Evolution operaattori

Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 6.9.2021 tarkistetusta versiosta . tarkastukset vaativat 2 muokkausta .

Evoluutiooperaattori ( ajassa tapahtuvan evoluution generaattori ) on kvanttimekaniikan operaattori , joka on annettu Hilbert-avaruudessa ja joka siirtää järjestelmän tilan alkuperäisestä ajanhetkestä mihin tahansa toiseen.

Evoluutio-operaattorin yhteys Hamilton-operaattoriin

Evoluutio-operaattori liittyy Hamilton-operaattoriin seuraavilla kaavoilla:

${\hat S}(t,t_{0})=T\left\{\exp \left({-{\frac {i}{\hbar }}\int _{{t_{0}}}^{ t}H(t')\,dt'}\oikea)\oikea\},t>t_{0}$

${\hat S}(t,t_{0})=\overline {T}\left\{\exp \left(({\frac {i}{\hbar }}\int _{t}^{{t_ {0}}}H(t')\,dt'}\right)\right\},t<t_{0}$

missä ovat aikatilaus- ja tilausvastaavat operaattorit. $T,\overline {T}$

Erityisesti, jos Hamiltonin ei riipu ajasta, niin evoluutiooperaattorilla on muoto:

${\hat S}(t,t_{0})=e^{{-i{\hat H}(t-t_{0})/\hbar }}$

Evoluutio-operaattorin ominaisuudet

1. [1] on yhtenäinen operaattori. ${\hattu S}(t_{2},t_{1})$

2. . ${\hat {S}}(t_{3},t_{2}){\hat {S}}(t_{2},t_{1})={\hat {S}}(t_{ 3},t_{1}),\forall \,t_{1},t_{2},t_{3}$

3. [2] , missä on identiteettioperaattori. ${\hat {S}}(t,t_{1}){\hat {S}}(t_{1},t)={\hat {I}},\forall \,t_{1} ,t$ ${\hattu minä}$

Evoluutiooperaattorin ja Hamiltonin välisen suhteen johtaminen

Kvanttimekaniikan postulaattien mukaan systeemin puhdas tila kuvataan vektorilla Hilbert-avaruudesta . Esittelemme operaattorin , joka toimii säännön mukaan: $|\psi\rangle$ ${\hattu S}(t,t_{0})$

{\hat S}(t,t_{0})\left|\Psi (t_{0})\right\rangle =\left|\Psi (t)\right\rangle

Esitettävän operaattorin tulee olla unitaarinen, jotta tilavektorin normalisointi säilyy ajassa. Schrödingerin esityksessä tilavektori täyttää Schrödingerin yhtälön:

{\hat H}(t)\left|\Psi (t)\right\rangle =i\hbar {\partial \over \partial t}\left|\Psi (t)\right\rangle ,

missä on Hamiltonin operaattori . ${\hattu H}(t)$

Jos Hamiltonin ei riipu ajasta, niin - on Schrödingerin yhtälön ratkaisu. Tästä seuraa, että evoluutiooperaattorilla on muoto: $\left|\Psi (t)\right\rangle =e^{{-i{\hat H}(t-t_{0})/\hbar }}\left|\Psi (t_{0})\right \alue$

{\hat S}(t,t_{0})=e^{{-i{\hat H}(t-t_{0})/\hbar }}

Anna nyt Hamiltonin operaattorin riippua ajasta ja anna . Sitten jaetaan tarkasteltu aikaväli intervalleiksi ja oletetaan, että kussakin näistä intervalleista Hamiltonin operaattori on vakio , at . Silloin tilavektorilla on milloin tahansa edellisen päättelyn mukaan muoto: $t_{0}<t$ $(t_{n},t_{{n+1}})$ ${\hattu H}(t)={\hattu H}(t_{n})$ $t_{n}<t\leq t_{{n+1}}$

\left|\Psi (t)\right\rangle =e^{{-i{\hat H}(t_{n})(t-t_{n})/\hbar }}\left|\Psi (t_ {n})\right\rangle =e^{{-i{\hat H}(t_{n})(t-t_{n})/\hbar }}\dots e^{{-i{\hattu H}(t_{1})(t_{2}-t_{1})/\hbar }}e^{{-i{\hat H}(t_{0})(t_{1}-t_{0 })/\hbar }}\left|\Psi (t_{0})\right\rangle

