Kvanttimekaniikka

Kvantti- (aalto)mekaniikka on fysikaalinen perustavanlaatuinen teoria , joka kuvaa luontoa atomien ja subatomisten hiukkasten asteikolla . Se on kaiken kvanttifysiikan perusta, mukaan lukien kvanttikemia , kvanttikenttäteoria , kvanttitekniikka ja kvanttitietotekniikka .

Klassinen fysiikka , teorioiden joukko, joka oli olemassa ennen kvanttimekaniikan tuloa, kuvaa monia luonnon näkökohtia tavallisessa ( makroskooppisessa ) mittakaavassa, mutta se ei riitä kuvaamaan niitä kvantitatiivisesti pienissä (atomi- ja subatomiasteikoissa ). Suurin osa klassisen fysiikan teorioista voidaan johtaa kvanttimekaniikasta suuressa (makroskooppisessa) mittakaavassa pätevinä approksimaatioina [2] .

Kvanttimekaniikka eroaa klassisesta fysiikasta siinä, että systeemin sidotun tilan energia , liikemäärä , kulmamomentti ja muut suureet eivät voi ottaa mielivaltaisia arvoja, vaan ne rajoittuvat diskreetteihin arvoihin ( kvantisointi ), esineillä on molempien hiukkasten ominaisuudet. ja aallot ( aalto-hiukkasten kaksinaisuus ) ja kyvyllämme ennustaa fyysisen suuren arvo tarkasti ennen sen mittaamista on rajansa, kun otetaan huomioon täydellinen alkuehtojen sarja ( epävarmuusperiaate ).

Kvanttimekaniikka syntyi vähitellen teorioista, jotka selittivät havaintoja, joita ei voitu sovittaa yhteen klassisen fysiikan käsitteiden kanssa, kuten Max Planckin vuonna 1900 tekemä ratkaisu mustan kappaleen säteilyn ongelmaan valokvantin energian ja taajuuden välinen vastaavuus Albert Einsteinin vuonna 1905 . paper , joka selitti valosähköisen efektin . Nämä varhaiset yritykset ymmärtää mikroskooppisia ilmiöitä, jotka nykyään tunnetaan " vanhana kvanttiteoriana ", johtivat kvanttimekaniikan nopeaan kehitykseen 1920-luvun puolivälissä Niels Bohrin , Erwin Schrödingerin , Werner Heisenbergin , Max Bornin ja muiden teoksissa. Nykyaikainen teoria on muotoiltu käyttämällä erilaisia erityisesti kehitettyjä matemaattisia formalismeja . Yhdessä matemaattinen kokonaisuus, jota kutsutaan aaltofunktioksi, tarjoaa tietoa todennäköisyysamplitudien muodossa siitä, mihin hiukkasen energian, liikemäärän ja muiden fysikaalisten ominaisuuksien mittaukset johtavat.

Yleiskatsaus ja peruskäsitteet

Kvanttimekaniikka mahdollistaa fyysisten järjestelmien ominaisuuksien ja käyttäytymisen laskemisen. Yleensä sitä sovelletaan mikroskooppisiin järjestelmiin: molekyyleihin, atomeihin ja subatomisiin hiukkasiin [3] :1.1 . On myös osoitettu, että kvanttimekaniikka kuvaa oikein monimutkaisten, tuhansia atomeja sisältävien molekyylien käyttäytymistä [4] , vaikka yritettäessä soveltaa sitä ihmisiin, syntyy filosofisia kysymyksiä ja paradokseja, kuten Wignerin ystävä ja sen soveltaminen maailmankaikkeuteen kokonaisuus jää myös spekulatiiviseksi [5] . Kvanttimekaniikan ennusteet on varmistettu kokeellisesti erittäin suurella tarkkuudella [K 1] [8] .

Kvanttiteorian perusominaisuus on, että se ei yleensä pysty ennustamaan fyysisten suureiden (dynaamisten muuttujien) arvoja varmasti, vaan antaa vain niiden mittauksen todennäköisyydet [9] . Matemaattisesti todennäköisyys löydetään neliöimällä kompleksiluvun itseisarvo , joka tunnetaan todennäköisyysamplitudina [10] [11] . Tämä väite tunnetaan Bornin säännönä , joka on nimetty fyysikko Max Bornin mukaan [12] [13] . Esimerkiksi kvanttihiukkanen, kuten elektroni , kuvataan aaltofunktiolla , joka asettaa todennäköisyysamplitudin kullekin avaruuden pisteelle. Born-säännön soveltaminen näihin amplitudeihin määrittää hiukkasen koordinaatin todennäköisyystiheysfunktion , kun suoritetaan koe sen mittaamiseksi. Tämä on parasta mitä teoria voi antaa; on mahdotonta sanoa tarkalleen missä elektroni löytyy. Schrödingerin yhtälö kuvaa järjestelmän kehitystä ajassa, eli se yhdistää yhteen ajanhetkeen liittyvän todennäköisyysamplitudien joukon toiseen ajanhetkeen liittyviä todennäköisyysamplitudeja [14] [13] .

Yksi kvanttimekaniikan matemaattisten sääntöjen seuraus on kompromissi, kun yritetään määritellä erilaisia mitattavia suureita. Tällaisen kompromissin tunnetuin muoto, epävarmuusperiaate , sanoo, että riippumatta siitä, kuinka kvanttihiukkasen tila valmistellaan tai kuinka huolellisesti kokeita tehdään tällä hiukkasella, on mahdotonta ennustaa tarkasti hiukkasen arvoja. sen sijainti ja liikemäärä sillä hetkellä mittauksen aikana [15] .

Toinen kvanttimekaniikan matemaattisten sääntöjen seuraus on kvanttihäiriö , josta esimerkkinä on kokemus kahdesta raosta . Tämän kokeen perusversiossa koherentti valonlähde , kuten laser , valaisee läpinäkymättömän levyn, jonka läpi on leikattu kaksi yhdensuuntaista rakoa, ja rakojen läpi kulkevaa valoa tarkkaillaan levyn takana olevalla näytöllä [16] :102– 111 [3] : 1,1–1,8 . Valon aaltollinen luonne tarkoittaa, että valoaallot kulkevat kahden raon läpi häiriten ja luoden ruudulle kirkkaita ja tummia juovia - tulos, jota ei olisi odotettavissa, jos valo koostuisi klassisista hiukkasista [16] . Kokemus osoittaa kuitenkin aina, että näyttö absorboi valoa yksittäisissä kohdissa yksittäisten hiukkasten, ei aaltojen, muodossa; Häiriökuvio ilmenee valokuvalevyn erilaisen valotiheyden vuoksi, kun nämä hiukkaset osuvat näyttöön. Lisäksi kokeen muissa muunnelmissa, joissa on ilmaisimia rakoissa, havaitaan, että jokainen havaittu fotoni kulkee yhden raon läpi (kuten klassinen hiukkanen), eikä molempien rakojen läpi (kuten aalto) [16] :109 [17 ] [18] . Tällaisista kokeista seuraa , että hiukkaset eivät muodosta interferenssikuviota, jos määritetään, minkä raon läpi ne kulkevat. Muiden atomimittakaavan esineiden, kuten elektronien , on havaittu käyttäytyvän samalla tavalla, kun ne putoavat näytölle, jossa on kaksi rakoa [3] . Tämä mikroobjektien käyttäytyminen tunnetaan aalto-hiukkas-kaksinaisuudena - se on kvanttimekaniikan ytimessä [19] .

Toinen kvanttimekaniikan ennustama arkikokemuksen kanssa ristiriitainen ilmiö on kvanttitunnelointi , jolloin potentiaaliesteeseen törmännyt hiukkanen voi ylittää sen, vaikka sen liike-energia olisi pienempi kuin potentiaalimaksimi [20] . Klassisessa mekaniikassa tämä hiukkanen heijastuu aina esteestä. Kvanttitunneluksella on useita tärkeitä havaittavia seurauksia, mukaan lukien radioaktiivinen hajoaminen , ydinfuusio tähtissä ja sovellukset, kuten pyyhkäisytunnelimikroskooppi ja tunnelointidiodit [21] .

Kun kvanttijärjestelmät ovat vuorovaikutuksessa, seurauksena voi olla kvanttisekoittumisen synty : niiden ominaisuudet kietoutuvat niin toisiinsa, että kokonaisuutta ei ole enää mahdollista kuvata sen yksittäisten osien kautta. Schrödinger kutsui sotkeutumista [22]

"... kvanttimekaniikan ominainen piirre on täydellinen poikkeaminen klassisista ymmärtämisen tavoista"

Alkuperäinen teksti (englanniksi)[ näytäpiilottaa] "… kvanttimekaniikan ominaispiirre, se, joka pakottaa sen poikkeamaan klassisista ajatuslinjoista"

Kvanttikietoutuminen toteuttaa kvanttipseudotelepatian vastakohtaiset ominaisuudet ja voi osoittautua arvokkaaksi tekniikaksi viestintäprotokollien, kuten kvanttiavainten jakelun ja ultratiheän koodauksen , yhteydessä [23] . Vastoin yleistä väärinkäsitystä, takertuminen ei salli valonnopeutta nopeampien signaalien lähettämistä , mikä on osoitettu kytkemättömällä teoreemalla [23] .

Toinen sotkeutumisen tarjoama mahdollisuus on " piilotettujen muuttujien " testaus, hypoteettiset ominaisuudet, jotka ovat perustavanlaatuisempia kuin kvanttiteoriassa itse tarkastelut suureet ja joiden tunteminen mahdollistaisi tarkempia ennusteita kuin kvanttiteoria pystyy tarjoamaan. Lukuisat tulokset, varsinkin Bellin teoreema , ovat osoittaneet, että tällaisten piilomuuttujien teorioiden laajat luokat ovat itse asiassa yhteensopimattomia kvanttifysiikan kanssa. Bellin lauseen mukaan , jos luonto todellakin kuvataan jollakin paikallisten piilomuuttujien teorialla, Bellin epäyhtälöiden testaustulokset ovat rajoitettuja tietyllä tavalla, joka voidaan kvantifioida. Monet Bell-testit on suoritettu käyttämällä takertuneita hiukkasia, ja ne ovat osoittaneet tuloksia, jotka ovat ristiriidassa paikallisten piilomuuttujien teorioiden asettamien rajoitusten kanssa [24] [25] .

On mahdotonta esittää näitä käsitteitä enemmän kuin pinnallisesti ilman varsinaista matematiikkaa; kvanttimekaniikan ymmärtäminen edellyttää kompleksilukujen manipuloinnin lisäksi myös lineaarialgebraa , differentiaaliyhtälöitä , ryhmäteoriaa ja muita monimutkaisempia matematiikan osa-alueita. Fyysikko John C. Baez varoittaa [26] :

"… ei voida ymmärtää kvanttimekaniikan tulkintaa ilman, että pystytään ratkaisemaan kvanttimekaniikan ongelmia – ymmärtääkseen tämän teorian, on osattava käyttää sitä (ja päinvastoin)."

Alkuperäinen teksti (englanniksi)[ näytäpiilottaa] "… ei ole mahdollista ymmärtää kvanttimekaniikan tulkintaa ilman, että kykenee myös ratkaisemaan kvanttimekaniikan ongelmia - ymmärtääkseen teorian, sinun on osattava käyttää sitä (ja päinvastoin)".

Carl Sagan hahmotteli kvanttimekaniikan "matemaattisen perustan" ja kirjoitti [27] :

"Useimmilla fysiikan opiskelijoilla tämä voi viedä heidät esimerkiksi kolmannelta luokalta tutkinnon aloittamiseen - noin 15 vuotta. (…) Se, kuinka paljon työtä tieteen popularisoijan on tehtävä yrittääkseen saada käsitys kvanttimekaniikasta laajalle yleisölle, joka ei ole käynyt läpi tätä kulkurituaalia, on pelottavaa. Todellakin, mielestäni ei ole olemassa menestystä suosittua kvanttimekaniikan näyttelyä - osittain tästä syystä.

Alkuperäinen teksti (englanniksi)[ näytäpiilottaa] "Useimmille fysiikan opiskelijoille tämä saattaa painaa heitä esimerkiksi kolmannelta luokalta ylioppilaskouluun – noin 15 vuotta. […] Tieteen popularisoijan työ, joka yrittää saada käsityksen kvanttimekaniikasta suurelle yleisölle, joka ei ole käynyt näitä initiaatioriittejä, on pelottavaa. Itse asiassa kvanttimekaniikan menestystä popularisoinnissa ei mielestäni ole - osittain tästä syystä."

Tämän mukaisesti tässä artikkelissa esitellään kvanttimekaniikan matemaattinen muotoilu ja tarkastellaan sen soveltamista joihinkin hyödyllisiin ja usein tutkittuihin esimerkkeihin.

Historia

Kvanttimekaniikka kehitettiin 1900-luvun ensimmäisinä vuosikymmeninä, koska haluttiin selittää ilmiöitä, joita ei voitu selittää klassisen lähestymistavan puitteissa [28] . Tieteellinen tutkimus valon aaltoluonteesta alkoi 1600- ja 1700-luvuilla, jolloin tutkijat, kuten Robert Hooke , Christian Huygens ja Leonard Euler , ehdottivat kokeellisiin havaintoihin perustuvaa valon aaltoteoriaa [29] . Vuonna 1803 englantilainen polymaatti Thomas Young kuvaili kuuluisaa kaksoisrakokokeilua . Tällä kokeella oli tärkeä rooli valon aaltoteorian yleisessä hyväksymisessä [30] .

1800-luvun alussa John Daltonin ja Amedeo Avogadron kemiallinen tutkimus antoi painon aineen atomiteorialle , jonka varaan James Clerk Maxwell , Ludwig Boltzmann ja muut rakensivat kaasujen kineettisen teorian . Kineettisen teorian menestys vahvisti entisestään uskoa siihen, että aine koostuu atomeista, mutta tässä teoriassa oli myös puutteita, jotka pystyttiin poistamaan vain kvanttimekaniikan kehityksellä [31] . Vaikka kreikkalaisen filosofian varhainen käsitys atomeista oli, että ne olivat jakamattomia yksiköitä - sana "atomi" tulee kreikan kielestä "leikkaamattomaksi" - hypoteesit subatomisesta rakenteesta muotoiltiin 1800-luvulla. Yksi tärkeä löytö tässä suhteessa oli Michael Faradayn vuonna 1838 tekemä havainto hehkusta, jonka aiheutti sähköpurkaus lasiputken sisällä, joka sisältää matalapaineista kaasua. Julius Plücker , Johann Wilhelm Gittorf ja Eugen Goldstein jatkoivat ja paransivat Faradayn työtä, mikä johti katodisäteiden tunnistamiseen , jotka, kuten J. J. Thomson havaitsi , koostuvat subatomisista hiukkasista, joita myöhemmin kutsuttiin elektroneiksi [32] [33] .

