Euler-Maclaurin kaava

Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 19. huhtikuuta 2016 tarkistetusta versiosta . tarkastukset vaativat 7 muokkausta .

Euler-Maclaurin summauskaava on kaava, jonka avulla voidaan ilmaista funktioarvojen diskreettejä summia funktion integraaleina. Erityisesti monet asymptoottiset summien laajennukset saadaan juuri tämän kaavan mukaan.

Leonhard Euler löysi kaavan itsenäisesti vuonna 1732 ja Colin Maclaurin noin 1735 (ja myöhemmin yleistettiin Darboux'n kaavaksi). Euler sai tämän kaavan, kun hänen piti laskea hitaasti konvergoiva sarja, ja Maclaurin käytti sitä integraalien laskemiseen.

Kaava

Euler-Maclaurin-kaavalla on muoto:

\sum \limits _{a\leqslant k<b}f(k)=\int \limits _{a}^{b}f(x)dx+\left.\sum \limits _{k=1 }^{m}{\frac {B_{k}}{k!}}f^{(k-1)}(x)\oikea|_{a}^{b}+R_{m},

missä

R_{m}=(-1)^{m+1}\int \limits _{a}^{b}{\frac {B_{m}(\{x\})}{m!} }f^{(m)}(x)dx,

tässä — luonnollinen, — Bernoullin luvut , — riittävän sileä funktio derivaattoja varten , — Bernoullin polynomi , — x :n murto-osa . Siinä tapauksessa, että se on pieni, saamme summalle hyvän likiarvon. $a\leqslant b,m$ $B_{k}$ $f(x)$ $f'(x),\ldots ,f^{(m)}(x)$ $B_{m}(t)$ $\{x\}$ $R_m$

Bernoullin polynomit määritellään rekursiivisesti nimellä $B_{n}(x),n=0,1,2,\ldots$

B_{0}(x)=1,

B_{n}'(x)=nB_{n-1}(x),\ \int \limits _{0}^{1}B_{n}(x)dx=0,n\in \ mathbb {N} .

Lauseketta kutsutaan jaksolliseksi Bernoulli-funktioksi. $B_{n}(\{x\})=P_{n}(x)$

Loput

Loput termi R voidaan ilmaista helposti seuraavasti : $P_n(x)$

R=-\int \limits _{a}^{b}f^{(2p)}(x){\frac {P_{2p}(x)}{(2p)!}}dx,

tai vastaavalla tavalla, joka saadaan integroimalla osilla, olettaen, että se on jälleen differentioituva, ja muistaen, että parittomat Bernoulli-luvut ovat yhtä kuin nolla: ${\displaystyle f^{(2p)))$

R=\int \limits _{a}^{b}f^{(2p+1)}(x){\frac {P_{(2p+1)}(x)}{(2p+1 )!}}dx.

missä . Sen voi osoittaa $n \geqslant 0$

\left|B_{n}(x)\right|\leqslant {\frac {2n!}{(2\pi )^{n))}\zeta (n),

jossa tarkoittaa Riemannin zeta-funktiota . Tasa-arvo saavutetaan parilliselle n :lle ja . Tätä epäyhtälöä käyttämällä jäännöstermi arvioidaan muodossa $\zeta$ $x=0$

\left|R\right|\leqslant {\frac {2\zeta (2p)}{(2\pi )^{2p))}\int \limits _{a}^{b}\left| f^{(2p)}(x)\oikea|dx

Todiste

Kuljettajan näkökohdat

Ennen todistetta on kätevää pohtia (Lagrangen johdosta) korkeamman asteen näkökohtia, miksi tällainen kaava pätee. Olkoon erooperaattori, summausoperaattori , erotusoperaattori ja integrointioperaattori. Tällöin operaattori on käänteinen , ja on käänteinen . Se voidaan ilmaista Taylorin kaavalla: $\Delta$ $\Sigma$ $D$ $\int$ $\Delta$ $\Sigma$ $D$ $\int$ $\Delta$ $D$

\Delta f(x)=f(x+1)-f(x)={\frac {f'(x)}{1!}}+{\frac {f''(x)}{ 2!}}+{\frac {f'''(x)}{3!}}+\ldots =\left({\frac {D}{1!}}+{\frac {D^{2} }{2!}}+{\frac {D^{3}}{3!}}+\ldots \right)f(x)=(e^{D}-1)f(x),

nuo. ja sitten , ja siitä lähtien , sitten $\Delta =e^{D}-1$ $\Sigma =\Delta ^{-1}={\frac {1}{e^{D}-1))$ ${\frac {z}{e^{z}-1}}=\sum \limits _{k\geqslant 0}B_{k}{\frac {z^{k}}{k!)} }$

\sum ={\frac {B_{0}}{D}}+{\frac {B_{1}}{1!}}+{\frac {B_{2}}{2!}}D+ {\frac {B_{3}}{3!}}D^{2}+\ldots =\int +\sum \limits _{k\geqslant 1}{\frac {B_{k}}{k!} }D^{k-1}.