Esitellään nyt aikatilausoperaattori , joka toimii seuraavan säännön mukaan: $T$

T\{{\hattu H}(t_{{P(m)))){\hattu H}(t_{{P(m-1))))\pisteet {\hattu H}_{{P(1) )}}\}={\hattu H}(t_{m}){\hattu H}(t_{{m-1)))\pisteet {\hat H}(t_{1})

for , mille tahansa permutaatiolle . $t_{1}\leq t_{2}\leq \dots \leq t_{{m}}$ $P(1,2\pisteet ,m)$

Tätä silmällä pitäen aaltofunktio voidaan kirjoittaa seuraavasti:

\left|\Psi (t)\right\rangle =T\left\{e^{{-i{\hat H}(t_{n})(t-t_{n})/\hbar }}\dots e^{{-i{\hat H}(t_{1})(t_{2}-t_{1})/\hbar }}e^{{-i{\hat H}(t_{0}) (t_{1}-t_{0})/\hbar }}\right\}\left|\Psi (t_{0})\right\rangle

Työmatkaoperaattoreille on totta, että . Koska T -järjestyksen alaiset operaattorit liikkuvat, jälkimmäinen kirjoitetaan uudelleen seuraavasti: ${\hattu A},{\hattu B}$ $e^{{{\hattu A}}}e^{{{\hattu B}}}=e^{{{\hattu A}+{\hattu B}}}$

\left|\Psi (t)\right\rangle =T{\Big \{}e^{{-i\sum \limits _{{i=0}}^{{n}}{\hat H}( t_{i})\Delta t_{i}/\hbar }}{\Big \}}\left|\Psi (t_{0})\right\rangle

Kun saamme sen $n\rightarrow\infty$

\left|\Psi (t)\right\rangle =T{\Big \{}e^{-i\int \limits _{t_{0}}^{t}{\hat {H}} (t')dt'/\hbar }{\Big \}}\left|\Psi (t_{0})\right\rangle

Siksi

{\hat S}(t,t_{0})=T\left\{\exp \left({-{\frac {i}{\hbar }}\int _{{t_{0}}}^{ t}H(t')\,dt'}\oikea)\oikea\},t>t_{0}

Harkitse nyt operaattoria . Tämä on sama , jos harkitsemme . Käyttäkäämme sitä tosiasiaa ${\hattu S}(t,t_{0})$ $t<t_{0}$ ${\hattu S}(t_{0},t)$ $t_{0}<t$ ${\hattu S}(t_{0},t){\hattu S}(t,t_{0})={\hattu I}$

missä on identiteettioperaattori. ${\hattu minä}$

Sitten:

\lim _{{n\rightarrow 0}}{\hat S}(t_{0},t)e^{{-i{\hat H}(t_{n})(t-t_{n})/ \hbar }}\dots e^{{-i{\hat H}(t_{1})(t_{2}-t_{1})/\hbar }}e^{{-i{\hat H} (t_{0})(t_{1}-t_{0})/\hbar }}={\hat I}

ja suoralla varmennuksella varmistamme sen

{\hattu S}(t_{0},t)=\lim _{{n\rightarrow 0}}e^{{i{\hat H}(t_{0})(t-t_{0})/ \hbar }}\dots e^{{i{\hat H}(t_{{n-1}})(t_{n}-t_{{n-1}})/\hbar }}e^{{ -i{\hat H}(t)(t-t_{n})/\hbar }}=\overline {T}\left\{\exp \left(({\frac {i}{\hbar }} \int _{{t_{0}}}^{{t}}H(t')\,dt'}\right)\right\},t>t_{0}

missä on tilauksenestooperaattori. $\overline {T}$

Muistiinpanot

↑ Evoluutiooperaattorin tulee olla unitaarinen, jotta tilavektorin normalisointi säilyy ajassa . $\langle \Psi (t)|\Psi (t)\rangle =\langle \Psi (t_{0})|\Psi (t_{0})\rangle$
↑ Ominaisuus 3 on seurausta ominaisuudesta 2.

Katso myös

Kirjallisuus

Stefanucci, Gianluca. Kvanttijärjestelmien epätasapainoinen monikehoteoria: moderni johdanto / Gianluca Stefanucci, Robert van Leeuwen. - Cambridge: Cambridge University Press, 2013. - P. 81-85. — ISBN 9781139023979 .