Gustav Kirchhoff löysi mustan kappaleen säteilyn ongelman vuonna 1859 [34] . Vuonna 1900 Max Planck oletti, että energia säteilee ja absorboituu erillisissä "kvanteissa" (tai energiapaketeissa). Tämä mahdollisti mustan kappaleen havaitun säteilyspektrin selittämisen [35] . Sana " quantum" tulee latinan kielestä , joka tarkoittaa "kuinka paljon" [36] . Planckin mukaan energian määrä voidaan ajatella jaettuna "elementeiksi", joiden suuruus ( E ) on verrannollinen niiden taajuuteen ( ν ):

E=h\nu \

missä h on Planckin vakio . Planck korosti huolellisesti, että tämä on vain osa säteilyn absorptio- ja emissioprosesseja, ei säteilyn fyysistä todellisuutta [37] . Itse asiassa hän ei voinut valita, pitääkö kvanttihypoteesiaan matemaattisena tempuna oikean vastauksen saamiseksi vai merkittävänä löydönä [38] [39] . Albert Einstein kuitenkin tulkitsi vuonna 1905 realistisesti Planckin kvanttihypoteesin ja käytti sitä selittämään valosähköistä vaikutusta , jossa tiettyihin materiaaleihin osuva valo voi lyödä elektroneja ulos materiaalista [19] [40] . Niels Bohr kehitti sitten Planckin ajatuksia säteilystä sisällyttämällä sen vetyatomin malliin , joka ennusti onnistuneesti vedyn spektriviivat [41] . Einstein kehitti tämän ajatuksen osoittaakseen, että sähkömagneettista aaltoa , kuten valoa, voidaan kuvata myös hiukkaseksi (myöhemmin kutsutuksi fotoniksi ), jolla on diskreetti energiamäärä, joka riippuu sen taajuudesta [42] [43] . Kirjoituksessaan On the Quantum Theory of Radiation Einstein laajensi energian ja aineen välistä suhdetta selittääkseen atomien energian absorption ja emission. Vaikka hänen yleinen suhteellisuusteoriansa varjossi tämän ajatuksen tuolloin, tässä artikkelissa muotoiltiin stimuloidun emission taustalla oleva mekanismi [44] , josta tuli laserien perustoimintaperiaate [45] .

Tämä kvanttiteorian kehitysvaihe tunnetaan vanhana kvanttiteoriana . Se ei koskaan ollut täydellinen ja johdonmukainen, ja se oli pikemminkin sarja heuristisia korjauksia klassiseen mekaniikkaan [46] . Vanha teoria ymmärretään nykyään puoliklassisena approksimaationa [47] nykyaikaiseen kvanttimekaniikkaan [48] . Tämän ajanjakson merkittäviä tuloksia ovat edellä mainittujen Planckin, Einsteinin ja Bohrin työn lisäksi Einsteinin ja Peter Debyen työ kiinteiden aineiden ominaislämmöstä [ 49] , Bohrin ja Hendrika Johanna van Leeuwenin todiste siitä, että klassinen fysiikka ei voi selittää diamagnetismia ja laajenemista Arnold Sommerfeld Bohrin mallilla, mukaan lukien relativistiset vaikutukset [50] .

1920-luvun puolivälissä kvanttimekaniikka kehitettiin ja siitä tuli atomifysiikan vakiomuotoilu. Vuonna 1923 ranskalainen fyysikko Louis de Broglie esitti aineaaltojen teorian, jonka mukaan hiukkasilla voi olla aaltoominaisuuksia ja päinvastoin. De Broglien lähestymistapaan perustuva moderni kvanttimekaniikka syntyi vuonna 1925, kun saksalaiset fyysikot Werner Heisenberg , Max Born ja Pascual Jordan [51] [52] kehittivät matriisimekaniikan ja itävaltalainen fyysikko Erwin Schrödinger keksi aaltomekaniikan . Born esitti todennäköisyyspohjaisen tulkinnan Schrödingerin aaltofunktiosta heinäkuussa 1926 [53] . Siten syntyi kokonainen kvanttifysiikan ala, joka johti sen laajempaan tunnustukseen viidennessä Solvayn konferenssissa vuonna 1927 [54] .

Vuonna 1927 W. Heitler ja F. London laskivat vetymolekyylin spektrin ja selittivät kemiallisen sidoksen esiintymisen molekyyleissä. F. Bloch loi perustan hiukkasten liikkeelle kidehilan jaksollisessa potentiaalissa. Samana vuonna W. Pauli yleisti Schrödingerin yhtälön ottaen huomioon elektronin spinin [55] , ja seuraavana vuonna elektronille ilmestyi relativistinen yhtälö - Dirac-yhtälö , joka ennusti antihiukkasten olemassaolon [56] .

Einstein ei tunnustanut kvanttimekaniikkaa täydelliseksi teoriaksi, toisin sanoen teoriaksi, joka kuvaa täysin luontoa. Siksi vuonna 1935 ilmestyi artikkeli kietoutuvassa järjestelmässä syntyvästä paradoksista, jota nykyään kutsutaan Einstein-Podolsky-Rosen-paradoksiksi . Schrödinger tuki EPR-ideaa ja keksi Schrödingerin kissan . Nämä paradoksit herättävät kvanttimekaniikan perusteiden tutkijoiden huomion [57] .

Schrödingerin yhtälön ratkaisulla vetyatomille on analyyttinen muoto, mutta ratkaisua ei tunneta monen elektronin atomille, ja syntyy erilaisia likimääräisiä menetelmiä aaltofunktioiden laskemiseen. Esimerkiksi vuonna 1928 D. Hartree ehdotti itseyhdenmukaista kenttämenetelmää , ja vuonna 1930 V. A. Fock laajensi tätä lähestymistapaa ottamalla huomioon elektronien spinin [58] .

Vuoteen 1930 mennessä David Hilbert , Paul Dirac ja John von Neumann [59] olivat edelleen yhtenäistäneet ja formalisoineet kvanttimekaniikkaa painottaen enemmän mittausprosessin formalisointia , todellisuustietojemme tilastollista luonnetta ja filosofista päättelyä " tarkkailija" . Sittemmin se on tunkeutunut monille tieteenaloille, mukaan lukien kvanttikemia, kvanttielektroniikka , kvanttioptiikka ja kvanttiinformatiikka . Se selittää myös nykyaikaisen elementtien jaksollisen taulukon piirteet ja kuvaa atomien käyttäytymistä kemiallisen sidoksen muodostumisen aikana ja elektronivirtaa puolijohteissa , ja siksi sillä on ratkaiseva rooli monissa nykyaikaisissa teknologioissa . Vaikka kvanttimekaniikka luotiin kuvaamaan maailmaa hyvin pienissä mittakaavassa, on myös tarpeen selittää joitain makroskooppisia ilmiöitä, kuten suprajohteita [60] ja supernesteitä [61] . Ensimmäisen tyyppisen suprajohteiden teorian rakensivat D. Bardeen L. Cooper ja Schrieffer vuonna 1957 [62] [63] .

Vuonna 1954 Ch. Townsin , N. G. Basovin ja A. M. Prokhorovin työn ansiosta ensimmäiset mikroaaltogeneraattorit , ammoniakkimaserit , ilmestyivät [64] [65] . T. Maiman käytti rubiinia säteilyn vahvistamiseksi optisella alueella vuonna 1960 [66] . Vuonna 1963 Zh. Alferov loi ensimmäiset puolijohdeheterorakenteet , joiden pohjalta luodaan nykyaikaisia puolijohdelasereita [ 65] .

Vuonna 1980 Paul Benioff kuvasi ensimmäisen kvanttimekaanisen tietokoneen mallin. Tässä työssä P. Benioff osoitti, että tietokone voi toimia kvanttimekaniikan lakien mukaisesti käyttämällä Schrödingerin yhtälöä kuvaamaan Turingin koneita, mikä luo pohjan jatkotyölle kvanttilaskennan alalla [67] . Ensimmäinen kokeellinen esittely kahden kubitin kvanttitietokoneesta, joka toimii ydinmagneettisen resonanssin ilmiötä, raportoitiin vuonna 1998 [68] . Lokakuussa 2019 Google ilmoitti onnistuneensa rakentamaan 53 qubitin suprajohtavan Sycamore -kvanttiprosessorin ja osoittamaan " kvanttiylivoimaa " perinteisiin tietokoneisiin verrattuna [69] [70] [71] .

Matemaattinen muotoilu

Kvanttimekaniikan matemaattisesti tiukassa muotoilussa kvanttimekaanisen järjestelmän tila on vektori , joka on annettu kompleksisessa ( erotettavassa ) Hilbert-avaruudessa . Oletetaan, että tämä vektori on normalisoitu suhteessa Hilbert-avaruuden skalaarituloon, eli se noudattaa ehtoa , ja se on määritetty oikein kompleksilukuon asti modulo 1 (globaalivaihe), tai toisin sanoen, tilat ja edustavat samaa fyysistä järjestelmää [72] [73] . Mahdollisia tiloja ovat projektitiivisen Hilbert-avaruuden pisteet, jota yleensä kutsutaan kompleksiseksi projektioavaruudeksi . Tämän Hilbert-avaruuden tarkka luonne riippuu kyseessä olevasta järjestelmästä – esimerkiksi hiukkasen paikan ja liikemäärän kuvaamiseksi Hilbert-avaruus on monimutkaisten neliöintegroitavien funktioiden avaruus [K 2] , kun taas Hilbert -avaruus avaruus yksittäisen hiukkasen spinille on yksinkertaisesti kaksiulotteisten kompleksivektorien avaruus tavallisella skalaaritulolla [75] . $\psi$ $\mathcal H$ $\langle \psi ,\psi \rangle =1$ $\psi$ $e^{i\alpha }\psi$ $L^{2}(\mathbb {C} )$ ${\mathbb C}^{2}$

Kiinnostavia fyysisiä suureita - koordinaattia, liikemäärää, energiaa, spiniä - edustavat havaittavissa olevat suureet (tai yksinkertaisesti havainnot), jotka liittyvät Hilbert-avaruudessa toimiviin hermiittisiin (tarkemmin sanottuna itseadjointeihin ) lineaarisiin operaattoreihin . Kvanttitila voi olla ominaisvektori havaittavan operaattorille tai ominaistila , ja siihen liittyvä ominaisarvo vastaa havaittavan arvoa kyseisessä ominaistilassa [76] . Yleisemmin kvanttitila saadaan ominaistilojen lineaarisella yhdistelmällä, joka tunnetaan kvantisuperpositiona [77] . Mitattaessa havaittavaa tulos on yksi sen diskreeteistä ominaisarvoista Bornin säännön antamalla todennäköisyydellä : yksinkertaisimmassa tapauksessa ominaisarvo on ei-degeneroitunut ja todennäköisyys annetaan , jossa on sen ominaisvektori [78 ] . Yleisemmässä tapauksessa ominaisarvo on degeneroitunut ja todennäköisyys saadaan kaavalla , jossa on projektio siihen liittyvään ominaisavaruuteen [79] . Jos tarkastellaan jatkuvaa ominaisarvojen spektriä, nämä kaavat käyttävät todennäköisyystiheyden käsitettä [80] . $\lambda$ ${\displaystyle |\langle {\vec {\lambda )),\psi \rangle |^{2))$ ${\vec {\lambda ))$ $\langle \psi ,P_{\lambda }\psi \rangle$ ${\displaystyle P_{\lambda ))$

Mittauksen jälkeen, jos tulos saadaan , niin oletetaan, että kvanttitila romahtaa arvoon , ei-degeneroituneessa tapauksessa tai yleisessä tapauksessa [81] . Siten kvanttimekaniikan todennäköisyys johtuu mittausprosessista. Tämä on yksi vaikeimmista kvanttijärjestelmien fyysisistä puolista ymmärtää. Tämä aihe oli kuuluisan Bohr-Einstein-keskustelun painopiste , jossa kaksi tutkijaa yrittivät selvittää näitä perusperiaatteita ajatuskokeiden avulla . Vuosikymmeniä kvanttimekaniikan muotoilun jälkeen kysymystä siitä, mikä on "mittaus", tutkittiin laajasti. Kvanttimekaniikasta on muotoiltu nykyaikaisempia tulkintoja, jotka pääsevät eroon käsitteestä " aaltofunktion vähentäminen (lupautuminen) " (katso esimerkiksi monien maailmojen tulkinta ). Perusajatuksena on, että kun kvanttijärjestelmä on vuorovaikutuksessa mittalaitteen kanssa, niiden vastaavat aaltofunktiot sotkeutuvat niin, että alkuperäinen kvanttijärjestelmä lakkaa olemasta itsenäisenä kokonaisuutena. Katso lisätietoja kvanttimekaniikan mittaamisesta [82] . $\lambda$ ${\vec {\lambda ))$ $P_{\lambda }\psi /{\sqrt {\langle \psi ,P_{\lambda }\psi \rangle ))$

Kvanttitilan kehitystä ajassa kuvaa Schrödingerin yhtälö [83] :

i\hbar {\frac {d}{dt}}\psi (t)=H\psi (t)\,.

Tässä on järjestelmän Hamiltonin tai järjestelmän kokonaisenergiaa vastaavan havaittavan operaattori , ja se on pelkistetty Planck-vakio . Vakio otetaan käyttöön siten, että Hamiltonin pelkistyy klassiseen Hamiltoniin tapauksissa, joissa kvanttijärjestelmä on ominaisuuksiltaan lähellä vastaavaa klassista mallia; Mahdollisuutta tehdä tällainen approksimaatio tietyn rajan sisällä kutsutaan vastaavuusperiaatteeksi [84] . $H$ $\hbar$ $i\hbar$

Tämän differentiaaliyhtälön muodollinen ratkaisu saadaan lausekkeella [85]

\psi (t)=e^{-iHt/\hbar }\psi (0)\,.

