettiin solmuilla kahteentoista yhtä suureen osaan, yhdistivät sen päät (kahdestoista ja nolla solmua) ja venyttelivät maahan tappeja kolmannessa, seitsemännessä ja kahdestoista jaossa. Tässä tapauksessa saatiin kolmio, jonka sivusuhteet ovat 3:4:5. Tällainen kolmio on geometrian yhden aksiooman ja Pythagoraan lauseen mukaan aina suorakaiteen muotoinen. Saatuaan suoran kulman ilman laskelmia rakentajat voivat suurentaa sen haluttuun kokoon, siirtää sen pystytasolle. Universaalisten ominaisuuksiensa vuoksi tällaista kolmiota arkkitehtuurin historiassa kutsuttiin " Egyptin pyhäksi kolmioksi " . Yhdessä Gizan jättimäisistä pyramideista , Khafren pyramidista , on kaksi "pyhää kolmiota" poikkileikkaukseltaan, ja korkeuden suhde neliön pohjan sivuun on 2:3 (143,5: 215,25 m). Pitkän aikaa nämä mitat ovat jonkin verran pienentyneet (136,4: 210,5 m).
Kolmion numerot: 3, 4, 5, niiden summa on 12, ja myös 7, 3:n ja 4:n summa, löytyy jatkuvasti luonnosta ja niitä myös kunnioitettiin pyhinä. Uskonnollisten käsitysten mukaan Egyptin kolmion universaali geometria personoi suuren jumalien kolmikon: Isis ja Osiris (kaksi jalkaa) ja heidän poikansa Horus (hypotenuusa). "Olemista ja ei-olemista verrataan Isiseen ja Osirikseen ja diagonaalia Horus-Falconiin" ( Egypt. ḥr - "korkeus", "taivas") [17] .
Muinaiset kreikkalaiset kutsuivat egyptiläisten pyramidien rakentajia "harpedonauteiksi" ("köysien venyttäjiä" muista kreikkalaisista sanoista αρπεδονη - lasso, silmukka). Ranskalainen arkkitehti A. Fournier de Cora, norjalainen taiteilija E. Kielland ja venäläinen arkkitehti V. N. Vladimirov , tutkiessaan muinaisten arkkitehtien mittasuhteita, päätyivät itsenäisesti malliin, jossa yhdistyvät geometriset kuviot ja numeeriset suhteet, jotka luonnollisesti toistuvat suunnitelmissa ja poikkileikkauksissa. muinaisista rakenteista. Tällaista mallia kutsuttiin "egyptiläiseksi diagonaalijärjestelmäksi" [18] [19] [20] [21] .
Jos otamme neliön (kuvasuhteella 1:1) ja projisoimme sen diagonaalin (yhtä kuin kahden neliöjuuri) toisen sivun jatkeeseen ja palauttamme sitten kohtisuoran löydetystä pisteestä, saamme uusi hahmo - suorakulmio. Piirrettyään siihen diagonaali, huomaamme, että se on yhtä suuri kuin kolmen neliöjuuri. Toistetaan rakenne ja katsotaan uusi suorakulmio, jossa on pidempi sivu. Tämän suorakulmion lävistäjä on yhtä suuri kuin neljän neliöjuuri, eli 2. Projisoimalla tämä lävistäjä kuten edellisissä tapauksissa ja palauttamalla kohtisuora, saadaan ns. kahden vierekkäisen neliön (joka koostuu kahdesta yhtä suuresta neliöstä) jonka lävistäjä on viiden neliöjuuri. Kahden vierekkäisen neliön sisällä (kaksi neliötä muodostavat useimmiten muinaisten egyptiläisten temppelien suunnitelmat) on sijoitettu joukko lävistyksiä ja vastaavasti irrationaalisia arvoja, joita yhdistää tietty sekvenssi.
