Differentiaalinen muoto

Järjestyksen differentiaalimuoto tai -muoto on vinosymmetrinen tensorikenttä , jonka tyyppi on jakosarjassa . $k$ $k$ $(0,k)$

Differentiaaliset muodot otti käyttöön Eli Cartan 1900-luvun alussa.

Differentiaalimuotojen formalismi osoittautuu käteväksi monilla teoreettisen fysiikan ja matematiikan aloilla, erityisesti teoreettisessa mekaniikassa, symplektisessä geometriassa , kvanttikenttäteoriassa .

Jakotukin -muotojen tila on yleensä merkitty . $k$ $M$ $\Omega ^{k}(M)$

Määritelmät

Invariantti

Differentiaaligeometriassa asteen differentiaalinen muoto tai yksinkertaisesti -muoto on jakotukin kotangenttinipun tasainen leikkaus eli :n ulkoasteen aste . Erityisesti, $k$ $k$ $\wedge ^{k}T^{*}M$ $k$

-muodon arvo tangenttivektorikenttien joukossa on funktio monissa. $k$ $k$
-muodon arvo moniston pisteessä on vinossa-symmetrinen -lineaarinen funktio . $k$ $x$ $k$ $T_{x}M$

Paikallisten karttojen kautta

$k$ -form on seuraavan muodon lauseke $\mathbb {R} ^{n}$

\omega =\sum _{{1\leqslant i_{1}<i_{2}<\ldots <i_{k}\leqslant n}}f_{{i_{1}i_{2}\ldots i_{k} }}(x^{1},\ldots ,x^{n})\,dx^{{i_{1}}}\wedge dx^{{i_{2}}}\wedge \ldots \wedge dx^ {{i_{k}}}

missä ovat sileät funktiot, on th koordinaatin differentiaali (vektorin funktio, joka palauttaa koordinaatin numerolla ), ja on ulkotulo . Kun koordinaatteja muutetaan, tämä näkymä muuttaa muotoa. $f_{{i_{1}i_{2}\ldots i_{k}}}$ $dx^{i}$ $i$ $x^i$ $i$ $\kiila$

Tasaisessa jakosarjassa k-muodot voidaan määritellä karttojen muodoiksi, jotka ovat yhdenmukaisia liimauksissa (tarkka johdonmukaisuuden määritelmä, katso monisto ).

Aiheeseen liittyvät määritelmät

-muodolle sen ulkoinen differentiaali (myös vain differentiaali ) on -muoto , koordinaateissa , joilla on muoto $k$ $\omega$ $(k+1)$ $d\omega =\sum _{1\leqslant i_{1}<i_{2}<\ldots <i_{k}\leqslant n}{\frac {\partial f_{i_{1}i_{2 }\ldots i_{k))}{\partial x^{j}}}(x^{1},\pisteet ,x^{n})\,dx^{j}\kiila dx^{i_{1 }}\wedge dx^{i_{2}}\wedge \ldots \wedge dx^{i_{k}}$

Invariantille differentiaalin määritelmälle on tarpeen määritellä funktioiden differentiaali eli -muodot, sitten -muotojen differentiaali, jonka jälkeen differentiaali jatkaa mielivaltaisiin muotoihin -lineaarisuuden ja asteikolla olevan Leibnizin säännön mukaan : $0$ $yksi$ $R$
- $dF(v)=v(F)$ — funktion differentiaalin arvo tangenttivektorikentässä on funktion derivaatta pitkin kenttää .
- $d\omega (u,v)=u(\omega (v))-v(\omega (u))-\omega ([u,v])$ - muodon differentiaalin arvo vektorikenttäparilla on lomakkeen johdettujen arvojen erotus kentässä toisessa, korjattuna
kommutaattorin lomakkeen arvolla . $yksi$
$\ d(\omega ^{k}\wedge \vartheta ^{p})=(d\omega ^{k})\wedge \vartheta ^{p}+(-1)^{{k}}\omega ^ {k}\kiila (d\vartheta ^{p})$ missä yläindeksit ja osoittavat vastaavien muotojen järjestystä. $k$ $s$

Differentiaalimuotoa kutsutaan suljetuksi , jos sen ulompi differentiaali on 0.

k - muotoa kutsutaan eksakiksi , jos se voidaan esittää jonkin -muodon differentiaalina.

(k-1)

Tarkkojen k -muotojen suljettujen k - muotojen osamääräryhmää kutsutaan -ulotteiseksi de Rham -kohomologiaryhmäksi . De Rhamin lause sanoo, että se on isomorfinen k - ulotteisen singulaarikohomologiaryhmän kanssa .