Operaattori tunnetaan evoluutiooperaattorina ja sillä on tärkeä yksikköominaisuus . Tällä kertaa evoluutio on deterministinen siinä mielessä, että lähtökvanttitila huomioon ottaen tämä operaattori antaa varman ennusteen siitä, mikä kvanttitila tulee olemaan jonakin muuna myöhempänä ajankohtana [86] . ${\displaystyle U(t)=e^{-iHt/\hbar ))$ $\psi (0)$ $\psi (t)$

Jotkut aaltofunktiot kuvaavat ajasta riippumattomia todennäköisyysjakaumia, kuten Hamiltonin ominaistilat . Monet klassisessa mekaniikassa käsitellyt dynaamiset järjestelmät kuvataan sellaisilla "stationaarisilla" aaltofunktioilla. Esimerkiksi yksi elektroni virittymättömässä atomissa on klassisesti kuvattu hiukkasena, joka liikkuu ympyrämäistä polkua pitkin atomin ytimen ympäri , kun taas kvanttimekaniikassa sitä kuvaa ydintä ympäröivä stationaarinen aaltofunktio [87] . Esimerkiksi virittymättömän vetyatomin elektroniaaltofunktio on pallosymmetrinen funktio, joka tunnetaan nimellä s - orbitaali [88] .

Schrödingerin yhtälön analyyttiset ratkaisut tunnetaan hyvin harvoista suhteellisen yksinkertaisista hamiltonilaisista [89] , mukaan lukien kvanttiharmoninen oskillaattori [90] , laatikossa oleva hiukkanen [91] , molekyylivetyioni [92] ja vety. atomi [93] [94] ja muut. Jopa heliumatomi , joka sisältää vain kaksi elektronia, on uhmannut kaikki yritykset rakentaa täysin analyyttinen ratkaisu [95] .

On olemassa menetelmiä likimääräisten ratkaisujen löytämiseksi. Eräs menetelmä, jota kutsutaan häiriöteoriaksi , käyttää yksinkertaisen kvanttimekaanisen mallin analyyttistä tulosta ratkaisun rakentamiseen liittyvään mutta monimutkaisempaan malliin esimerkiksi lisäämällä siihen pieni potentiaalienergia [96] . Toinen menetelmä on nimeltään "kvasiklassinen liikeyhtälö" ja sitä sovelletaan järjestelmiin, joissa kvanttimekaniikka antaa vain pieniä poikkeamia klassisesta käyttäytymisestä. Nämä poikkeamat voidaan laskea klassisen liikkeen perusteella [97] . Tämä lähestymistapa on erityisen tärkeä kvanttikaaoksen alalla [98] .

Epävarmuusperiaate

Eräs kvanttimekaniikan formalismin seuraus on epävarmuusperiaate . Tunnetuimmassa muodossaan hän väittää, että kvanttihiukkaselle on mahdotonta ennustaa tarkasti sen sijaintia ja liikemäärää samanaikaisesti [99] [100] . Koordinaatti ja liikemäärä ovat havainnoitavissa, eli ne voidaan esittää hermiittisinä operaattoreina. Koordinaattioperaattori ja liikemääräoperaattori eivät kommutoi keskenään, vaan täyttävät kanonisen kommutointisuhteen [101] : ${\hattu {X}}$ ${\näyttötyyli {\hattu {P}}}$

[{\hat {X)),{\hat {P}}]=i\hbar \,.

Tietylle kvanttitilalle Born-sääntö sallii laskea matemaattiset odotukset ja ja niiden tehot. Asettamalla havaittavan epävarmuuden keskihajontakaavalla , voimme kirjoittaa koordinaatille $X$ $P$

\sigma _{X}={\sqrt {\langle {X}^{2}\rangle -\langle {X}\rangle ^{2))}\,,

ja samalla vauhdilla:

\sigma _{P}={\sqrt {\langle {P}^{2}\rangle -\langle {P}\rangle ^{2))}\,.

Epävarmuusperiaate sanoo, että [102]

\sigma _{X}\sigma _{P}\geq {\frac {\hbar }{2))\,.

Mikä tahansa keskihajonta voidaan periaatteessa tehdä mielivaltaisen pieneksi, mutta ei molempia arvoja samanaikaisesti [103] . Tämä epäyhtälö voidaan yleistää mielivaltaisiin itseadjoint-operaattoreiden pareihin ja . Näiden kahden operaattorin kommutaattori on määritelmän mukaan yhtä suuri $A$ $B$

[A,B]=AB-BA,

joka asettaa alarajan standardipoikkeamien tulolle:

\sigma _{A}\sigma _{B}\geq {\frac {1}{2))\left|\langle [A,B]\rangle \right|.

Kanonisesta kommutaatiosuhteesta seuraa, että koordinaatti- ja liikemääräoperaattorit ovat toistensa Fourier-muunnoksia . Objektin kuvaus liikemääräavaruudessa saadaan sen koordinaattikuvauksen Fourier-muunnoksen avulla. Se, että liikemäärän riippuvuus on koordinaattiriippuvuuden Fourier-muunnos, tarkoittaa, että liikemääräoperaattori vastaa ( kertoimeen asti) derivaatan ottamista koordinaatin suhteen, koska Fourier-analyysissä differentiaatiooperaatio vastaa kertolaskua kaksoistila . Siksi koordinaattiesityksen kvanttiyhtälöissä liikemäärä korvataan lausekkeella , ja erityisesti ei- relativistisessa Schrödingerin yhtälössä koordinaattiavaruudessa liikemäärän neliö korvataan Laplacian kertomalla [99] . $i/\hbar$ $p_{i}$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x))$ $-\hbar ^{2}$

Komposiittijärjestelmät ja sotkeutuminen

Kun tarkastellaan kahta erilaista kvanttijärjestelmää yhdessä, yhdistetyn järjestelmän Hilbert-avaruus on näiden kahden komponentin Hilbert-avaruuksien tensoritulo . Olkoon esimerkiksi A ja B kaksi kvanttijärjestelmää, joissa on Hilbert-avaruudet ja vastaavasti. Sitten komposiittijärjestelmän Hilbert-avaruus on ${\mathcal {H}}_{A}$ ${\mathcal {H}}_{B}$

{\mathcal {H}}_{AB}={\mathcal {H}}_{A}\otimes {\mathcal {H}}_{B}.

Jos ensimmäisen järjestelmän tila on vektori ja toisen järjestelmän tila on , niin yhdistetyn järjestelmän tila on $\psi _{A}$ $\psi_{B}$

\psi _{A}\otimes \psi _{B}.

Kaikkia yhteisen Hilbert-avaruuden tiloja ei voida kirjoittaa tähän muotoon, koska superpositioperiaate tarkoittaa, että myös näiden "erotettavien" tai "komposiittisten" tilojen lineaariset yhdistelmät ovat mahdollisia. Esimerkiksi jos molemmat mahdolliset järjestelmän tilat ja ja ovat järjestelmän mahdollisia tiloja , niin uusi tila ${\mathcal {H}}_{AB}$ $\psi _{A}$ $\phi _{A}$ $A$ $\psi_{B}$ $\phi _{B}$ $B$

{\tfrac {1}{\sqrt {2}}}\left(\psi _{A}\otimes \psi _{B}+\phi _{A}\otimes \phi _{B}\ oikein)

kuvaa kelvollista jaettua tilaa, jota ei voi erottaa. Tilat, jotka eivät ole erotettavissa, kutsutaan kietoutuneiksi tai kietoutuneiksi [104] [105] .

Jos yhdistelmäjärjestelmän tila on kietoutunut, ei komponenttijärjestelmää A eikä järjestelmää B voida kuvata tilavektorilla. Sen sijaan voidaan määritellä alijärjestelmän tiheysmatriiseja , jotka kuvaavat tuloksia, jotka voidaan saada suorittamalla mittauksia vain mille tahansa järjestelmän komponentille. Tämä johtaa kuitenkin väistämättä tiedon menettämiseen: yksittäisten järjestelmien tiheysmatriisien tieto ei riitä palauttamaan yhdistelmäjärjestelmän tilaa [104] [105] . Aivan kuten tiheysmatriisit määrittävät suuremman järjestelmän alijärjestelmän tilan. Vastaavasti positiiviset operaattorin arvoiset mittaukset (POVM) kuvaavat suuremmassa järjestelmässä suoritetun mittauksen vaikutusta osajärjestelmään. POVM:itä käytetään laajasti kvanttiinformaatioteoriassa [104] [106] .

Kuten edellä on kuvattu, sotkeutuminen on keskeinen ominaisuus mittausprosessimalleissa, joissa ilmaisin sotkeutuu mitattavaan järjestelmään. Järjestelmät, jotka ovat vuorovaikutuksessa ympäristön kanssa, jossa ne ovat, sotkeutuvat yleensä tähän ympäristöön, ilmiö, joka tunnetaan kvanttidekoherenssina . Se saattaa selittää, miksi kvanttivaikutuksia on vaikea havaita käytännössä makroskooppisissa järjestelmissä [107] .

Formulaatioiden vastaavuus

Kvanttimekaniikasta on monia matemaattisesti vastaavia formulaatioita. Yksi vanhimmista ja yleisimmistä on Paul Diracin ehdottama " muunnosteoria " , joka yhdistää ja yleistää kvanttimekaniikan kaksi varhaisinta muotoilua - matriisimekaniikan (keksijä Werner Heisenberg ) ja aaltomekaniikan (keksijä Erwin Schrödinger ) [108] . Vaihtoehtoisesti kvanttimekaniikka voidaan muotoilla Feynmanin polun integraalilla , jossa kvanttimekaanista amplitudia pidetään kaikkien mahdollisten klassisten ja ei-klassisten polkujen summana alku- ja lopputilojen välillä, mikä on kvanttimekaaninen analogi toimintaperiaate klassisessa mekaniikassa [109] .

Symmetriat ja luonnonsuojelulainsäädäntö

Hamiltonin tunnetaan aikaevoluutiogeneraattorina, koska se määrittelee kullekin arvolle unitaarisen ajan evoluutio -operaattorin [110] . Tästä ja välisestä suhteesta seuraa , että mikä tahansa havaittava , joka liikkuu kanssa , säilyy , koska sen odotettu arvo ei muutu ajan kuluessa [111] . Tämä väite voidaan yleistää seuraavasti: mikä tahansa hermiittinen operaattori voi generoida unitaaristen operaattorien perheen, joka parametroidaan muuttujalla [111] . Evoluutiolla, jonka generoi , tarkoitamme tässä, että kaikki havaittava , joka liikkuu kanssa , säilyy. Lisäksi, jos se säilyy :n luoman evoluution aikana , se säilyy :n luoman evoluution aikana . Tämä tarkoittaa kvanttiversiota tuloksesta, jonka Emmy Noether on todistanut klassisessa ( Lagrangian ) mekaniikassa: jokaiselle jatkuvalle symmetriamuunnokselle , joka jättää toiminnan invariantiksi, on vastaava säilymislaki [112] . $H$ ${\displaystyle U(t)=e^{-iHt/\hbar ))$ $t$ $U(t)$ $H$ $A$ $H$ $A$ $t$ $A$ $B$ $A$ $B$ $A$ $A$ $B$

Esimerkkejä

Vapaa hiukkanen

Yksinkertaisin esimerkki kvanttijärjestelmästä, jolla on koordinaattinen vapausaste, on vapaa hiukkanen yhdessä avaruudellisessa ulottuvuudessa [113] . Vapaa hiukkanen on hiukkanen, joka ei ole alttiina ulkoisille vaikutuksille, joten sen Hamiltonin muodostuu vain sen liike-energiasta, ja Schrödingerin yhtälö saa muodon [114] :

{\frac {\hbar }{i}}{\frac {\partial \psi }{\partial t}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac { \partial ^{2}\psi }{\partial x^{2}}}\,,

missä on imaginaariyksikkö, on pelkistetty Planckin vakio, on hiukkasen massa. Tämä yhtälö sallii muuttujien erottelun, ja Schrödingerin yhtälön yleinen ratkaisu saadaan minkä tahansa konvergentin integraalin muodossa olevalla lausekkeella, joka kuvaa yleisen muodon tasoaaltojen aaltopakettia [115] . $i$ $\hbar$ $m$

\psi (x,t)=\int _{-\infty }^{+\infty }C(k)e^{i(kx-\omega t)}dk\,,

missä on taajuus, on aaltoluku ja ehto, että integraali on äärellinen: at . Erityisessä Gaussin paketin tapauksessa aaltofunktio hiukkaselle, jolla on aaltoluku ajanhetkellä, esitetään muodossa [116] $\omega$ $k$ ${\displaystyle \lim _{|k|\rightarrow \infty }C(k)\approx |k|^{-\alpha ))$ $\alpha \geq 1$ $k_{0}$ $t = 0$

\psi (x,0)=A\exp \left(-{\frac {x^{2}}{2a^{2}}}+ik_{0}x\right)\,,

missä on aaltopaketin koko ja normalisointikerroin. Tällaiselle hiukkaselle nopeus saadaan lausekkeella Tätä lauseketta voidaan laajentaa tasoaaltojen suhteen löytääkseen kertoimen, joka ilmaistaan eksplisiittisesti $a$ $A$ $v_{0}=\hbar k_{0}/m\,.$ $C(k)\,,$

C(k)(k)={\frac {Aa}{\sqrt {2\pi }}}\exp \left[-{\frac {1}{2}}(k-k_{0} )\right]\,.

Aaltofunktion käyttäytymisen löytämiseksi milloin tahansa riittää integrointi. Tiheys saadaan aaltofunktion moduulin neliönä. Se on tasavertainen milloin tahansa

\rho (x,t)=|\psi (x,t)|^{2}={\frac {|A|^{2}}{\sqrt {1+\left({\frac { \hbar t}{ma^{2}}}\oikea)^{2}}}}\exp \left[-{\frac {\left(x-{\frac {\hbar k_{0}}{m }}t\right)}{a^{2}\left[1+\left({\frac {\hbar t}{ma^{2}}}\right)^{2}\right]}}\ oikea]\,.