Neliön sivun ja sen diagonaalin suhdetta käytettiin usein suhteellisissa rakenteissa, koska sen avulla oli helppo muodostaa jatkuva sarja toisiinsa liittyviä suureita. Lävistäjänä kirjoitettujen tai kuvattujen neliöiden järjestelmä oli kätevä, koska se antoi arkkitehdille eräänlaisen suhteellisuusasteikon, jonka perusteella hän pystyi rakentamaan rakennuksen osien suhteellisuuden.
Geometrinen menetelmä "kultaisen leikkauksen" rakentamiseksi on ihanteellisesti yksinkertainen, koska se ei vaadi laskelmia ja sisältää vain kaksi kompassin liikettä. Se ei ole muuttunut nykypäivään ja sitä kutsutaan "arkkitehtien tapaksi" . ”Egyptin kolmion” (koko 1) pieni jalka asetetaan kompassilla tai mittanauhalla Pythagoraan hypotenuusalle (se on myös kahden vierekkäisen neliön lävistäjä, joka on yhtä suuri kuin viiden neliöjuuri). Sitten diagonaalin loppuosa (neliöjuuri viidestä miinus yksi) siirretään kompassin vastakkaisella liikkeellä suureen jalkaan (yhtä kuin kaksi). Tämän seurauksena suuri jalka jakautuu kahteen epätasa-arvoiseen osaan, joilla harmoniset suhteet tuntuvat yhdellä silmäyksellä. Nämä tuntemukset voidaan varmistaa laskemalla. Merkitään jalan suurempi osa, joka on jaettu osiin kirjaimella "A", ja pienempi - "B". Sitten koko jalan (A + B) suhde sen suurempaan osaan (lävistäjän loppuosa) on kaksi jaettuna neliöjuurella viidestä miinus yksi. Millä tahansa arvolla tämä suhde ilmaistaan irrationaalisella luvulla, äärettömällä murto-osalla: 1,618033 ... Jos tarkistamme suuremman osan (A) suhteen pienempään osaan tietystä segmentistä (B), niin me yllättäen , saa saman luvun: 1.618033 ... Tällainen kaava voidaan kirjoittaa seuraavasti: (A + B) : A \u003d A : B (kokonaisuus liittyy suurempaan osaan samalla tavalla kuin suurempi osa on liittyvät pienempään). Tämän osuuden jäsenten paikkojen muutoksesta tulos ei muutu.
Kaavan esteettinen merkitys on siinä, että tämä suhde on paras ja ainoa mahdollinen - se ihanteellinen tapaus, jossa minkä tahansa kokoisten (muotoisten) osien suhteet tasataan keskenään ja kunkin näiden osien välillä kokonaisuuteen. Kaikki muut harmoniset suhteet yhdistävät vain muodon erillisiä osia, ja "kultainen osuus" yhdistää kaikki osat ja kokonaisuuden. Toisin sanoen "kauneuden kaavassa" osien ja kokonaisuuden suhteita yhdistää yksi säännöllisyys. Platonin mukaan "paras analogia tekee kokonaisuudesta ja sen osista erottamattomia". Lisäksi kaikki suuret voidaan jakaa äärettömään ja ne säilyttävät "kultaiset ominaisuutensa". Muut harmonisointimenetelmät ja -tekniikat ovat luonteeltaan erityisiä, ja "kultainen osuus" on universaali. Siitä syystä nimi.