H_{{dR}}^{k}={\bar \Omega }_{{k}}/d\Omega _{{k-1}}

k

Potenttimuodon sisäistä derivaatta vektorikentän suhteen (myös vektorikentän korvaaminen muodolla ) on nimeltään muoto

\omega

n

\mathbf{v}

i_{{\mathbf {v}}}\omega (u_{1},\pisteet ,u_{{n-1}})=\omega ({\mathbf {v}}),u_{1},\pisteet , u_{{n-1}})

Ominaisuudet

Se pätee mihin tahansa muotoon . $d(d\omega )=0$

Ulkoinen differentiaatio on lineaarinen ja täyttää Leibnizin säännön : $d(\omega ^{k}\wedge \omega ^{p})=(d\omega ^{k})\wedge \omega ^{p}+(-1)^{k}\omega ^ {k}\wedge (d\omega ^{p})$

Sisäinen derivaatta on lineaarinen ja täyttää asteittaisen Leibnizin säännön : $i_{X}(\omega ^{k}\wedge \omega ^{p})=(i_{X}\omega ^{k})\wedge \omega ^{p}+(-1)^ {k}\omega ^{k}\wedge (i_{X}\omega ^{p})$

Cartan kaavat. Mielivaltaiselle muodolle ja vektorikentille seuraavat suhteet pätevät $\omega$ ${\näyttötyyli X,Y,Z}$ ${\mathcal {L}}_{X}d\omega =d{\mathcal {L}}_{X}\omega ,$ ${\mathcal {L}}_{X}\omega =i_{X}d\omega +di_{X}\omega ,$ ( Cartanin maaginen kaava ) ${\mathcal {L}}_{X}{\mathcal {L}}_{Y}\omega -{\mathcal {L}}_{Y}{\mathcal {L}}_{X} \omega ={\mathcal {L}}_{[X,Y]}\omega ,$ ${\mathcal {L}}_{X}i_{Y}\omega -i_{Y}{\mathcal {L}}_{X}\omega =i_{[X,Y]}\omega ,$ $i_{X}i_{Y}\omega +i_{Y}i_{X}\omega =0,$

jossa tarkoittaa Lie derivaatta .

\mathcal{L}

Esimerkkejä

Tensorianalyysin näkökulmasta 1-muoto ei ole muuta kuin kovektorikenttä eli 1-kertainen kovarianttitensori , joka annetaan jokaisessa moniston pisteessä ja joka kuvaa tangenttiavaruuden alkiot reaalilukujen joukkoon. numerot : $s$ $M$ $T_{p}(M)$ $\mathbb {R}$ $\omega (p)\colon T_{p}(M)\rightarrow \mathbb{R}$
Tilavuusmuoto on esimerkki -muodosta -ulotteisessa monistossa . $n$ $n$
Symplektinen muoto on suljettu 2-muoto -jakosarjassa siten, että . $\omega$ $2n$ $\omega ^{n}\not =0$

Sovellukset

Vektorianalyysi

Differentiaalimuodot mahdollistavat vektorianalyysin perusoperaatioiden kirjoittamisen koordinaatti-invarianttimuotoon ja yleistämisen minkä tahansa ulottuvuuden avaruuteen. Olkoon kanoninen isomorfismi tangentti- ja kotangenttiavaruuksien välillä ja Hodge-dualityoperaattori ( joka erityisesti kolmiulotteisessa avaruudessa toteuttaa isomorfismin 2-muotojen ja vektorikenttien välillä sekä skalaarien ja pseudoskalaarien välillä). Sitten roottori ja divergenssi voidaan määritellä seuraavalla tavalla: $minä$ $*$

\operaattorin nimi {rot}\,v=*\,d\,I(v)

\operaattorin nimi {div}\,v=*^{{-1}}d\,*(v)

Differentiaalimuodot sähködynamiikassa

Maxwellin sähködynamiikka on erittäin tyylikkäästi muotoiltu 4-ulotteisen aika-avaruuden differentiaalisten muotojen suhteen. Tarkastellaan sähkömagneettisen kentän tensoria vastaavaa Faraday 2 -muotoa :

{\textbf {F}}={\frac {1}{2}}F_{{ab}}\,({\mathrm d}}x^{a}\wedge {{\mathrm d}}x^{ b}.