Käyttämällä tätä operaattorisuhdetta saamme halutun kaavan, mutta ilman jäljellä olevaa termiä. $f(x)$

Tämä päätelmä on puhtaasti muodollinen, eikä se koske lähentymiskysymyksiä.

Loput todiste

Riittää todistaa kaava , koska voimme jakaa minkä tahansa segmentin kokonaislukurajoilla segmenteiksi, joiden pituus on 1 ja siirtää ne osaan . Sillä kaava näyttää tältä $a=0,b=1$ $[a;b]$ $[0;1]$ $a=0,b=1$

f(0)=\int \limits _{0}^{1}f(x)dx+\left.\sum \limits _{k=1}^{m}{\frac {B_{k} }{k!}}f^{(k-1)}(x)\oikea|_{0}^{1}+(-1)^{(m+1)}\int \limits _{0} ^{1}{\frac {B_{m}(x)}{m!}}f^{(m)}(x)dx.

Todistus suoritetaan induktiolla m :llä .

Pohja. klo . Integroimalla osilla osoitteessa , saamme: $m=1,B_{1}(x)=x-{\frac {1}{2))$ $u(x)=f(x),v(x)=x-{\frac {1}{2))$

f(0)=\int \limits _{0}^{1}f(x)dx-{\frac {1}{2}}(f(1)-f(0))+\int \limits _{0}^{1}\left(x-{\frac {1}{2}}\right)f'(x)dx.

Vaihe. Induktiovaihe vastaa tasa-arvon todistamista , eli sinun on todistettava se $R_{m-1}=\left.{\frac {B_{m}}{m!}}f^{(m-1)}(x)\oikea|_{0}^{1} +R_{m}$

\left.(-1)^{m}B_{m}f^{(m-1)}(x)\oikea|_{0}^{1}=m\int \limits _{0 }^{1}B_{m-1}(x)f^{(m-1)}(x)dx+\int \limits _{0}^{1}B_{m}(x)f^{( m)}(x)dx.

Tässäkin osa-integrointikaava on sovellettavissa : lle , joten kaava on oikea johtuen siitä, että $u(x)=f^{(m-1)}(x),v(x)=B_{m}(x)$ $B_{m}'(x)=mB_{m-1}(x)$

\left.(-1)^{m}B_{m}f^{(m-1)}(x)\oikea|_{0}^{1}=\left.B_{m}( x)f^{(m-1)}(x)\oikea|_{0}^{1},

eli , ja tämä on totta, koska parittomille m meillä on . $(-1)^{m}B_{m}=B_{m}(1)=B_{m}(0)$ $B_{m}=0,$

Sovellus

Tehojen summa

Lasketaan asteiden summa . Olkoon , Sitten ja , laskemalla integraalit, saamme: ${\displaystyle \sum \limits _{a\leqslant k<b}k^{m-1))$ ${\displaystyle f(x)=x^{m-1))$ $f^{(m)}(x)=0$ $R_{m}=0$

\sum \limits _{a\leqslant k<b}k^{m-1}={\frac {1}{m))\sum \limits _{k=0}^{m}{\ binomi {m}{k}}B_{k}(b^{mk}-a^{mk}).

Käänteinen neliösumma

Laske summa

1+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{9}}+{\frac {1}{16}}\cdots =\sum \limits _{n=1} ^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}.

Euler laski tämän summan 20 desimaalin tarkkuudella käyttäen pientä määrää Euler-Maclaurin-kaavan termejä vuonna 1735. Tämä luultavasti vakuutti hänet siitä, että tämä summa on yhtä suuri kuin , jonka hän todisti samana vuonna. [1] [2] ${\frac {\pi ^{2}}{6}}$

Numeerinen integrointi

Euler-Maclaurin-kaavaa voidaan käyttää myös numeeristen integrointimenetelmien yksityiskohtaiseen virheanalyysiin. Se selittää puolisuunnikkaan menetelmän hyvän suorituskyvyn tasaisissa jaksollisissa funktioissa ja sitä käytetään tietyissä ekstrapolointimenetelmissä . Clenshaw–Curtis-kvadratuuri muuttaa olennaisesti muuttujia ilmaisemalla mielivaltaisen integraalin jaksollisten funktioiden integraaleina, joille Euler-Maclaurin-approksimaatio on erityisen tarkka (tässä nimenomaisessa tapauksessa Euler-Maclaurin-kaava otetaan muotoon diskreetti kosinimuunnos ). Tätä tekniikkaa kutsutaan muunnokseksi jaksolliseksi funktioksi.