Gaussin aaltopaketin keskipiste liikkuu avaruudessa vakionopeudella , kuten klassinen hiukkanen, johon ei vaikuta mikään voima. Ajan myötä aaltopaketti kuitenkin leviää myös määrän , eli sijainti muuttuu yhä epävarmemmaksi, kuten animaatiossa [117] näkyy . $\hbar k_{0}/m$ $\hbar t/ma$

Partikkeli laatikossa

Yksiulotteisessa potentiaalissa oleva hiukkanen, jolla on äärettömät seinämät, on matemaattisesti yksinkertaisin esimerkki, jossa rajoitukset johtavat energiatasojen kvantisointiin. Laatikon määritellään olevan nolla potentiaalienergiaa kaikkialla tietyllä alueella ja siten ääretön potentiaalienergia kaikkialla alueen ulkopuolella [99] :77-78 . Yksiulotteiselle tapaukselle suunnassa ajasta riippumaton Schrödingerin yhtälö voidaan kirjoittaa seuraavasti $x$

-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}\psi }{dx^{2}}}=E\psi \,.

Differentiaalioperaattorilla, joka on määritelty nimellä

{\hat {p}}_{x}=-i\hbar {\frac {d}{dx}}

edellinen yhtälö muistuttaa kineettisen energian klassista analogia ,

{\frac {1}{2m}}{\hat {p}}_{x}^{2}=E\,,

tilan kanssa tässä tapauksessa energia osuu yhteen hiukkasen kineettisen energian kanssa. $\psi$ $E$

Schrödinger-yhtälön yleiset ratkaisut laatikossa olevalle hiukkaselle ovat [118] :

\psi (x)=Ae^{ikx}+Be^{-ikx}\qquad \qquad E={\frac {\hbar ^{2}k^{2}}{2m}}

tai Eulerin kaavan mukaan

\psi (x)=C\sin(kx)+D\cos(kx)\,.

Laatikon äärettömät potentiaaliseinät määräävät epävarmojen kertoimien arvot ja in ja , joissa on oltava nolla. Siten klo , $C,D,$ $k$ $x=0$ $x=L$ $\psi$ $x=0$

\psi (0)=0=C\sin(0)+D\cos(0)=D

ja . B , $D = 0$ $x=L$

\psi (L)=0=C\sin(kL)\,,

jossa se ei voi olla yhtä suuri kuin nolla, koska tämä olisi ristiriidassa sen väitteen kanssa, että sen normi on yhtä suuri kuin 1. Siksi, koska , on oltava kokonaislukukerrannainen , eli $C$ $\psi$ $\sin(kL)=0$ $kL$ $\pi$

k_{n}={\frac {n\pi }{L))\qquad \qquad n=1,2,3,\ldots \,.

Tämä rajoitus merkitsee energiatasojen rajoitusta, mikä antaa [119] $k$

E_{n}={\frac {\hbar ^{2}\pi ^{2}n^{2}}{2mL^{2}}}={\frac {n^{2}h^ {2}}{8 ml^{2}}}\,.

Suorakaiteen muotoinen kvanttikuivo on yleistys äärettömän potentiaalikaivon ongelmasta potentiaalisiin syvyyksiin. Äärillisen potentiaalikaivon ongelma on matemaattisesti vaikeampi kuin laatikossa olevan hiukkasen ongelma, koska aaltofunktio ei ole sidottu nollaan kaivon seinillä. Sen sijaan aaltofunktion on täytettävä monimutkaisemmat reunaehdot, koska se on nollasta poikkeava kaivon ulkopuolisilla alueilla [120] . Toinen asiaan liittyvä ongelma liittyy suorakulmaiseen potentiaaliesteeseen , joka on malli kvanttitunnelointiefektistä [121] , jolla on tärkeä rooli nykyaikaisten teknologioiden, kuten flash-muistin [122] ja pyyhkäisytunnelimikroskoopin [123], toiminnassa .

Harmoninen oskillaattori

Kvanttiharmonisen oskillaattorin potentiaali, kuten klassisessa tapauksessa, määräytyy lausekkeella [90]

V(x)={\frac {1}{2}}m\omega ^{2}x^{2}\,.

Tämä ongelma voidaan ratkaista joko ratkaisemalla suoraan Schrödingerin yhtälö, joka ei ole triviaali ongelma [124] , tai käyttämällä Paul Diracin [125] alun perin ehdottamaa elegantimpaa "tikkaavaa menetelmää" . Kvanttiharmonisen oskillaattorin ominaistilat on annettu [126]

\psi _{n}(x)={\sqrt {\frac {1}{2^{n}\,n!}}}\left({\frac {\lambda }{\pi }} \right)^{1/4}e^{-{\frac {\lambda x^{2}}{2}}}H_{n}\left({\sqrt {\lambda }}x\right)\ ,,

missä ja H n ovat Hermite-polynomeja [127] $\lambda =m\omega /\hbar$ $n=0,1,2,\ldots \,,$

H_{n}(x)=(-1)^{n}e^{x^{2}}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}\left(e ^{-x^{2}}\oikea),

ja vastaavat energiatasot ovat erillisiä

E_{n}=\hbar \omega \left(n+{1 \over 2}\right)\,.

Tämä on toinen esimerkki, joka havainnollistaa sidottujen tilojen energian diskretisointia [128] .

Mach-Zehnder interferometri

Mach-Zehnder Interferometer (MZI) havainnollistaa superposition ja interferenssin käsitteitä lineaarisen algebran kanssa 2-ulotteisessa diskreetissä avaruudessa ilman differentiaaliyhtälöiden käyttöä. Sitä voidaan pitää yksinkertaistettuna versiona kaksoisrakokokeesta, vaikka se on sinänsä kiinnostava, esimerkiksi viivästetyn valinnan kvanttipyyhkimien kokeessa, Elitzur-Weidmanin pommikokeessa ja kvanttiketuutumistutkimuksissa [129] . [130] .

Jos ajatellaan fotonia, joka kulkee interferometrin läpi, niin se voi kussakin pisteessä olla vain kahden polun superpositiossa: "alempi" polku, joka alkaa vasemmalta, kulkee suoraan molempien säteenjakajien läpi ja päättyy yläosaan, ja "ylempi" polku, joka alkaa alhaalta, kulkee suoraan molempien säteenjakajien läpi ja päättyy oikealle. Siten fotonin kvanttitila on vektori - se on "alemman" polun ja "ylemmän" polun superpositio tai monimutkaisille kertoimille . Postulaatti edellyttää, että [131] [132] . ${\displaystyle \psi \in \mathbb {C} ^{2))$ $\psi _{l}={\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}$ $\psi _{u}={\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}$ ${\displaystyle \psi =\alpha \psi _{l}+\beta \psi _{u))$ $\alpha ,\beta$ $\langle \psi ,\psi \rangle =1$ $|\alpha |^{2}+|\beta |^{2}=1$

Alempi ja ylempi säteenjakaja on annettu matriiseilla ja , mikä tarkoittaa, että kun fotoni kohtaa säteenjakajan, se joko pysyy samalla polulla todennäköisyysamplitudilla tai heijastuu toiselle polulle todennäköisyysamplitudilla (vaihesiirrolla π:stä). Peilin antaa matriisi . Varren vaiheensiirrin on mallinnettu unitaarisella matriisilla , mikä tarkoittaa, että jos fotoni on "ylös" polulla, se saa suhteellisen vaiheen tai pysyy muuttumattomana, jos se on pohjapolku [133] [134] . $B_{l}={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}-1&1\\1&1\end{pmatrix}}$ $B_{u}={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}1&-1\\1&1\end{pmatrix}}$ $1/\sqrt{2}$ $1/\sqrt{2}$ $M={\begin{pmatrix}-1&0\\0&-1\end{pmatrix}}\,.$ $P={\begin{pmatrix}e^{i\Delta \Phi }&0\\0&1\end{pmatrix}}$ $\Delta \Phi$

Fotoni, joka tulee interferometriin vasemmalta ja altistuu sitten säteenjakajalle , peilille, vaiheensiirtimelle ja toiselle säteenjakajalle , on tilassa ${\näyttötyyli B_{l))$ $P$ $B_{u}$

B_{u}PMB_{l}\psi _{l}={\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}e^{i\Delta \Phi }+1\\e^{ i\Delta \Phi }-1\end{pmatrix}}\,,

ja todennäköisyys, että se löytyy oikealta tai ylhäältä, on vastaavasti yhtä suuri

p(u)=|\langle \psi _{u},B_{u}PMB_{l}\psi _{l}\rangle |^{2}=\cos ^{2}{\frac { \Delta \Phi }{2}}\,,

p(l)=|\langle \psi _{l},B_{u}PMB_{l}\psi _{l}\rangle |^{2}=\sin ^{2}{\frac { \Delta \Phi }{2}}\,.

Siksi on mahdollista käyttää Mach-Zehnder-interferometriä vaihesiirtymän arvioimiseen laskemalla nämä todennäköisyydet [134] .

Voidaan myös määrittää, mitä tapahtuisi, jos fotoni olisi ehdottomasti joko "alemmalla" tai "ylemmällä" polulla säteenjakajien välillä. Tämä voidaan saavuttaa estämällä yksi poluista tai vastaavasti poistamalla ensimmäinen säteenjakaja (ja laukaisemalla fotoni vasemmalta tai alhaalta haluttaessa). Molemmissa tapauksissa polkujen välillä ei ole enää häiriöitä, ja todennäköisyydet annetaan vaiheesta riippumatta . Tästä voidaan päätellä, että fotoni ei valitse polkua ensimmäisen säteenjakajan jälkeen, vaan on pikemminkin kahden polun todellisessa kvanttisuperpositiossa [135] . $p(u)=p(l)=1/2$ $\Delta \Phi$

Sovellukset

Kvanttimekaniikka on ottanut valtavia harppauksia selittäessään monia maailmamme piirteitä pienimuotoisten fysikaalisten ilmiöiden, diskreettien suureiden ja vuorovaikutusten muodossa, joita ei voida selittää klassisilla menetelmillä [136] . Kvanttimekaniikka on usein ainoa teoria, joka voi paljastaa subatomisten hiukkasten yksilöllisen käyttäytymisen, jotka muodostavat kaiken aineen ( elektronit , protonit , neutronit , fotonit ja muut). Kiinteän olomuodon fysiikan ja materiaalitieteen lait selitetään kvanttimekaniikassa [137] .

Nykyinen tekniikka toimii monella tapaa mittakaavassa, jossa kvanttivaikutukset ovat merkittäviä. Kvanttiteorian tärkeitä sovelluksia ovat kvanttikemia , kvanttioptiikka , kvanttilaskenta , suprajohtavat magneetit , valodiodit , optiset vahvistimet ja laserit , transistorit ja puolijohteet , mikroprosessorit , lääketieteellinen ja tutkimuskuvaus , kuten sähkömagneettinen resonanssi [3] . Monien biologisten ja fysikaalisten ilmiöiden selitykset juontavat juurensa kemiallisen sidoksen luonteeseen, pääasiassa DNA -makromolekyyleihin [139] .

Itse asiassa kaikki nykyaikainen puolijohdeelektroniikka perustuu kvanttimekaniikkaan, koska se perustuu tietoon kiinteiden aineiden kaistarakenteesta . Tekniikka mahdollistaa piikerrosten seostuksen eri elementeillä ja nanometrin mittakaavan transistorien luomisen. Monet näistä elementeistä ovat tietokonesiruja, jotka käyttävät kaikkia teknisiä laitteita: pöytätietokoneita, kannettavia tietokoneita, tabletteja, älypuhelimia, kodinkoneita ja lasten leluja. Valonlähteet, joita käytetään lähettämään viestejä valokuitukaapeleiden kautta maailmanlaajuisessa verkossa , ovat lasereita, jotka on luotu materiaalien kvanttiominaisuuksien tuntemalla. Älypuhelimen navigoinnin tarjoaa Global Positioning System , joka toimii tietäen tarkan ajan. Puhelimesi GPS - vastaanotin määrittää etäisyytesi jokaisesta kiertoradalla olevista atomikellosatelliiteista vastaanottaa niiltä signaalin, joka laskee sijaintisi yhden pisteen useiden metrien tarkkuudella. Atomikelloissa käytetty optinen siirtymä on hyperhieno siirtymä. Potilaan pehmytkudosten tutkimus magneettikuvauksen avulla perustuu ydinmagneettiseen resonanssiin [140] .

Suhde muihin tieteellisiin teorioihin

Klassinen mekaniikka

Kvanttimekaniikan postulaatit väittävät, että kvanttimekaniikan tilaavaruus on Hilbert-avaruus ja että järjestelmän havainnot vastaavat tässä avaruudessa vektoreihin vaikuttavia hermiittisiä operaattoreita - vaikka ne eivät määrittele Hilbert-avaruutta ja operaattoreita. Ne on valittava asianmukaisesti kvantitatiivisen kuvauksen saamiseksi kvanttijärjestelmästä, mikä on välttämätön askel fyysisten järjestelmien käyttäytymisen ennustamisessa. Tätä varten he käyttävät vastaavuusperiaatetta , heuristiikkaa, joka sanoo, että kvanttimekaniikan ennusteet pelkistyvät klassisen mekaniikan ennusteisiin suurten kvanttilukujen rajalla [141] . Voidaan myös aloittaa tietyn järjestelmän vakiintuneesta klassisesta mallista ja yrittää sitten arvata taustalla oleva kvanttimalli, joka pelkistyy klassiseen malliin sovitusrajassa [142] . Tämä lähestymistapa tunnetaan kvantisoinnina [143] .

Kun kvanttimekaniikka alun perin muotoiltiin, sitä sovellettiin malleihin, joiden sovitusraja oli ei-relativistinen klassinen mekaniikka . Esimerkiksi laajalti tutkittu kvanttiharmonisen oskillaattorin malli käyttää eksplisiittisesti ei-relativistista ilmaisua oskillaattorin kineettiselle energialle ja on siten kvanttiversio klassisesta harmonisesta oskillaattorista [124] .

Kvantisoinnin monimutkaisuutta syntyy kaoottisissa järjestelmissä , joilla ei ole hyviä kvanttilukuja, ja kvanttikaaos tutkii klassisten ja kvanttikuvausten välistä suhdetta näissä järjestelmissä [144] .