Tämä muoto on rakenneryhmän U(1) triviaalipääkimpun kaarevuusmuoto , jolla voidaan kuvata klassista sähködynamiikkaa ja mittariteoriaa . Virran 3-muodolla, joka on kaksoisvirran tavanomaisen 4-vektorin kanssa, on muoto

{\textbf {J}}=J^{a}\varepsilon _{{abcd}}\,({\mathrm d}}x^{b}\wedge {{\mathrm d}}x^{c}\ kiila {{\mathrm d}}x^{d}.

Tässä merkinnässä Maxwellin yhtälöt voidaan kirjoittaa erittäin tiiviisti muodossa

{\mathrm {d}}\,{{\textbf {F}}}={\textbf {0}}

{\mathrm {d}}\,{*{\textbf {F}}}={\textbf {J}}

missä on Hodge star -operaattori . Yleisen mittariteorian geometria voidaan kuvata samalla tavalla. $*$

2-muotoa kutsutaan myös Maxwell 2-muodoksi . $*{\mathbf {F}}$

Hamiltonin mekaniikka

Differentiaalimuotojen avulla voidaan muotoilla Hamiltonin mekaniikka puhtaasti geometrisesti. Tarkastellaan symplektistä monistoa , jossa on symplektinen muoto ja sille annettu funktio , jota kutsutaan Hamilton-funktioksi . määrittää kussakin pisteessä kotangentti- ja tangenttiavaruuksien isomorfismin säännön mukaisesti $M$ $\omega$ $H$ $\omega$ $X\in M$ $minä$ $T_{{X}}^{{*}}M$ $T_{{X}}M$

dH({\mathbf {u}})=\omega (IdH,{\mathbf {u}}),~~\forall {\mathbf {u}}\in T_{{X}}M

missä on funktion differentiaali . Monistossa olevaa vektorikenttää kutsutaan Hamiltonin kentällä ja vastaavaa vaihevirtaa Hamiltonin virtaukseksi . Hamiltonin faasivirtaus säilyttää symplektisen muodon ja säilyttää siksi kaikki ulkoiset voimansa . Tämä tarkoittaa Liouvillen lausetta . Funktioiden ja päälle Poisson-hakasulku määräytyy säännön mukaan $dH$ $H$ $IdH$ $F$ $G$ $M$

[F,G]=\omega (IdF,IdG)

Muunnelmia ja yleistyksiä

Reaaliarvoisten ja kompleksiarvoisten muotojen lisäksi huomioidaan usein myös differentiaalimuodot, joiden arvot ovat vektorinipuissa . Tässä tapauksessa jokaisessa pisteessä annetaan tangenttikimmun vektorien monilineaarinen antisymmetrinen funktio, joka palauttaa vektorin tämän pisteen yläpuolella olevasta kerroksesta. Muodollisesti ulommat k -muodot, joilla on arvot vektorinipussa , määritellään nippujen tensoritulon osuuksiksi $k$ $M$ $\pi \kaksoispiste E\-M$

\left(\bigwedge ^{k}T^{*}M\oikea)\otimes _{{M}}E

Vektoriarvoisten differentiaalimuotojen erikoistapaus on tangentiaaliarvoiset muodot , joiden määrittelyssä tangenttikimppu otetaan vektorinipuksi . $TM$

Kirjallisuus

Arnold VI Klassisen mekaniikan matemaattiset menetelmät. - 5. painos, stereotyyppinen. - M. : Pääkirjoitus URSS, 2003. - 416 s. - 1500 kappaletta. — ISBN 5-354-00341-5 .
Godbillon K. Differentiaaligeometria ja analyyttinen mekaniikka. - M .: Mir, 1973.
Dubrovin B. A., Novikov S. P. , Fomenko A. T. Moderni geometria. Menetelmät ja sovellukset. - M .: Nauka, 1971.
Cartan A. Differentiaalilaskenta. erilaiset muodot. - M .: Mir, 1971.
Postnikov M. M. Geometrian luentoja. Lukukausi III. Sileät jakoputket. - M .: Nauka, 1987.
Buldyrev VS, Pavlov BS Lineaarinen algebra ja monien muuttujien funktiot. - L . : Leningradin yliopiston kustantamo, 1985.

Katso myös

Differentiaalilaskenta

Main

yksityiset näkymät

Differentiaalioperaattorit
( eri koordinaateissa )

Ensimmäinen tilaus	Nabla operaattori Kaltevuus Eroaminen Roottori Helmholtzian
toinen tilaus	Elliptinen operaattori Laplacen operaattori Laplace-vektorioperaattori D'Alembert-operaattori Laplace-Beltrami operaattori
korkeammat tilaukset	Hypoelliptinen operaattori

liittyvät aiheet