Yksinkertainen toiminto

Yksinkertainen funktio on mitattavissa oleva funktio , joka ottaa äärellisen määrän arvoja.

Määritelmä

Mitattavassa avaruudessa määriteltyä funktiota kutsutaan yksinkertaiseksi, jos on olemassa osio äärelliseen määrään ei-leikkaavia mitattavissa olevia joukkoja ja joukko lukuja (yleensä reaali- tai kompleksilukuja) siten, että mille tahansa . $f$ $(X,{\mathcal {F}})$ $X$ $A_1,\pisteet,A_n$ $a_1,\pisteet,a_n$ ${\displaystyle f(x)=a_{i))$ ${\displaystyle x\in A_{i))$

Muistiinpanot

Jos on todennäköisyysavaruus , niin yksinkertaista funktiota kutsutaan yksinkertaiseksi satunnaismuuttujaksi . $(X,{\mathcal {F)))\equiv (\Omega ,{\mathcal {F)))$
Jos on tila, jonka mitta on , yksinkertainen ja $(X,\mathcal{F},\mu)$ $f:X\to \mathbb {R}$

f(x)=\sum _{i=1}^{n}a_{i}{\mathbf {1} }_{A_{i}}(x),x\in X

ja ,

\mu (A_{i})<\infty ,\forall i=1,\ldots ,n

sitten Lebesgue integroitava , ja

f

\int \limits _{X}f\,d\mu =\sum \limits _{i=1}^{n}a_{i}\,\mu (A_{i})

Esimerkki

Antaa , Missä on Borelin sigma-algebra päällä Ja on Lebesguen toimenpide . Sitten toiminto $(X,{\mathcal {F)),\mu )=(\mathbb {R} ,{\mathcal {B))(\mathbb {R} ),m)$ ${\mathcal {B}}(\mathbb {R} )$ $\mathbb {R}$ $m$

f(x)=\left\{{\begin{matrix}1,&x>0\\0,&x=0\\-1,&x<0\end{matrix}}\right.,x\ kohteessa \mathbb {R}

yksinkertainen, koska se on mitattavissa ja ottaa kolme eri arvoa.

Kirjallisuus

Rudin, U. Matemaattisen analyysin perusteet = Principles of mathematical analysis / Käännetty englannista. V. P. Khavin . - M .: Mir, 1966. - 319 s.