Kvanttidekoherenssi on mekanismi, jolla kvanttijärjestelmät menettävät koherenssinsa eivätkä siten pysty osoittamaan monia tyypillisesti kvanttivaikutuksia: kvantti-superpositio muuttuu vain todennäköisyyksien summaksi ja kvanttiketuutumisesta vain klassisia korrelaatioita. Kvanttikoherenssi ei yleensä ilmene makroskooppisessa mittakaavassa, paitsi absoluuttista nollaa lähestyvissä lämpötiloissa , joissa kvanttikäyttäytyminen voi ilmetä makroskooppisesti [K 3] [145] .

Monet klassisen järjestelmän makroskooppiset ominaisuudet ovat suora seuraus sen osien kvanttikäyttäytymisestä. Esimerkiksi massamateriaalin (joka koostuu atomeista ja molekyyleistä , jotka romahtaisivat nopeasti pelkän sähkövoimien vaikutuksesta) stabiilius, kiinteiden aineiden jäykkyys sekä aineen mekaaniset, termiset, kemialliset, optiset ja magneettiset ominaisuudet ovat kaikki. tulos sähkövarausten vuorovaikutuksesta kvanttimekaniikan lakien mukaisesti [146] .

Erikoissuhteellisuusteoria ja sähködynamiikka

Varhaiset yritykset yhdistää kvanttimekaniikka erityiseen suhteellisuusteoriaan sisälsivät Schrödingerin yhtälön korvaamisen kovarianttiyhtälöllä, kuten Klein-Gordon- yhtälöllä tai Diracin yhtälöllä . Vaikka nämä teoriat onnistuivat selittämään monia kokeellisia tuloksia, niillä oli joitain epätyydyttäviä ominaisuuksia, jotka johtuivat hiukkasten luomisen ja tuhoamisen laiminlyönnistä. Täysin relativistinen kvanttiteoria edellytti kvanttikenttäteorian kehittämistä , joka käyttää kentän kvantisointia kiinteän hiukkasjoukon sijaan. Ensimmäinen johdonmukainen kvanttikenttäteoria, kvanttielektrodynamiikka , tarjoaa täydellisen kuvauksen sähkömagneettisesta vuorovaikutuksesta . Kvanttielektrodynamiikka on yleisen suhteellisuusteorian ohella yksi tarkimmista koskaan luoduista fysikaalisista teorioista [147] [148] .

Kvanttikenttäteorian täyttä laitteistoa ei usein tarvita sähködynaamisten järjestelmien kuvaamiseen. Yksinkertaisempi lähestymistapa, jota on käytetty kvanttimekaniikan alusta lähtien, on pitää varautuneita hiukkasia kvanttimekaniikan kohteina, joihin klassinen sähkömagneettinen kenttä vaikuttaa [149] . Esimerkiksi vetyatomin alkeiskvanttimalli kuvaa vetyatomin sähkökenttää käyttämällä klassista Coulombin potentiaalia [93] [94] . Tämä "puoliklassinen" lähestymistapa epäonnistuu, jos sähkömagneettisen kentän kvanttivaihteluilla on tärkeä rooli, esimerkiksi kun varautuneet hiukkaset lähettävät fotoneja [150] . $\textstyle -e^{2}/(4\pi \epsilon _{_{0}}r)$

Kvanttikenttäteorioita on kehitetty myös vahvalle ydinvoimalle ja heikolle ydinvoimalle . Vahvan ydinvoiman kvanttikenttäteoriaa kutsutaan kvanttikromodynamiikaksi ja se kuvaa ydinainehiukkasten, kuten kvarkkien ja gluonien , vuorovaikutusta . Fyysikot Abdus Salam , Sheldon Glashow ja Steven Weinberg yhdistivät heikon ydinvoiman ja sähkömagneettisen voiman kvantisoiduissa muodoissaan yhtenäiseksi kvanttikenttäteoriaksi (tunnetaan sähköheikon teoriana ) [151] .

Suhde yleiseen suhteellisuusteoriaan

Vaikka sekä kvanttiteorian että yleisen suhteellisuusteorian ennusteet ovat vahvistaneet tiukat ja toistuvat empiiriset todisteet , niiden abstraktit formalismit ovat ristiriidassa toistensa kanssa, ja sen seurauksena niitä on osoittautunut erittäin vaikeaksi sisällyttää yhteen johdonmukaiseen koherentiin malliin [152] . Gravitaatio voidaan jättää huomiotta monilla hiukkasfysiikan alueilla, joten yleisen suhteellisuusteorian ja kvanttimekaniikan yhdistäminen ei ole kiireellinen kysymys näissä erityisissä sovelluksissa. Oikean kvanttigravitaation teorian puute on kuitenkin tärkeä ongelma fysikaalisessa kosmologiassa ja fyysikkojen etsiessä eleganttia " kaiken teoriaa ". Näin ollen molempien teorioiden välisten epäjohdonmukaisuuksien poistamisesta on tullut fysiikan päätavoite 1900- ja 2000-luvuilla. Tämä kaiken teoria ei ainoastaan yhdistä subatomisen fysiikan malleja, vaan myös johdattaa luonnon neljä perusvoimaa yhdestä voimasta tai ilmiöstä [153] .

Yksi ehdotus tälle on merkkijonoteoria , jonka mukaan hiukkasfysiikassa pistehiukkaset korvataan yksiulotteisilla objekteilla , joita kutsutaan merkkijonoiksi . Kieleteoria kuvaa, kuinka nämä merkkijonot etenevät avaruudessa ja ovat vuorovaikutuksessa toistensa kanssa. Merkkijonon asteikon ylittävillä etäisyysasteikoilla merkkijono näyttää tavalliselta hiukkaselta ja sen massa , varaus ja muut ominaisuudet määräytyvät nauhan värähtelytilan mukaan. Kieleteoriassa yksi merkkijonon monista värähtelytiloista vastaa gravitonia , kvanttimekaanista hiukkasta, joka kuljettaa gravitaatiovuorovaikutusta [154] [155] .

Toinen suosittu teoria on silmukkakvanttigravitaatio , joka kuvaa painovoiman kvanttiominaisuuksia ja on siten kvanttiavaruusajan teoria . Painovoiman silmukkateoria on yritys yhdistää ja mukauttaa standardi kvanttimekaniikka ja standardi yleinen suhteellisuusteoria. Tämä teoria kuvaa avaruutta erittäin ohuena kankaana, joka on "kudottu" äärellisistä silmukoista, joita kutsutaan spin-verkkoiksi . Spin-verkoston kehittymistä ajan myötä kutsutaan spin-vaahdoksi . Spin-vaahdon ominaispituusasteikko on Planckin pituus , joka on suunnilleen 1,616 × 10 −35 m, joten Planckin pituutta lyhyemmillä pituuksilla ei ole fyysistä merkitystä painovoiman silmukkateoriassa [156] .

Filosofiset vaikutukset

Sen alusta lähtien monet kvanttimekaniikan tulokset ja epäloogiset näkökohdat ovat synnyttäneet voimakasta filosofista keskustelua ja monia tulkintoja . Keskusteluissa käsitellään kvanttimekaniikan todennäköisyyttä, aaltofunktion romahtamisen vaikeuksia ja siihen liittyvää mittausongelmaa sekä kvanttiepälokaliteettia . Ehkä ainoa näistä asioista vallitseva yksimielisyys on se, että yksimielisyyttä ei ole. Richard Feynman sanoi kerran: "Luulen, että voin turvallisesti sanoa, että kukaan ei ymmärrä kvanttimekaniikkaa" [157] . Steven Weinbergin sanoin : "Mielestäni kvanttimekaniikasta ei ole tällä hetkellä täysin tyydyttävää tulkintaa" [158] .

Niels Bohrin , Werner Heisenbergin ja muiden fyysikkojen näkemykset kvanttimekaniikasta yhdistetään usein " Kööpenhaminan tulkintaan " [159] [160] . Näiden näkemysten mukaan kvanttimekaniikan todennäköisyys ei ole väliaikainen ominaisuus, joka korvataan tulevaisuudessa deterministisellä teorialla, vaan klassisen "syy-seuraussuhteen" idean lopullinen hylkääminen. Bohr korosti erityisesti, että kvanttimekaanisen formalismin tarkkaan määritellyn sovelluksen tulee aina viitata kokeelliseen asetelmaan, koska eri koetilanteissa saadut tulokset täydentävät toisiaan . Kööpenhamina-tyypin tulkinnat ovat edelleen suosittuja 2000-luvulla [161] .

Albert Einstein , yksi kvanttiteorian perustajista , oli huolissaan hänen ilmeisestä epäonnistumisestaan noudattaa joitain vaalittuja metafyysisiä periaatteita, kuten determinismi ja paikallisuus . Einsteinin ja Bohrin välinen pitkäaikainen keskustelu kvanttimekaniikan merkityksestä ja asemasta tunnetaan nykyään Bohr-Einstein-keskusteluna . Einstein uskoi, että kvanttimekaniikan täytyy perustua teoriaan, joka nimenomaisesti kieltää toiminnan etäältä . Hän väitti, että kvanttimekaniikka oli epätäydellinen; teoria oli oikea, mutta ei perustavanlaatuinen, samalla tavalla kuin termodynamiikka on oikea , mutta sen taustalla oleva perusteoria on tilastollinen mekaniikka . Vuonna 1935 Einstein ja hänen työtoverinsa Boris Podolsky ja Nathan Rosen julkaisivat väitteen, jonka mukaan paikallisuusperiaate merkitsi kvanttimekaniikan epätäydellisyyttä. Heidän ajatuskokeensa kutsuttiin myöhemmin Einstein-Podolsky-Rosenin (EPR) paradoksiksi [166] . Vuonna 1964 John Bell osoitti, että EPR-paikkaperiaate yhdessä determinismin kanssa on itse asiassa yhteensopimaton kvanttimekaniikan kanssa: ne merkitsevät rajoituksia etäisyyksillä olevien järjestelmien tuottamille korrelaatioille, joita nykyään kutsutaan Bellin epäyhtälöiksi ja joita kietoutuvat hiukkaset voivat rikkoa. 167] . Sen jälkeen on tehty useita kokeita , jotka ovat mitanneet näitä korrelaatioita osoittaen, että Bellin epätasa-arvo todellakin hajoaa ja siten vääristää paikallisuuden ja determinismin välisen yhteyden [24] [25] .

Bohmilainen mekaniikka osoittaa, että kvanttimekaniikka on mahdollista muotoilla uudelleen deterministiseksi eksplisiittisen epäpaikallisuuden kustannuksella. Se ei anna fysikaaliselle järjestelmälle vain aaltofunktiota, vaan myös todellista sijaintia, joka kehittyy deterministisesti ei-paikallisen pääyhtälön alla. Fysikaalisen järjestelmän kehitys kaikkina aikoina saadaan Schrödingerin yhtälöstä yhdessä johtavan yhtälön kanssa; aaltofunktio ei koskaan romahda. Tämä lähestymistapa ratkaisee mittausongelman [168] .

Vuonna 1956 muotoiltu Everett's Many-Worlds Interpretation sanoo, että kaikki kvanttiteorian kuvaamat mahdollisuudet esiintyvät samanaikaisesti multiversumissa, joka koostuu pääasiassa itsenäisistä rinnakkaisista universumeista. Tämä eliminoi aaltopakettien romahtamisen ongelman, koska mitattavan järjestelmän ja mittauslaitteen kaikki mahdolliset tilat yhdessä havainnointilaitteen kanssa ovat läsnä todellisessa fysikaalisessa kvanttisuperpositiossa . Vaikka multiversumi on deterministinen, havaitsemme todennäköisyyksien ohjaamaa ei-determinististä käyttäytymistä, koska emme havainnoi multiversumia kokonaisuutena, vaan vain yhtä rinnakkaista universumia kulloinkin. Kuinka tämän tarkalleen pitäisi toimia, on keskusteltu paljon. Useita yrityksiä on yritetty johtaa Bornin sääntö [169] [170] ilman yksimielisyyttä siitä, onnistuivatko ne [171] [172] [173] .

Relaatiokvanttimekaniikka syntyi 1990-luvun lopulla Kööpenhaminan-tyyppisten ideoiden nykyaikaisena johdannaisena [174] , ja muutamaa vuotta myöhemmin kehitettiin kvanttibayesilaisuuden teoria [175] .

