Projektiivinen muunnos

Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 25.5.2021 tarkistetusta versiosta . vahvistus vaatii 1 muokkauksen .

Projektiivisen tason projektiivinen muunnos on muunnos , joka muuttaa viivat viivoiksi.

Määritelmä

Projektiivinen muunnos on projektiivisen avaruuden yksi-yhteen kartoitus itseensä, joka säilyttää kaikkien aliavaruuksien osittain järjestetyn joukon järjestyssuhteen. $\phi$

Suoran projektiivinen muunnos on suoran bijektiivinen muunnos, joka muuttaa harmonisen pisteen nelinkertaiseksi harmoniseksi pisteiden nelinkertaiseksi.

Tason projektiivinen muunnos on projektiivisen tason yksi -yhteen kartoitus itseensä siten, että millä tahansa suoralla kuva on myös suora viiva. $\phi \colon \pi \to \pi$ $\pi$ $l\osajoukko\pi$ $\phi (l)$

Ominaisuudet

Projektiivinen muunnos säilyttää kaksoissuhteen .
Projektiivinen muunnos on projektiivitason pistejoukon yksi-yhteen-kuvaus, ja se on myös suorien joukon yksi-yhteen-kuvaus.
Kuvaus käänteinen projektiiviseen on projektiivinen kartoitus. Projektiivisten kuvausten koostumus on projektiiivinen kartoitus. Siten projektitiivisten kuvausten joukko muodostaa ryhmän .
Keskusprojektio on projektitiivisen muunnoksen erikoistapaus.
Affiinimuunnos on projektiivisen muunnosten erikoistapaus.
Jokainen tason viiva projektiivisen tason muunnoksen alla on kuvattu projektiivisesti jollekin suoralle. Jokainen tason sädekimppu on kuvattu projektiivisesti sädekimpuksi.
Suoran viivan projektiivinen muunnos määritetään määrittämällä kolme kuvausta vastaavaa pisteparia. Tätä väitettä kutsutaan joskus projektiivisen geometrian peruslauseeksi.
Tason projektiivinen muunnos määritellään määrittämällä neljä kartoitusta vastaavaa pisteparia, eikä neljästä kuvasta tai esikuvasta ole kolme pistettä samalla suoralla. Epäidenttisessä kartoituksessa kiinteiden pisteiden määrä on enintään kolme.
Jokainen tason projektiivinen muunnos on annettu sitä vastaavan kolmiulotteisen avaruuden käännettävällä lineaarimuunnolla . Homogeenisissa koordinaateissa se esitetään yhtälöillä: ${\begin{cases}\lambda x_{1}'=c_{{11}}x_{1}+c_{{12}}x_{2}+c_{{13}}x_{3}\\\lambda x_{2}'=c_{{21}}x_{1}+c_{{22}}x_{2}+c_{{23}}x_{3}\\\lambda x_{3}'=c_{ {31}}x_{1}+c_{{32}}x_{2}+c_{{33}}x_{3}\end{cases}}$

ja .

\det(c_{{ij}})\neq 0

Perspektiivi

Olkoon projektiivitasolla 2 erillistä suoraa ja piste O , joka ei kuulu niihin . Suoran perspektiivikuvaus suoralle , jonka keskipiste on O , on kuvaus , jossa mielivaltaiselle pisteelle piste löytyy ja :n leikkauspisteestä . Tämä kartoitus on merkitty seuraavasti: joka on " käännetty suoraksi linjaksi perspektiivikartoituksella, jonka keskipiste on O " tai seuraavasti: joka kuuluu "pisteet muunnetaan perspektiivikartoituksella, jonka keskipiste on O , pisteiksi ". ${\displaystyle u_{1},u_{2))$ $u_{1}$ ${\displaystyle u_{2))$ $\psi :u_{1}\to u_{2}$ $A\in u_{1}$ $\psi (A)$ $OA$ ${\displaystyle u_{2))$ $u_{1}{\overset {O}{\doublebarwedge }}u_{2},$ $u_{1}$ ${\displaystyle u_{2))$ $ABC\ldots {\overset {O}{\doublebarwedge }}A'B'C'\ldots ,$ ${\näyttötyyli A,B,C,\ldots }$ $A',B',C',\ldots$

Perspektiivikartoitus on bijektiivinen, säilyttää viivojen leikkauspisteen ja säilyttää pisteiden nelinkertaisen duaalisuhteen . ${\displaystyle u_{1},u_{2))$