Silmiinpistävin esimerkki tämän mallin toiminnasta on Ateenan Parthenonin (447-438 eKr.) suunnitelman ja julkisivun välinen suhde - yleisesti tunnustettu harmonian standardi. Tutkijat ovat aina yllättyneet tämän arkkitehtuurin mestariteoksen mittauksissa useiden mittasuhteiden ja irrationaalisten suhteiden olemassaolosta, erityisesti temppelin suunnitelman poikkeamisesta perinteisestä kahden neliön koosta. "Kultaisen suhteen" sääntö selittää tämän "outollisuuden". Jos projisoimme Parthenonin stylobaatin kahden vierekkäisen neliön diagonaalin sen pitkän sivun jatkoon, niin saamme tämän rakennuksen suunnitelman todelliset suhteet: yksi neliöjuureen viidestä. Toisin sanoen, jos temppelin pääjulkisivun leveydeksi (30,89 m) otetaan 1, niin stylobaattia pitkin olevan sivujulkisivun leveyden ja pituuden suhde (69,54 m) on yksi neliöjuureen viidestä. Kaikkia sisäisen tilan ulottuvuuksia yhdistävät samat suhteet: naos , pronaos ja opisthodom [22] .
Parthenonin pääjulkisivu (ilman kolmiomaista päällystysosaa) sopii kahden vierekkäisen aukion sisään. Pylväs yhdessä pääkaupungin kanssa (10,43 m) on "kultaisen osuuden" pienempi jäsen. "Kultaisen osan" suurempi osa vastaa rakennuksen kokonaiskorkeutta, katto mukaan lukien. Samat suhteet toistetaan yksityiskohtaisesti pienimpään [23] . Alkuperäinen "kultainen numero" (1.618033…) on yleensä merkitty lyhyyden vuoksi kreikkalaisella kirjaimella φ ("phi"), joka alkaa muinaisajan erinomaisen kuvanveistäjän ja arkkitehdin Phidiaan, yhden Parthenonin luojista, nimen.
Samanlaisia tekniikoita käyttivät muinaiset venäläiset arkkitehdit. Puusepän käsityöläiset suorittivat rakennussuunnitelman merkinnän suoraan maahan ilman neliöön ja sen lävistäjään perustuvia laskelmia. Tätä varten he käyttivät mittanarua ja maahan upotettuja puisia tappeja. Päämitta oli tukin pituus, ja häkkimoduuli koostui päällekkäin pinotuista kruunuista - neljästä kulmista yhdistetystä hirrestä, jotka muodostivat neliön. Suoran kulman rakentamistehtävä ratkaistiin kaksiulotteisten johtojen avulla - menetelmällä peittävän (alemman) kruunun lävistäjien tasaaminen (lävistäjän yhtäläisyys antaa neliön). Seuraava tehtävä: projisoimalla diagonaali (tai sen derivaatta) neliön sivun jatkeelle saatiin toinen moduuli, joka on yhtä suuri kuin neliön kaksinkertainen pinta-ala. Maahan piirrettiin suunnitelma tulevasta rakennuksesta, esimerkiksi kirkosta - päähäkki (ns. häkkikirkko), jossa oli eteinen ja siihen kiinnitetty alttari. On luonnollista, että muinaiset venäläiset puusepät löysivät itsenäisesti yksinkertaisimman käytännön ratkaisun ongelmaan, joka tunnettiin hyvin antiikissa [24] .
1950-luvulla historioitsija ja arkeologi B.A. Rybakov tutki muinaisia venäläisiä "Babyloneja" - graafisia merkkejä, jotka koostuivat samanlaisista suorakulmioista tai neliöistä, jotka oli kaiverrettu toisiinsa. Niitä löytyy kaivauksista saven sirpaleista (keramideista) ja kivilaatoista 1600-luvulta lähtien - Venäjän kronikoissa. Tutkijan mukaan "Babylon" on kaavamainen esitys Baabelin tornista ja samalla symboli suhteellisesta kaanonista [25] .