Muistiinpanot

Kommentit

↑ Katso esimerkiksi QED Accuracy Test Experiments . On osoitettu, että kvanttimekaniikan jatkokehitys, kun otetaan huomioon suhteellisuusteoria, joka tunnetaan nimellä kvanttielektrodynamiikka (QED), on yhdenmukainen kokeilun kanssa 1:108:n rajoissa joidenkin atomiominaisuuksien osalta [6] [7]
↑ Näiden funktioiden luokka on hyvin laaja, mutta fyysisesti huomioiminen on mahdollista rajoittaa vain funktioihin, jotka on määritelty kaikkialla, jatkuvia ja äärettömästi differentioituvia [74]
↑ Katso Makroskooppiset kvanttiilmiöt , Bose-Einsteinin kondensaatti ja kvanttikone

Lähteet

↑ Syntynyt, M. (1926). "Zur Quantenmechanik der Stoßvorgänge". Zeitschrift fur Physik . 37 (12): 863-867. Bibcode : 1926ZPhy...37..863B . DOI : 10.1007/BF01397477 .
↑ Jaeger, Gregg (syyskuu 2014). "Mikä (kvantti)maailmassa on makroskooppista?". American Journal of Physics . 82 (9): 896-905. Bibcode : 2014AmJPh..82..896J . DOI : 10.1119/1.4878358 .
↑ 1 2 3 Feynman, Richard. Feynmanin luennot fysiikasta / Richard Feynman, Robert Leighton, Matthew Sands. - California Institute of Technology, 1964. - Voi. 3. - ISBN 978-0201500646 .
↑ Yaakov Y. Fein (syyskuu 2019). "25 kDa:n ylittävien molekyylien kvantti superpositio". Luonnon fysiikka . 15 (12): 1242-1245. Bibcode : 2019NatPh..15.1242F . DOI : 10.1038/s41567-019-0663-9 .
↑ Bojowald, Martin (2015). "Kvanttikosmologia: katsaus". Raportteja fysiikan edistymisestä . 78 (2). arXiv : 1501.04899 . Bibcode : 2015RPPh...78b3901B . DOI : 10.1088/0034-4885/78/2/023901 . PMID 25582917 .
↑ B. Odom, D. Hanneke, B. D'Urso ja G. Gabrielse. Elektronin magneettisen momentin uusi mittaus yhden elektronin kvanttisyklotronilla // Phys. Rev. Lett.. - 2006. - T. 97 . - S. 030801 . - doi : 10.1103/PhysRevLett.97.030801 .
↑ D. Hanneke, S. Fogwell ja G. Gabrielse. Elektronin magneettisen momentin ja hienorakenteen vakion uusi mittaus // Phys. Rev. Lett.. - 2008. - T. 100 . - S. 120801 . - doi : 10.1103/PhysRevLett.100.120801 . - arXiv : 0801.1134 .
↑ Ivanov, 2012 , s. 9.
↑ Cohen-Tannuji, Diu ja Laloe, 2000 , s. 113.
↑ Auletta, 2000 , s. 28.
↑ Martinson, L.K.; Smirnov, E. V. 3.1. aaltofunktio . MSTU im. N. E. Bauman (2002). Haettu 23. helmikuuta 2022. Arkistoitu alkuperäisestä 22. tammikuuta 2021. (Venäjän kieli)
↑ Syntynyt, Max. Zur Quantenmechanik der Stoßvorgänge. - Princeton University Press, 1926. - Voi. 37. - s. 863-867. - ISBN 978-0-691-08316-2 . - doi : 10.1007/BF01397477 .
↑ 1 2 Ivanov, 2012 , s. 32.
↑ Martinson, L.K.; Smirnov, E. V. 3.2. Schrödingerin yhtälö . MSTU im. N. E. Bauman (2002). Haettu 23. helmikuuta 2022. Arkistoitu alkuperäisestä 13. elokuuta 2020. (Venäjän kieli)
↑ Martinson, L.K.; Smirnov, E. V. 2.3. Epävarmuus suhteet . MSTU im. N. E. Bauman (2002). Haettu 23. helmikuuta 2022. Arkistoitu alkuperäisestä 7. elokuuta 2020. (Venäjän kieli)
↑ 1 2 3 Lederman, Leon M. Quantum Physics for Poets / Leon M. Lederman, Christopher T. Hill. - Yhdysvallat: Prometheus Books, 2011. - ISBN 978-1616142810 . Arkistoitu 3. tammikuuta 2022 Wayback Machinessa
↑ Müller-Kirsten, HJW Johdatus kvanttimekaniikkaan: Schrödingerin yhtälö ja polkuintegraali . - Yhdysvallat: World Scientific, 2006. - ISBN 978-981-2566911 . Arkistoitu 19. helmikuuta 2022 Wayback Machinessa
↑ Plotnitski, Arkady. Niels Bohr ja Täydentävyys: Johdanto . — Yhdysvallat: Springer, 2012. — ISBN 978-1461445173 . Arkistoitu 18. tammikuuta 2022 Wayback Machinessa
↑ 1 2 Auletta, 2000 , s. 25.
↑ Griffiths, David J. Johdatus kvanttimekaniikkaan. - Prentice Hall, 1995. - ISBN 0-13-124405-1 .
↑ Trixler, F. (2013). "Kvanttitunnelointi elämän alkuperään ja evoluutioon". Nykyinen orgaaninen kemia . 17 : 1758-1770. DOI : 10.2174/13852728113179990083 . PMID 24039543 .
↑ Bub, Jeffrey. Kvanttikietoutuminen // Stanford Encyclopedia of Philosophy. - Metaphysics Research Lab, Stanfordin yliopisto, 2019.
↑ 1 2 Caves, Carlton M. Quantum Information Science: Emerging No More // OSA Century of Optics. - Optinen yhdistys , 2015. - ISBN 978-1-943580-04-0 .
↑ 1 2 Wiseman, Howard (lokakuu 2015). "Kokeilukuolema paikalliselle realismille". luonto __ _ ]. 526 (7575): 649-650. DOI : 10.1038/luonto15631 . ISSN 0028-0836 . PMID26503054 . _
↑ 1 2 Wolchover, Natalie -koe vahvistaa kvanttiouduuden ? . Quanta Magazine (7. helmikuuta 2017). Haettu 8. helmikuuta 2020. Arkistoitu alkuperäisestä 22. toukokuuta 2017. (määrätön)
↑ Baez, John C. Kuinka oppia matematiikkaa ja fysiikkaa . Kalifornian yliopisto, Riverside (20. maaliskuuta 2020). Haettu 19. joulukuuta 2020. Arkistoitu alkuperäisestä 27. tammikuuta 2022. (määrätön)
↑ Sagan, Carl. Demonien kummittelema maailma: Tiede kuin kynttilä pimeässä. - Ballantine Books, 1996. - S. 249 . — ISBN 0-345-40946-9 .
↑ Jammer, 1985 , s. 13.
↑ Syntynyt, Max. Optiikan periaatteet / Max Born, Emil Wolf . - Cambridge University Press, 1999. - ISBN 0-521-64222-1 .
↑ Scheider, Walter (huhtikuu 1986). "Tuo yksi tieteen hienoista hetkistä luokkahuoneeseen" . Fysiikan opettaja _ ]. 24 (4): 217-219. Bibcode : 1986PhTea..24..217S . DOI : 10.1119/1.2341987 . ISSN 0031-921X . Arkistoitu alkuperäisestä 18.10.2018 . Haettu 26.01.2022 . Käytöstä poistettu parametri |deadlink=( ohje )
↑ Feynman, Richard. Feynmanin luennot fysiikasta. — California Institute of Technology. - ISBN 978-0201500646 .
↑ Martin, Andre (1986), Cathode Ray Tubes for Industrial and Military Applications, julkaisussa Hawkes, Peter, Advances in Electronics and Electron Physics, Volume 67 , Academic Press, s. 183, ISBN 978-0080577333
↑ Dahl, Per F. Katodisäteiden salama: JJ Thomsonin elektronin historia : [ eng. ] . - CRC Press, 1997. - ISBN 978-0-7503-0453-5 .
↑ Jammer, 1985 , s. neljätoista.
↑ Mehra, J. The Historical Development of Quantum Theory, Voi. 1: Planckin, Einsteinin, Bohrin ja Sommerfeldin kvanttiteoria. Sen perusta ja sen vaikeuksien nousu (1900–1925). — ISBN 978-0387906423 .
↑ Quantum - Definition ja paljon muuta ilmaisesta Merriam-Webster-sanakirjasta . Merriam-webster.com. Haettu 18. elokuuta 2012. Arkistoitu alkuperäisestä 19. tammikuuta 2022. (määrätön)
↑ Kuhn, T. S. Mustan kehon teoria ja kvanttiepäjatkuvuus 1894–1912. - Oxford: Clarendon Press, 1978. - ISBN 978-0195023831 .
↑ Jammer, 1985 , s. 33.
↑ Kragh, Helge. Max Planck: vastahakoinen vallankumouksellinen . Physics World (1. joulukuuta 2000). Haettu 12. joulukuuta 2020. Arkistoitu alkuperäisestä 5. marraskuuta 2018. (määrätön)
↑ Jammer, 1985 , s. 46.
↑ Stachel, John. Bohr ja fotoni // Kvanttitodellisuus, relativistinen kausaalisuus ja episteemisen ympyrän sulkeutuminen. - Dordrecht: Springer, 2009. - Voi. 73.—s. 69–83. - ISBN 978-1-4020-9106-3 . - doi : 10.1007/978-1-4020-9107-0_5 .
↑ Jammer, 1985 , s. 47.
↑ Einstein, A. (1905). "Über einen die Erzeugung und Verwandlung des Lichtes betreffenden heuristischen Gesichtspunkt". Annalen der Physik . 17 (6): 132-148. Bibcode : 1905AnP...322..132E . DOI : 10.1002/andp.19053220607 .Uusintapainos teoksessa The Collected Papers of Albert Einstein: [ saksa ] ] . - Princeton University Press, 1989. - Voi. 2. - s. 149-166. Katso myös "Einsteinin varhainen työ kvanttihypoteesista", ibid. s. 134-148.
↑ Einstein, Albert (1917). Zur Quantentheorie der Strahlung. Physikalische Zeitschrift [ saksa ] ]. 18 :121-128. Bibcode : 1917PhyZ...18..121E .Käännetty kirjassa Einstein, A. Säteilyn kvanttiteoriasta // The Old Quantum Theory. - Elsevier, 1967. - S. 167-183. - ISBN 978-0080121024 . - doi : 10.1016/b978-0-08-012102-4.50018-8 .
↑ Gould, R. Gordon. LASER, valon vahvistus stimuloidulla säteilyemissiolla // Ann Arbor Conference on Optical Pumping, Michiganin yliopisto, 15. kesäkuuta - 18. kesäkuuta 1959 / Franken, PA; Hiekkaa RH. - 1959. - s. 128.
↑ ter Haar, D. Vanha kvanttiteoria . - Pergamon Press, 1967. - s . 206 . - ISBN 978-0-08-012101-7 .
↑ Puoliklassinen approksimaatio . Matematiikan tietosanakirja . Haettu 1. helmikuuta 2020. Arkistoitu alkuperäisestä 17. tammikuuta 2022. (määrätön)
↑ Sakurai, JJ Quantum Dynamics // Moderni kvanttimekaniikka / JJ Sakurai, J. Napolitano. - Pearson, 2014. - ISBN 978-1-292-02410-3 .
↑ Jammer, 1985 , s. 67-68.
↑ Jammer, 1985 , s. 100-101.
↑ David Edwards, "The Mathematical Foundations of Quantum Mechanics", Synthese , osa 42, numero 1/syyskuu, 1979, s. 1-70.
↑ D. Edwards, "Kvanttikenttäteorian matemaattiset perusteet: Fermionit, mittauskentät ja supersymmetria, osa I: Hilakenttäteoriat", International J. of Theor. Phys. , Voi. 20, ei. 7 (1981).
↑ Bernstein, Jeremy (marraskuu 2005). "Max Born ja kvanttiteoria". American Journal of Physics ]. 73 (11): 999-1008. Bibcode : 2005AmJPh..73..999B . DOI : 10.1119/1.2060717 . ISSN 0002-9505 .
↑ Pais, Abraham. Tarina kahdesta mantereesta: Fyysikon elämä myrskyisässä maailmassa . - Princeton University Press, 1997. - ISBN 0-691-01243-1 .
↑ Milantiev, 2009 , s. 181.
↑ Milantiev, 2009 , s. 182.
↑ Milantiev, 2009 , s. 184-185.
↑ Milantiev, 2009 , s. 201.
↑ Van Hove, Leon (1958). "Von Neumannin panokset kvanttimekaniikkaan" (PDF) . American Mathematical Societyn tiedote . 64 (3): Osa 2:95–99. DOI : 10.1090/s0002-9904-1958-10206-2 . Arkistoitu (PDF) alkuperäisestä 2022-01-16 . Haettu 26.01.2022 . Käytöstä poistettu parametri |deadlink=( ohje )
↑ Feynman. Feynmanin fysiikan luennot III 21-4 . California Institute of Technology . "...kauan uskottiin, että Schrödingerin yhtälön aaltofunktiolla ei koskaan olisi makroskooppista esitystapaa, joka olisi analoginen fotonien amplitudin makroskooppiselle esitykselle. Toisaalta nyt on ymmärretty, että suprajohtavuus-ilmiöt tuovat meille juuri tämän tilanteen." Haettu 24. marraskuuta 2015. Arkistoitu alkuperäisestä 28. heinäkuuta 2020. (määrätön)
↑ Packard. Berkeley Experiments on superfluid makroskooppiset kvanttiefektit . Haettu 24. marraskuuta 2015. Arkistoitu alkuperäisestä 25. marraskuuta 2015. (määrätön)
↑ J. Bardeen; LN Cooper; JR Schrieffer (1957). "Suprajohtavuuden mikroskooppinen teoria". Fyysinen arvostelu . 106 (1): 162-164. Bibcode : 1957PhRv..106..162B . DOI : 10.1103/PhysRev.106.162 .
↑ J. Bardeen; LN Cooper; JR Schrieffer (1957). "Suprajohtavuuden teoria". Fyysinen arvostelu . 108 (5): 1175-1205. Bibcode : 1957PhRv..108.1175B . DOI : 10.1103/PhysRev.108.1175 .
↑ François Balembois ja Sebastien Unohda. Laser : Fundamentals // Jotkut tärkeät päivämäärät . Optics4 insinöörit. Haettu 11. joulukuuta 2013. Arkistoitu alkuperäisestä 16. joulukuuta 2013.
↑ 1 2 Aleksei Levin. Kvanttimajakka: Tarina yhdestä 1900-luvun tärkeimmistä keksinnöistä, laserista . Popmech.ru (1. kesäkuuta 2006). Haettu 28. heinäkuuta 2009. Arkistoitu alkuperäisestä 24. elokuuta 2011. (määrätön)
↑ Maiman, TH Stimuloitu optinen säteily rubiinissa // Luonto . - 1960. - Voi. 187 , no. 4736 . - s. 493-494 . - doi : 10.1038/187493a0 .
↑ Benioff, Paul (1980). "Tietokone fyysisenä järjestelmänä: mikroskooppinen kvanttimekaaninen Hamiltonin malli tietokoneista sellaisena kuin se esitetään Turingin koneilla". Journal of Statistical Physics . 22 (5): 563-591. Bibcode : 1980JSP....22..563B . doi : 10.1007/ bf01011339 .
↑ Chuang, Isaac L.; Gershenfeld, Neil; Kubinec, Mark (13. huhtikuuta 1998). "Nopean kvanttihaun kokeellinen toteutus" . Physical Review Letters . 80 (15): 3408-3411. Bibcode : 1998PhRvL..80.3408C . DOI : 10.1103/PhysRevLett.80.3408 .
↑ Luonto 23. lokakuuta 2019 Frank Arute, Kunal Arya et al. Kvanttiylivalta ohjelmoitavalla suprajohtavalla prosessorilla Arkistoitu 23. lokakuuta 2019, Wayback Machine 574, sivut 505-510 (2019)
↑ Kvanttiylivalta ohjelmoitavan suprajohtavan prosessorin avulla Arkistoitu 23. lokakuuta 2019 Wayback Machinessa keskiviikkona 23. lokakuuta 2019 Lähettäjä John Martinis, johtava tutkija Quantum Hardware ja Sergio Boixo, johtava tutkija Quantum Computing Theory, Google AI Quan
↑ Meduza 20:05, 24. lokakuuta 2019 Alexander Ershov Hurraa, Googlen fyysikot ovat saavuttaneet kvanttiylivoiman! Tai ehkä he eivät tehneet! Me emme tiedä, he eivät tiedä, kukaan ei tiedä - siksi se on kvantti ... Arkistoitu 26. lokakuuta 2019 Wayback Machinessa
↑ Auletta, 2000 , s. 36.
↑ Cohen-Tannuji, Diu ja Laloe, 2000 , s. 274.
↑ Cohen-Tannuji, Diu ja Laloe, 2000 , s. 114.
↑ Bongaarts, Peter. Kvanttiteoria: matemaattinen lähestymistapa. - Cham: Springer, 2015. - S. 118. - ISBN 3319095609 .
↑ Cohen-Tannuji, Diu ja Laloe, 2000 , s. 169-170.
↑ Auletta, 2000 , s. 39.
↑ Auletta, 2000 , s. 38.
↑ Cohen-Tannuji, Diu ja Laloe, 2000 , s. 272.
↑ Cohen-Tannuji, Diu ja Laloe, 2000 , s. 273.
↑ Cohen-Tannuji, Diu ja Laloe, 2000 , s. 277.
↑ Greenstein, George. The Quantum Challenge: Moderni tutkimus kvanttimekaniikan perusteista / George Greenstein, Arthur Zajonc. – 2. - Jones and Bartlett Publishers, Inc, 2006. - S. 215. - ISBN 978-0-7637-2470-2 . Arkistoitu 18. tammikuuta 2022 Wayback Machinessa , Chapter 8, p. 215 Arkistoitu 18. tammikuuta 2022 Wayback Machinessa
↑ Auletta, 2000 , s. 48.
↑ Cohen-Tannuji, Diu ja Laloe, 2000 , s. 278.
↑ Auletta, 2000 , s. 49.
↑ Weinberg, Steven. Unelmia lopullisesta teoriasta: Luonnon peruslakien etsintä . - Random House, 2010. - s . 82 . — ISBN 978-1-4070-6396-6 . Arkistoitu 28. heinäkuuta 2020 Wayback Machinessa
↑ Griffiths ja Schroeter, 2018 , s. 183-200.
↑ Griffiths ja Schroeter, 2018 , s. 195.
