Samankaltaisuus

Samankaltaisuus on euklidisen avaruuden muunnos , jossa mille tahansa kahdelle pisteelle ja niiden kuville on relaatio , jollekin kiinteälle , jota kutsutaan samankaltaisuuskertoimeksi . $A$ $B$ $A'$ $B'$ $|A'B'|=k\cdot |AB|$ $k\neq 0$

Samankaltaisuuden käsite määritellään samalla tavalla metrisille avaruksille, Riemannin avaruksille (katso kohta Yleistykset ).

Historia

Samanlaisia lukuja pidettiin muinaisessa Kreikassa 5.-4. vuosisadalla eKr.; ne esiintyvät Hippokrateen Khioksen kirjoituksissa , Tarentumin Arkhytasen , Knidoksen Eudoxuksen kirjoituksissa ja Eukleideen elementtien kirjassa VI .

Erikoistapaukset

Homoteetia on samankaltaisuus, jolla on kiinteä piste ja joka säilyttää orientaation .
Liike on samankaltaisuusmuunnos kertoimella, eli tason muunnos, joka säilyttää etäisyydet. $k = 1$

Aiheeseen liittyvät määritelmät

Figuuria kutsutaan kuvion kaltaiseksi, jos on olemassa samankaltaisuusmuunnos, jolle . $F$ $F'$ $F\mapsto F'$
- Kuvien samankaltaisuus on ekvivalenssirelaatio .
- Samankaltaisuuden osoittamiseksi käytetään yleensä kuvaketta - tarkoittaa, että luvut ja ovat samanlaisia. $\sim$ $F\sim F'$ $F$ $F'$

Samankaltaisuusmenetelmä

Kuvioiden samankaltaisuutta sovelletaan monien rakennusongelmien ratkaisuun .

Samankaltaisuusmenetelmä koostuu siitä, että käyttämällä jotakin ongelman dataa ensin rakennetaan halutun kaltainen kuvio ja siirrytään sitten haluttuun. Tämä menetelmä on erityisen kätevä, kun vain yksi määrä on pituus ja kaikki muut suureet ovat joko kulmia tai viivojen suhteita.

Klassinen esimerkki samankaltaisuusongelmasta on ympyrän rakentaminen, joka tangentti tietyn kulman kahta sivua ja kulkee tietyn pisteen läpi. [yksi]

Ominaisuudet

Samankaltaisuus on euklidisen avaruuden yksi-yhteen kartoitus itseensä.
Samankaltaisuus on tason affiinimuunnos.
Samankaltaisuus säilyttää pisteiden järjestyksen viivalla, eli jos piste on pisteiden ja , , - niitä vastaavien kuvien välissä jollain samankaltaisella tavalla, niin se on myös pisteiden ja välillä . $B$ $A$ $C$ $B'$ $A'$ $C'$ $B'$ $A'$ $C'$
Pisteet, jotka eivät ole suoralla linjalla, menevät samankaltaisina pisteisiin, jotka eivät ole yhdellä suoralla.
Samankaltaisuus muuttaa suoran suoraksi, janan janaksi, säteen säteeksi, kulman kulmaksi, ympyrän ympyräksi.
Samankaltaisuus säilyttää käyrien väliset kulmat.
Samankaltaisuus kertoimen kanssa , joka muuttaa jokaisen rivin sen kanssa samansuuntaiseksi linjaksi, on homoteettia kertoimen tai kanssa . $k\not=1$ $k$ $-k$
- Jokaista samankaltaisuutta voidaan pitää liikkeen koostumuksena ja jonkinlaisena homoteettina positiivisella kertoimella. $D$ $\Gamma$
- Samankaltaisuutta kutsutaan oikeaksi ( epäproper ), jos liike on oikea (epäproper). Oikea samankaltaisuus säilyttää kuvioiden suunnan, kun taas väärä samankaltaisuus kääntää suunnan. $D$
Euklidisen geometrian kaksi kolmiota ovat samanlaisia, jos
- niiden kulmat ovat yhtä suuret tai
- sivut ovat verrannollisia. Katso myös Kolmioiden samankaltaisuuden merkit .
Samankaltaisten kuvioiden pinta-alat ovat verrannollisia niiden samankaltaisten viivojen (esim. sivujen) neliöihin. Siten ympyröiden pinta-alat ovat verrannollisia niiden säteiden neliöiden suhteeseen.

Yleistykset

Samankaltaisuus määritellään samalla tavalla (yllä mainitut ominaisuudet säilyttäen) 3-ulotteisessa euklidisessa avaruudessa sekä n-ulotteisessa euklidisessa ja pseudoeuklidisessa avaruudessa .

Metrisissä avaruudessa sekä -ulotteisissa Riemann- , pseudo-Riemannin- ja Finsler - avaruuksissa samankaltaisuus määritellään muunnokseksi, joka vie avaruuden metriikan itseensä vakiotekijään asti. $n$

Kaikkien n-ulotteisen euklidisen, pseudoeuklidisen, Riemannin, pseudo-Riemannin tai Finsler-avaruuden yhtäläisyyksien joukko muodostaa Lie-muunnosten ryhmän , jota kutsutaan vastaavan avaruuden samanlaisten (homoteettisten) muunnosten ryhmäksi. Jokaisessa tämän tyyppisessä avaruudessa samankaltaisten Lie-muunnosten -termiryhmä sisältää -termi normaalin liikkeiden aliryhmän . $r$ $r$ $(r-1)$

Katso myös

Muistiinpanot

↑ A. P. Kiselev . Perusgeometria / toimittanut N. A. Glagolev . – 1938.

Linkit

Geometristen kuvioiden yhtäläisyys ja samankaltaisuus .
Grave D. A. Homoteettiset hahmot // Encyclopedic Dictionary of Brockhaus and Efron : 86 osassa (82 osaa ja 4 lisäosaa). - Pietari. , 1890-1907.
Samankaltaisuus // Mathematical Encyclopedia : [5 osassa] / Ch. toim. I. M. Vinogradov . - M . : Soviet Encyclopedia, 1984. - T. 4: Ok - Slo. - S. 373. - 1216 jne. : sairas. - 150 000 kappaletta.

Sanakirjat ja tietosanakirjat	Iso venäläinen Brockhaus ja Efron Britannica (verkossa)
Bibliografisissa luetteloissa	NKC : ph317228