Ajan mittaan muinaisen Venäjän yksinkertaisen puusepäntyökokemuksen perusteella kehitettiin hieno mittausjärjestelmä, joka perustui "parillisten mittojen järjestelmään": rationaalisiin ja irrationaalisiin lukuihin. Tämän todistavat temppelien mitat. Muinaisten venäläisten pituusmittojen tutkimus B. A. Rybakovin ja muiden tutkijoiden mukaan vahvistaa tämän tosiasian. Rakentajat eivät käyttäneet yhtä tai kahta sázhenyä pituusmittaina , vaan kuutta pää- ja yhtä ylimääräistä. Muinaisten venäläisten puuseppien mitattua narua kutsuttiin "sokariksi" ( muinaisesta kreikasta σωχος - vahva). Sylien koot muuttuivat, mutta mittakaava ei ollut jossain ihanteellisessa mittakaavassa, vaan heidän suhteensa ja ennen kaikkea ihmishahmon kokoa. Tämä ikivanha perinne, jota kutsutaan antropomorfismiksi , säilytettiin Bysantin ja vanhan venäläisen taiteessa.
Vertaamalla useiden muinaisessa venäläisessä rakentamisessa käytettyjen sazhenien suhteita ja rakentamalla "Babylonin" (B. A. Rybakovin mukaan), on mahdollista tietyn vapauden vuoksi kirjoittaa tähän "Babyloniin" miehen hahmo. kuuluisa Leonardo da Vincin piirustus , joka liittyy, kuten he ehdottavat, Vitruviuksen arkkitehtuuria käsittelevään tutkielmaan (" Vitruvian mies "; latina Homo vitruvianus ). Muinaisten venäläisten pituusmittojen antropomorfismi on ilmeinen, samoin kuin analogia keskiaikaisen Venäjän ja Euroopan lännen ulottuvuusjärjestelmistä.
Länsi-Euroopan keskiaikaiset rakennusartellit käyttivät pääasiassa kahta geometristen rakenteiden menetelmää. Yksinkertaisin tapa laskea koot muinaisiin "neliökuvioihin" oli nimeltään kvadratuuri . Tämän menetelmän kuvasi ensimmäisenä saksalainen vapaamuurari (vapamuurari) Regensburgista , katedraalien rakentaja Matthaus Roritzer vuonna 1486. Hän sai nimen "saksalainen". Koko rakennus kaiverrettiin neliöön (taso- ja korkeussuhteissa), ja johdetut arvot määritettiin rakennuksen pääjulkisivun leveydelle rakennetun neliön diagonaalin mukaan. Tällainen esimerkki, joka perustuu Pariisin Notre Damen katedraalin julkisivumittauksiin , on annettu hänen kuuluisassa kirjassaan Auguste Choisy [26] .
Toista menetelmää kutsutaan triangulaatioksi . Tälle menetelmälle annettiin myös mystinen merkitys, erityisesti temppelien rakentamisessa, koska tasasivuinen kolmio on Pyhän Kolminaisuuden symboli . Käytännössä B. R. Vipperin rekonstruktion mukaan se näytti tältä. Valitulla rakennustyömaalla tarkalleen keskipäivällä kaivettiin maahan pylväs - gnomon (osoitin), joka osoitti tulevan rakennuksen läntisen pääjulkisivun keskustaa. Keskipäivän aurinko keskileveysasteilla luo varjon gnomonista täsmälleen pohjoiseen, ja puolet julkisivun leveydestä oli varattu tähän suuntaan. Toinen puoli mitattiin vastakkaiseen suuntaan. Sitten saadulle pääjulkisivun leveydelle rakennettiin mittanarujen avulla tasakylkinen (muissa tapauksissa tasasivuinen) kolmio. Sen huippu oli puolet tulevan temppelin päälaivan pituudesta. Sitten peilattiin toinen kolmio. Kolmioiden mediaani, joka on kohtisuorassa julkisivun linjaan nähden, määritti temppelin päälaivan keskilinjan, joka oli suunnattu länsi-itä-akselia pitkin. Kolmioiden pohjat jaettiin neljään yhtä suureen osaan. Näin saatiin oikea suhde päälaivan ja kahden sivulaivan leveydelle, jotka piti tehdä kaksi kertaa kapeammiksi. Pienten kolmioiden leikkauspisteet merkitsivät tulevien tukien paikkoja. Tällainen kolmiomittaus voitaisiin jakaa äärettömän pieniin arvoihin, siirtää pystytasolle määrittäen julkisivujen rakenteelliset pääkohdat ja rakennuksen sisäisen rakenteen [27] .