↑ Cooper, Fred; Khare, Avinash; Sukhatme, Uday. Supersymmetria ja kvanttimekaniikka // Phys. Rep.. - 1995. - T. 251 . - S. 267-385 . - doi : 10.1016/0370-1573(94)00080-M .
↑ 1 2 Flügge, 1974 , s. 81.
↑ Flugge, 1974 , s. 66.
↑ Scott, T.C.; Aubert-Frécon, M.; Grotendorst, J. (2006). "Uusi lähestymistapa vetymolekyyli-ionin elektronisiin energioihin". Chem. Phys . 324 (2-3): 323-338. arXiv : physics/0607081 . Bibcode : 2006CP....324..323S . DOI : 10.1016/j.chemphys.2005.10.031 .
↑ 1 2 Flügge, 1974 , s. 180.
↑ 1 2 Griffiths ja Schroeter, 2018 , s. 183.
↑ Griffiths, David. Johdatus kvanttimekaniikkaan / David Griffiths, Darrell F. Schroeter. - Cambridge, Yhdistynyt kuningaskunta: Cambridge University Press, 2018. - ISBN 1107189632 .
↑ Sulejmanpasic, tina; Ünsal, Mithat (2018-07-01). "Kvanttimekaniikan häiriöteorian näkökohdat: BenderWuMathematica®-paketti". Tietokonefysiikan viestintä _ ]. 228 : 273-289. Bibcode : 2018CoPhC.228..273S . DOI : 10.1016/j.cpc.2017.11.018 . ISSN 0010-4655 .
↑ Maslov, VP Puoliklassinen approksimaatio kvanttimekaniikassa / VP Maslov, MV Fedoriuk. — Dordrecht, Hollanti Boston: D. Reidel Pub. Co. Kluwer Boston Inc, 1981, myy ja jakelee Yhdysvalloissa ja Kanadassa. - ISBN 9027712190 .
↑ Kummeli, Fritz. Kaaoksen kvanttiallekirjoitukset . - Berliini New York: Springer, 2001. - ISBN 9783540677239 .
↑ 1 2 3 Cohen-Tannoudji, Claude. Kvanttimekaniikka / Claude Cohen-Tannoudji, Bernard Diu, Franck Laloë. - John Wiley & Sons, 2005. - ISBN 0-471-16433-X .
↑ Landau, L.D. Kvanttimekaniikka: ei-relativistinen teoria / L.D. Landau, E.M. Lifschitz. - Pergamon Press , 1977. - ISBN 978-0-08-020940-1 .
↑ Cohen-Tannuji, Diu ja Laloe, 2000 , s. 235.
↑ Cohen-Tannuji, Diu ja Laloe, 2000 , s. 288-289 358.
↑ Osa 3.2 julkaisusta Ballentine, Leslie E. (1970), The Statistical Interpretation of Quantum Mechanics , Reviews of Modern Physics , osa 42 (4): 358–381 , DOI 10.1103/RevModPhys.42.358 . Tämä tosiasia on kokeellisesti tunnettu esimerkiksi kvanttioptiikassa; katso esim. 2 ja Fig. 2.1 Leonhardt, Ulf (1997), Valon kvanttitilan mittaaminen
↑ 1 2 3 Nielsen, Michael A. Kvanttilaskenta ja kvanttitieto / Michael A. Nielsen, Isaac L. Chuang. – 2. - Cambridge: Cambridge University Press, 2010. - ISBN 978-1-107-00217-3 .
↑ 1 2 Rieffel, Eleanor G. Quantum Computing: A Gentle Introduction: [ eng. ] / Eleanor G. Rieffel, Wolfgang H. Polak. - MIT Press, 2011. - ISBN 978-0-262-01506-6 .
↑ Wilde, Mark M. Kvanttiinformaatioteoria. - 2017. - ISBN 9781107176164 . - doi : 10.1017/9781316809976.001 .
↑ Schlosschauer, Maximilian (lokakuu 2019). "Kvanttidekoherenssi". Fysiikkaraportit _ _ ]. 831 : 1-57. arXiv : 1911.06282 . Bibcode : 2019PhR...831....1S . DOI : 10.1016/j.physrep.2019.10.001 .
↑ Rechenberg, =Helmut (1987). "Erwin Schrödinger ja aaltomekaniikan luominen" (PDF) . Acta Physica Polonica B. 19 (8): 683-695. Arkistoitu alkuperäisestä 2021-02-24 . Haettu 13. kesäkuuta 2016 . Käytöstä poistettu parametri |deadlink=( ohje )
↑ Feynman R., Hibs A. Kvanttimekaniikka ja polkuintegraalit. - M .: Mir, 1968. - 384 s.
↑ Griffiths ja Schroeter, 2018 , s. 336.
↑ 1 2 Griffiths ja Schroeter, 2018 , s. 307.
↑ Cheng ja Li, 1987 , s. 154.
↑ Cohen-Tannuji, Diu ja Laloe, 2000 , s. 75-79.
↑ Flugge, 1974 , s. 40.
↑ Flugge, 1974 , s. 43.
↑ Flugge, 1974 , s. 44.
↑ Flugge, 1974 , s. 45.
↑ Flugge, 1974 , s. 46.
↑ Flugge, 1974 , s. 47.
↑ Flugge, 1974 , s. 62-63.
↑ Cohen-Tannuji, Diu ja Laloe, 2000 , s. 87-88.
↑ Bez, R., Camerlenghi, E., Modelli, A., & Visconti, A. Johdanto flash-muistiin // Proceedings of IEEE. - 2003. - T. 91 (4) . - S. 489-502 . - doi : 10.1109/jproc.2003.811702 .
↑ Binnig G, Rohrer H (1987-07-01). "Skannaustunnelimikroskopia --- syntymästä teini-ikään". Modernin fysiikan arvostelut . 59 (3): 615-625. Bibcode : 1987RvMP...59..615B . DOI : 10.1103/RevModPhys.59.615 .
↑ 1 2 Flügge, 1974 , s. 81-84.
↑ Flugge, 1974 , s. 87-89.
↑ Flugge, 1974 , s. 83.
↑ Flugge, 1974 , s. 88.
↑ Flugge, 1974 , s. 86.
↑ Paris, MGA (1999). "Ketkeily ja näkyvyys Mach-Zehnder-interferometrin lähdössä." Fyysinen arvostelu A. 59 (2): 1615-1621. arXiv : quant-ph/9811078 . Bibcode : 1999PhRvA..59.1615P . DOI : 10.1103/PhysRevA.59.1615 .
↑ Haack, G. R. (2010). "Pariteetin havaitseminen ja sotkeutuminen Mach-Zehnder-interferometrillä". Fyysinen arvostelu B. 82 (15): 155303. arXiv : 1005.3976 . Bibcode : 2010PhRvB..82o5303H . DOI : 10.1103/PhysRevB.82.155303 .
↑ Vedral, 2006 , s. 25.
↑ Marshman, Emily; Singh, Chandralekha. Interaktiivinen opetusohjelma, jonka avulla opiskelijat ymmärtävät paremmin Mach–Zehnder-interferometrillä tehdyt yksittäisfotonikokeet // Eur. J. Phys .. - 2016. - T. 37 . - S. 024001 . - doi : 10.1088/0143-0807/37/2/024001 . - arXiv : 1602.06162 .
↑ Vedral, 2006 , s. 102.
↑ 12 Marshman ja Chandralekha, 2016 .
↑ Vedral, Vlatko. Johdatus kvanttitietotieteeseen. - Oxford University Press, 2006. - ISBN 9780199215706 .
↑ Katso esimerkiksi Feynman Lectures on Physics joistakin kvanttimekaniikkaa käyttävistä teknologisista sovelluksista, esim. transistorit (vol III , s. 14–11 ff), integroidut piirit , jotka ovat solid-state-tekniikkaa. fysiikka (osa II , s. 8–6) ja laserit (osa III , s. 9–13).
↑ Cohen, Marvin L. (2008). Essee: Viisikymmentä vuotta tiivistetyn aineen fysiikkaa . Physical Review Letters . 101 (25). Bibcode : 2008PhRvL.101y0001C . DOI : 10.1103/PhysRevLett.101.250001 . PMID 19113681 . Arkistoitu alkuperäisestä 2013-01-31 . Haettu 31. maaliskuuta 2012 . Käytöstä poistettu parametri |deadlink=( ohje )
↑ Matson, John. "Mihin kvanttimekaniikka on hyvä?" . Tieteellinen amerikkalainen . Arkistoitu alkuperäisestä 2022-01-25 . Haettu 18. toukokuuta 2016 . Käytöstä poistettu parametri |deadlink=( ohje )
↑ Nobel-palkitut Watson ja Crick lainasivat Paulingia, Linusta. Kemiallisen sidoksen luonne ja molekyylien ja kiteiden rakenne. — Cornell University Press , 1939. kemiallisten sidosten pituuksista, kulmista ja suuntauksista.
↑ Orzel, Tšad. Mitä kvanttimekaniikka on koskaan tehnyt hyväksemme? (englanniksi) . https://www.forbes.com _ Forbes (13. elokuuta 2015). Haettu 20. huhtikuuta 2022. Arkistoitu alkuperäisestä 20. huhtikuuta 2022.
↑ Tipler, Paul. Moderni fysiikka / Paul Tipler, Ralph Llewellyn. – 5. — W. H. Freeman and Company, 2008. — S. 160–161 . — ISBN 978-0-7167-7550-8 .
↑ Blokhintsev, 1976 , s. 237-241.
↑ Sadovsky, 2003 , s. 45.
↑ Kummeliturska, 2001 .
↑ Schlosschauer, Maximilian (2005). "Dekoherenssi, mittausongelma ja kvanttimekaniikan tulkinnat." Modernin fysiikan arvostelut . 76 (4): 1267-1305. arXiv : quant-ph/0312059 . Bibcode : 2004RvMP...76.1267S . DOI : 10.1103/RevModPhys.76.1267 .
↑ Atomiominaisuudet . academic.brooklyn.cuny.edu. Haettu 18. elokuuta 2012. Arkistoitu alkuperäisestä 6. huhtikuuta 2012. (määrätön)
↑ Hawking, Stephen. Avaruuden ja ajan luonne / Stephen Hawking, Roger Penrose. - 2010. - ISBN 978-1400834747 . Arkistoitu 28. heinäkuuta 2020 Wayback Machinessa
↑ Tatsumi Aoyama (2012). "Kymmenennen asteen QED-panos elektroni g-2:lle ja hienorakennevakion parannettu arvo." Physical Review Letters . 109 (11). arXiv : 1205.5368 . Bibcode : 2012PhRvL.109k1807A . DOI : 10.1103/PhysRevLett.109.111807 . PMID23005618 . _
↑ Simmen, Benjamin. Monielektronijärjestelmien relativistinen kvanttiteoria // Monielektronilähestymistapoja fysiikassa, kemiassa ja matematiikassa : monitieteinen näkemys / Benjamin Simmen, Markus Reiher. - Cham: Springer, 2014. - P. 4. - ISBN 3319063782 .
↑ Wistisen, Tobias N. Kvanttisynkrotronisäteily kentässä, jolla on äärellinen laajennus // Phys. Rev. D. - 2015. - T. 92 . - S. 045045 . - doi : 10.1103/PhysRevD.92.045045 .
↑ Nobelin fysiikan palkinto 1979 . Jalo säätiö. Käyttöpäivä: 16. joulukuuta 2020. Arkistoitu alkuperäisestä 26. helmikuuta 2009. (määrätön)
↑ "Toistaiseksi ei ole olemassa loogisesti johdonmukaista ja täydellistä relativistista kvanttikenttäteoriaa." 4. - V. B. Berestetskii, E. M. Lifshitz , L. P. Pitaevskii (1971). JB Sykes, JS Bell (kääntäjät). Relativistinen kvanttiteoria 4 , osa I. Teoreettisen fysiikan kurssi (Landau ja Lifshitz) ISBN 0-08-016025-5
↑ Stephen Hawking; Godel ja fysiikan loppu . cam.ac.uk. _ Haettu 11. syyskuuta 2015. Arkistoitu alkuperäisestä 21. toukokuuta 2011. (määrätön)
↑ Becker, Katrin. Jousiteoria ja M-teoria: Moderni johdanto / Katrin Becker, Melanie Becker, John Schwarz. - Cambridge University Press, 2007. - ISBN 978-0-521-86069-7 .
↑ Zwiebach, Barton. Ensimmäinen kieliteorian kurssi. - Cambridge University Press, 2009. - ISBN 978-0-521-88032-9 .
↑ Rovelli, Carl. Kovarianttisilmukan kvanttipainovoima: alkeisjohdanto kvanttipainovoimaan ja spininfoam-teoriaan : [ eng. ] / Carlo Rovelli, Francesca Vidotto. - Cambridge University Press, 13. marraskuuta 2014. - ISBN 978-1-316-14811-2 . Arkistoitu 18. tammikuuta 2022 Wayback Machinessa
↑ Feynman, Richard. Fysikaalisen lain luonne: [ eng. ] . - MIT Press, 1967. - s . 129 . - ISBN 0-262-56003-8 .
↑ Weinberg, Steven (2012). "Tilavektorin romahtaminen". Fyysinen arvostelu A. 85 (6): 062116. arXiv : 1109.6462 . Tuotekoodi : 2012PhRvA..85f2116W . DOI : 10.1103/PhysRevA.85.062116 .
↑ Howard, Don (joulukuu 2004). "Kuka keksi "Kööpenhaminan tulkinnan"? Tutkimus mytologiassa" . Tieteen filosofia _ ]. 71 (5): 669-682. DOI : 10.1086/425941 . ISSN 0031-8248 . Arkistoitu alkuperäisestä 2022-01-18 . Haettu 26.01.2022 . Käytöstä poistettu parametri |deadlink=( ohje )
↑ Camilleri, Kristian (toukokuu 2009). "Kööpenhaminan tulkinnan myytin rakentaminen" . Tieteen näkökulmat _ ]. 17 (1):26-57. DOI : 10.1162/posc.2009.17.1.26 . ISSN 1063-6145 . Arkistoitu alkuperäisestä 2020-09-15 . Haettu 26.01.2022 . Käytöstä poistettu parametri |deadlink=( ohje )
↑ Schlosshauer, Maximilian (1. elokuuta 2013). "Kuvaus perustavanlaatuisista asenteista kvanttimekaniikkaa kohtaan." Tieteen historian ja filosofian opinnot, osa B. 44 (3): 222-230. arXiv : 1301.1069 . Bibcode : 2013SHPMP..44..222S . DOI : 10.1016/j.shpsb.2013.04.004 .
↑ Harrigan, Nicholas; Spekkens, Robert W. (2010). "Einstein, epätäydellisyys ja kvanttitilojen episteeminen näkemys". Fysiikan perusteet . 40 (2): 125. arXiv : 0706.2661 . Bibcode : 2010FoPh...40..125H . DOI : 10.1007/s10701-009-9347-0 .
↑ Howard, D. (1985). "Einstein paikallisuudesta ja erotettavuudesta". Tieteen historian ja filosofian opinnot, osa A. 16 (3): 171-201. DOI : 10.1016/0039-3681(85)90001-9 .
↑ Sauer, Tilman (1. joulukuuta 2007). "Einstein-käsikirjoitus spin-havaittavien EPR-paradoksista" . Tiedehistorian ja -filosofian opinnot osa B : Nykyfysiikan historian ja filosofian tutkimukset ]. 38 (4): 879-887. Bibcode : 2007SHPMP..38..879S . CiteSeerX 10.1.1.571.6089 . DOI : 10.1016/j.shpsb.2007.03.002 . ISSN 1355-2198 . Arkistoitu alkuperäisestä 2022-01-18 . Haettu 26.01.2022 . Käytöstä poistettu parametri |deadlink=( ohje )
↑ Einstein, Albert (1949), Autobiographical Notes, julkaisussa Schilpp, Paul Arthur, Albert Einstein: Philosopher-Scientist , Open Court Publishing Company.
↑ EPR-argumentin julkaistu muoto johtui Podolskysta, eikä Einstein itse ollut siihen tyytyväinen. Omissa julkaisuissaan ja kirjeenvaihdossaan Einstein käytti eri argumenttia väittääkseen, että kvanttimekaniikka on epätäydellinen teoria. [162] [163] [164] [165]
↑ Bell, JS (1. marraskuuta 1964). "Einstein Podolsky Rosenin paradoksista". Fysiikka Physique Fizika ]. 1 (3): 195-200. DOI : 10.1103/PhysicsPhysiqueFizika.1.195 .
↑ Goldstein, Sheldon. Bohmian Mechanics // Stanford Encyclopedia of Philosophy. - Metaphysics Research Lab, Stanfordin yliopisto, 2017.
↑ Everett, Hugh. The Many-Worlds Interpretation of Quantum Mechanics / Hugh Everett, JA Wheeler , BS DeWitt … [ ja muut ] . — Princeton, NJ: Princeton University Press , 1973. — P. v. — ISBN 0-691-08131-X .
↑ Wallace, David (2003). "Everettian Rationality: puolustaa Deutschin lähestymistapaa todennäköisyyteen Everettin tulkinnassa". Nasta. Hist. Phil. Mod. Phys . 34 (3): 415-438. arXiv : quant-ph/0303050 . Tuotekoodi : 2003SHPMP..34..415W . DOI : 10.1016/S1355-2198(03)00036-4 .
↑ Ballentine, L.E. (1973). "Voidaanko kvanttiteorian tilastollinen postulaatti johtaa? – Monen universumin tulkinnan kritiikki . Fysiikan perusteet . 3 (2): 229-240. Bibcode : 1973FoPh....3...229B . DOI : 10.1007/BF00708440 .
↑ Landsman, NP Bornin sääntö ja sen tulkinta // Compendium of Quantum Physics. - Springer, 2008. - "Johtopäätös näyttää siltä, että Bornin säännöstä ei ole tähän mennessä annettu yleisesti hyväksyttyä johdannaista, mutta tämä ei tarkoita, että tällainen johtaminen olisi periaatteessa mahdotonta." - ISBN 978-3-540-70622-9 .
↑ Kent, Adrian. Yksi maailma versus monta: Everettian evoluution, todennäköisyyden ja tieteellisen vahvistuksen riittämättömyys // Monet maailmat? Everett, Kvanttiteoria ja todellisuus / S. Saunders ; J. Barrett; A. Kent; D. Wallace. – Oxford University Press, 2010.
↑ Van Fraassen, Bas C. (huhtikuu 2010). Rovellin maailma . Fysiikan perusteet _ ]. 40 (4): 390-417. Bibcode : 2010FoPh...40..390V . DOI : 10.1007/s10701-009-9326-5 . ISSN 0015-9018 .
↑ Healey, Richard. Kvantti-bayesilainen ja pragmatistinen näkemys kvanttiteoriasta // Stanford Encyclopedia of Philosophy . - Metaphysics Research Lab, Stanfordin yliopisto, 2016.