Mikä tahansa projektiivinen kuvaus viivalta viivalla voidaan esittää perspektiivikartoitusten yhdistelmänä. Projektiivinen kartoitus on merkitty $u_{1}$ ${\displaystyle u_{2))$ $ABCD\barwedge A'B'C'D'.$

Involuutio

Projektiivista muunnosa kutsutaan involuutioksi , jos jollekin pisteelle P on totta, että . $\phi$ $\phi (\phi (P))=P$

Jos on involuutio, niin . $\phi$ $\phi ^{-1}=\phi$

Jos suoran projektiivisella muunnoksella on vähintään yksi piste P siten, että , on involuutio. $\phi$ $\phi (\phi (P))=P$ $\phi$

Jos projektiivisen suoran epäidenttisellä involuutiolla on kiinteitä pisteitä, niin niiden lukumäärä on joko kaksi tai nolla. Involuutiota, jossa on 2 kiinteää pistettä, kutsutaan hyperboliseksi. Hyperbolinen involuutio vaihtaa pisteet, jotka ovat harmonisesti konjugoituja suhteessa kiinteisiin pisteisiin. Involuutiota, jossa ei ole kiinteitä pisteitä, kutsutaan elliptiseksi.

Involuutio määritellään määrittämällä kaksi paria vastaavia pisteitä.

Kolme paria täydellisen nelikulmion vastakkaisia sivuja leikkaa minkä tahansa suoran (joka ei kulje kärjen läpi) kolmessa saman involuution pisteparissa (tätä väitettä kutsutaan Desarguesin lauseeksi, vaikka sen alkuperä voidaan katsoa johtuvan Eukleideen lemasta IV Porismit Aleksandrian Pappus - matematiikan kokoelman VII osassa ) .

Kolinaatiot ja korrelaatiot

Kollineaatio on muunnos, joka siirtää pisteet pisteisiin, viivat viivoiksi ja säilyttää pisteiden ja viivojen esiintymissuhteen sekä minkä tahansa neljän kollineaarisen pisteen kaksoissuhteen. Kollineaatiot muodostavat ryhmän. Vaatimus säilyttää kollineaaristen pisteiden nelinkertainen suhde on tarpeeton, mutta sitä on vaikea todistaa. Kollineaatioita tarkastellaan yhdessä korrelaatioiden kanssa - projektitiivisen tason muunnoksia, jotka muuttavat pisteet viivoiksi ja viivat pisteiksi ja säilyttävät tulosuhteen. Esimerkki korrelaatiosta on napavastaavuus, eli kartoitus, joka vie pisteen napaansa suhteessa kartioleikkaukseen ja suoran sen napaan.

Homologia

Homologia on epäidenttinen kollineaatio, jolle on olemassa pisteittainen kiinteä viiva p , jota kutsutaan homologia-akseliksi.

Jokaiselle homologialle on olemassa kiinteä piste P (homologiakeskus), jolla on ominaisuus, että mikä tahansa siihen osuva viiva on kiinteä. Keskipisteen P ja akselin p pisteiden lisäksi kiinteiden pisteiden homologialla ei ole kiinteitä pisteitä. Jos , niin homologiaa kutsutaan paraboliseksi, muuten sitä kutsutaan hyperboliseksi. $P\in p$

Tasohomologiassa piste ja sen kuva ovat samalla suoralla linjalla homologian keskipisteen kanssa, ja viiva ja sen kuva leikkaavat homologia-akselilla.

Homologia voidaan antaa keskipisteellä, akselilla ja vastaavien viivojen parilla. Homologia voidaan määrittää myös keskustalla, akselilla jne. homologiavakio, joka eroaa . $0,1,\infty$

Katso myös

Kirjallisuus

D. A. Grave . Homografia // Encyclopedic Dictionary of Brockhaus and Efron : 86 nidettä (82 osaa ja 4 lisäosaa). - Pietari. , 1890-1907.
P.S. Aleksandrov . Analyyttisen geometrian ja lineaarisen algebran kurssi. - M .: Nauka, 1979.
R. Hartshorne. Projektiivisen geometrian perusteet. - M .: Mir, 1970.
H. S. M. Coxeter. Todellinen projektiivinen taso / toim. prof. A. A. Glagoleva. - M. , 1959.
R. Courant, G. Robbins. Mitä on matematiikka?
N.V. Efimov . Korkeampi geometria . - FizMatLit, 2003.
S. L. Pevzner . Projektiivinen geometria. Kurssin "Geometria" oppikirja fyysisten ja matemaattisten tiedekuntien II-III kurssien osa-aikaisille opiskelijoille. - M . : Koulutus, 1980.