Laskettaessa Milanon katedraalin peruskiveä vuonna 1387 kutsuttiin arkkitehteja Saksasta ja Ranskasta, jotka väittivät: rakennetaanko temppeli "saksalaisella menetelmällä" (ad quadratum) - neliön ja sen diagonaalin perusteella - tai "ranskalaisen menetelmän" (ad triangulum) mukaan - tasasivuisen kolmion perusteella. Milanon katedraalin poikkileikkauspiirros (keskiristin mukaan), jonka Piacenzasta kotoisin Gabriele Stornalocco teki vuonna 1391, on italialaisessa painoksessa Cesare Cesarianon tutkielmasta Ten Books on Architecture vuodelta 1521. Tämä piirros osoittaa selvästi "kytketyn järjestelmän", jossa katedraalin päärakennepisteet on merkitty paitsi tasasivuisiin kolmioihin, myös samankeskisiin ympyröihin. Tällainen "yhdistetty järjestelmä" antaa suurimman vahvuuden ja visuaalisen eheyden koko rakenteelle.
Renessanssin arkkitehtuurin mitoitusteorian kehittivät Leon Battista Alberti , Andrea Palladio , N. A. Lvov . Uudessa ajassa - I. V. Zholtovsky , O. I. Guryev , I. P. Shmelev.
Tiedetään, että Andrea Palladio ei käyttänyt monimutkaisia laskelmia ja irrationaalisia lukuja. Tutkielmassaan " Four Books on Architecture " (1570) hän ei mainitse kultaleikkauksen sääntöä, mutta ehdottaa rakennusten mitoitusta "yhdeksi tai kahdeksi kuutioksi". Palladion rakennuksissa suhteet kuitenkin toistuvat: 2: 3: 5. Venetsialainen arkkitehti turvautui myös erikokoisten suorakulmioiden samankaltaisuuksien rakentamiseen yhdensuuntaisten tai kohtisuoraan diagonaalien perusteella (yksi geometrian aksioomista). Tämä tekniikka on saanut arkkitehtuurin historiassa nimen "suorakulmasääntö". Yksi arkkitehtuurin historian mittasuhteiden harmonian symboleista on kuuluisa Palladion Villa Rotunda -rakennus .
Palladion työn tutkija, arkkitehti O. I. Guryev korosti, että "kultaista leikkausta" mainitsematta, vaan "samankaltaisten suorakulmioiden ja kuutioiden sääntöä" noudattaen ja rakentamalla ne yhdensuuntaisille tai kohtisuoralle diagonaaleille, Palladio määritti määritettävien suureiden suhteet. "Jäsenet tai liittyvät Fibonacci-sarjaan: 9:5 on kolme kertaa suhde 3:5 ja 3:1 on kaksinkertainen suhde 3:2 jne." [28] .
Ranskalainen arkkitehti Le Corbusier loi kuuluisan " Modulorinsa " perinteisen mittaparijärjestelmän, "oikean kulman säännön" ja kahden "asteikon" (rationaaliset ja irrationaaliset arvot) pohjalta .
Pietarilainen arkkitehti ja taideteoreetikko Igor Pavlovich Shmelev loi harmonian lakeja tutkiessaan oman tulkintansa muinaisten egyptiläisten pappien kaanonista Horuksen jumalan papin Khesi-Ran haudan puulevyjen analyysin perusteella. ja farao Djoserin pääarkkitehti Saqqarassa [29] .
Kuvataidehistoriassa yksi hänen teoreettisista teoksistaan vuodelta 1783 oli omistettu taidemaalari Sir Joshua Reynolds sekä englantilainen kaivertaja John Thomas Smith , joka kutsui hänen teoriaansa "kolmansien säännöksi".