Kirjallisuus

Venäjäksi

Albeverio S., Gestesi F., Hoeg-Kron R., Holden H. Ratkaisevia kvanttimekaniikan malleja. M.: Mir , 1991. - 568s.
Blokhintsev DI Kvanttimekaniikan pääkysymykset. Arkistoitu 11. marraskuuta 2007, Wayback Machine M.: Science , 1966.
Blokhintsev D. I. Kvanttimekaniikan perusteet . - 5. painos - M .: Nauka, 1976. - 664 s.
Boum A. Kvanttimekaniikka: perusteet ja sovellukset. - M .: Mir, 1990. - 720 s. — ISBN 5-03-001311-3 .
Gershtein, S. S.; Berestetsky, V. B. Kvanttimekaniikka // Physical Encyclopedia : [5 osassa] / Ch. toim. A. M. Prokhorov . - M . : Soviet Encyclopedia , 1990. - T. 2: Laatutekijä - Magneto-optiikka. - 704 s. - 100 000 kappaletta. — ISBN 5-85270-061-4 .
Davydov A.S. Kvanttimekaniikka. - 3. painos - Pietari. : BHV-Petersburg, 2011. - 704 s. — ISBN 978-5-9775-0548-2 .
Jammer, Max . Kvanttimekaniikan käsitteiden kehitys / Per. englannista. /Toim. L. I. Ponomareva. - M .: Nauka, 1985. - 384 s.
Dirac P. A. M. Kvanttimekaniikan periaatteet Arkistokopio päivätty 11. marraskuuta 2007 Wayback Machinessa (2. painos), - M .: Nauka, 1979.
Dirac P. Kvanttimekaniikan periaatteet . 2. painos M .: Nauka, 1979. - 480 s. Arkistoitu 11. marraskuuta 2007 Wayback Machinessa
Ivanov M. G. Kuinka ymmärtää kvanttimekaniikkaa. - M.-Izhevsk: Tutkimuskeskus "säännöllinen ja kaoottinen dynamiikka", 2012. - 516 s. — ISBN 978-5-93972-944-4 .
Kvanttimekaniikan alkuluvut / N. V. Karlov , N. A. Kirichenko - M.: Fizmatlit , 2004 (OAO Mosk. type. No. 6). — 359 s. : ill., välilehti; 22 cm; ISBN 5-9221-0538-8
Cohen-Tannuji K. , Diu B., Laloe F. Kvanttimekaniikka / Per. ranskasta - Jekaterinburg: Ural-yliopiston kustantamo , 2000. - T. T.1. — 944 s. — ISBN 5-7525-1131-3 .
Cohen-Tannuji K., Diu B., Laloe F. Kvanttimekaniikka. T.2. Jekaterinburg: Ural-yliopiston kustantamo, 2000. - 800 s.
Landau L.D. , Lifshits E.M. Kvanttimekaniikka (ei-relativistinen teoria). - 6. painos, tarkistettu. — M .: Fizmatlit , 2004. — 800 s. - (" Teoreettinen fysiikka ", osa III). — ISBN 5-9221-0530-2 .
Lipkin A.I. Fysiikan perusteet. Näkymä teoreettisesta fysiikasta. Arkistokopio päivätty 16. elokuuta 2017 Wayback Machinessa M .: URSS , 2014. - 207 s.
Milantiev, Vladimir P. Kvanttimekaniikan syntyhistoria ja atomia koskevien ideoiden kehittyminen . - M . : Kirjatalo " Librokom ", 2009. - S. 188 . — 248 s. - ISBN 978-5-397-00146-5 .
Mott N. , Sneddon I. Aaltomekaniikka ja sen sovellukset. - M. , Nauka , 1966. - Levikki 9400 kpl. — 427 s.
Neumann I. Kvanttimekaniikan matemaattiset perusteet Arkistokopio päivätty 11. marraskuuta 2007 Wayback Machinessa , - M .: Nauka, 1964.
Pauli W. Aaltomekaniikan yleiset periaatteet Arkistokopio 10. marraskuuta 2007 Wayback Machinessa , - M. - L .: GITTL , 1947.
Leonard Susskind, Art Freeman — Kvanttimekaniikka: teoreettinen minimi / käänn. englannista. A. Sergeev. - Pietari. : Piter , 2015. - 400 s.
Sadovsky MV Luennot kvanttikenttäteoriasta . - Izhevsk: Tietotekniikan tutkimuslaitos, 2003. - 480 s. - ISBN 5-93972-241-5 .
Stepanov N. F. Kvanttimekaniikka ja kvanttikemia - 2013.
Sudbury A. Kvanttimekaniikka ja hiukkasfysiikka . M .: Mir, 1989. - 488 s. Arkistoitu 24. huhtikuuta 2014 Wayback Machineen
Schiff L. Kvanttimekaniikka. Ripol Classic, 2013.
Faddeev L. D. , Yakubovsky O. A. Luennot kvanttimekaniikasta matematiikan opiskelijoille. Arkistokopio päivätty 24. huhtikuuta 2014 Wayback Machine L.:ssä , Leningradin osavaltion yliopiston kustantaja , 1980. - 200 s.
Feynman R. , Layton R., Sands M. The Feyman Lectures in Physics. Per. englannista, voi. 8. Arkistoitu 9. marraskuuta 2007 Wayback Machinen osaan 9. Arkistoitu 9. marraskuuta 2007 Wayback Machine , M. , 1966-1967.
Flugge Siegfried. Ongelmia kvanttimekaniikassa / Per. englannista. /Toim. A. A. Sokolova. - M .: Mir, 1974. - T. 1. - 344 s.
Fushchich V. I. , Nikitin A. G. Kvanttimekaniikan yhtälöiden symmetria. Arkistokopio 13. tammikuuta 2012 Wayback Machinessa , - M .: Nauka, 1990.
Cheng T.-P., Lee L.-F. Mittariteoriat alkeishiukkasfysiikassa. - M .: Mir, 1987. - 624 s.
Schrödinger E. Selected Works on Quantum Mechanics. Arkistokopio päivätty 10. marraskuuta 2007 Wayback Machinessa , - M .: Nauka, 1976.

Englanniksi

Auletta, Gennaro. Kvanttimekaniikan perusteet ja tulkinta: ongelmien kriittis-historiallisen analyysin ja tulosten synteesin valossa. - Singapore River Edge, NJ: World Scientific , 2000. - ISBN 9810240392 .
von Neumann, John. Kvanttimekaniikan matemaattiset perusteet . - Princeton University Press , 1955. - ISBN 978-0-691-02893-4 .
Lexin kansainvälinen korkeakoulu . Mikä on kvanttimekaniikka? Fysiikan seikkailu. - Boston : Language Research Foundation, 1996. - ISBN 978-0-9643504-1-0 .

Sanakirjat ja tietosanakirjat

Bibliografisissa luetteloissa
BNE : XX4576425 BNF : 11938463d GND : 4047989-4 J9U : 987007550893405171 LCCN : sh85109469 NDL : 00569870 NKC : ph115047 SUDOC : 02731569X

Kvanttifysiikan osat
Kvanttimekaniikka kvanttikenttäteoria kvanttioptiikka kvanttielektrodynamiikka kvanttikromodynamiikka kvanttipainovoima