Asymptoottinen lauseke summalle

Summan tai sarjan asymptoottisen lausekkeen laskemiseksi käytetään yleensä seuraavaa Euler-Maclaurin-kaavan muotoa:

\sum \limits _{n=a}^{b}f(n)\sim \int \limits _{a}^{b}f(x)dx+{\frac {f(a)+f (b)}{2}}+\sum _{k=1}^{+\infty }{\frac {B_{2k}}{(2k)!}}\left(f^{(2k-1) }(b)-f^{(2k-1)}(a)\oikea),

missä a , b ovat kokonaislukuja. Usein kaava pysyy voimassa, vaikka jommankumman rajoja laajennetaan tai molempia. Monissa tapauksissa oikean puolen integraali voidaan laskea suljetussa muodossa alkeisfunktioiden suhteen , vaikka vasemman puolen summaa ei voidakaan ilmaista niin. Sitten kaikki asymptoottisen sarjan termit voidaan ilmaista alkeisfunktioilla. Esimerkiksi, $a\to -\infty$ $b\to +\infty$

\sum \limits _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{(z+k)^{2}}}\sim \underbrace {\int \limits _{0}^ {+\infty }{\frac {1}{(z+k)^{2}}}dk} _{=1/z}+{\frac {1}{2z^{2}}}+\summa \limits _{t=1}^{+\infty }{\frac {B_{2t}}{z^{2t+1}}}.

Tässä vasen puoli on , jota kutsutaan ensimmäisen asteen polygammafunktioksi , määriteltynä ; gammafunktio on , jos z on luonnollinen. Saatu tulos on asymptoottinen laajennus . Tätä lauseketta käytetään lähtökohtana Stirlingin tekijäkaavan tarkan virheen estimaatin saamiseksi . $\psi ^{(1)}(z)$ $\psi ^{(1)}(z)={\frac {d^{2}}{dz^{2}}}\ln \Gamma (z)$ $\Gamma(z)$ ${\näyttötyyli (z-1)!}$ $\psi ^{(1)}(z)$

Harmonisten lukujen likiarvo

Oletetaan , että sitten ja sitten saamme ${\displaystyle f(x)=x^{-1))$ $f^{(m)}(x)=(-1)^{m}m!x^{-m-1}=O(x^{-m-1})$

\sum \limits _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}=\ln n+\gamma +{\frac {1}{2n}}-\sum \limits _ {k=1}^{m}{\frac {B_{2k}}{2kn^{2k}}}-\theta _{m,n}{\frac {B_{2m+2}}{(2m+ 2 )n^{2m+2}}},

missä . Tästä voidaan laskea Eulerin vakio suhteellisen nopeasti . $0<\theta _{m,n}<1$ $\gamma$

Stirlingin likiarvo kertoimelle

Oletetaan , että sitten ja sitten saamme $f(x)=\ln x$ ${\displaystyle f'(x)=x^{-1},f^{(m+1)}(x)=(-1)^{m}m!x^{-m-1))$

\sum \limits _{k=1}^{n}\ln k=n\ln n-n+\sigma -{\frac {\ln n}{2))+\sum \limits _{k =1}^{m}{\frac {B_{2k}}{2k(2k-1)n^{2k-1}}}-\phi _{m,n}{\frac {B_{2m+2 }}{(2m+1)(2m+2)n^{2m+1}}},

missä oikeasti . Kun otetaan eksponentiaali molemmista osista, saadaan Stirlingin kaava . $\sigma =\ln {\sqrt {2\pi }}$

Muistiinpanot

↑ David J. Pengelley, "Tanssit jatkuvan ja diskreetin välillä: Eulerin summauskaava" Arkistoitu 9. elokuuta 2017 Wayback Machinessa , julkaisussa: Robert Bradley ja Ed Sandifer (toim.), Proceedings, Euler 2K+2 Conference (Rumford, Maine, 2002) ) , Euler Society, 2003.
↑ K. P. Kokhas. Käänteisten neliöiden summa // Matem. valaistuminen .. - 2004. - Numero. 8 . — S. 142–163 .

Kirjallisuus

Graham R., Knut D. , Patashnik O. Concrete Mathematics. - M .: Mir, 1998. - 703 s. — ISBN 5-03-001793-3 .
Fikhtengol'ts GM Luku 12. § 6. Päällystävä ja asymptoottinen sarja. Euler-Maclaurin kaava // Differentiaali- ja integraalilaskennan kurssi. - 7. painos, stereotypia. - M .: Nauka, 1969. - T. 2. - S. 531-551. – 800 s.