Grothendieckin ryhmä

Grothendieck-ryhmä on abstrakti algebrakonsepti, jolla on lukuisia sovelluksia, mukaan lukien esitysteoria , algebrallinen geometria ja K-teoria. Nimetty ranskalaisen matemaatikon Alexander Grothendieckin mukaan, joka esitteli käsitteen 1950-luvun puolivälissä.

Antaa olla kommutatiivinen monoidi , eli kommutatiivinen puoliryhmä , jossa on neutraali elementti . Kutsutaan lisäksi operaatiota . Monoidin Grothendieck-ryhmä (yleensä merkitty tai ) on Abelin ryhmä, joka on (tietyssä mielessä) monoidin laajennus ryhmään, ts. se sallii summan lisäksi myös erotuksen operaatioon. kaksi elementtiä. $M$ $M$ $M$ $K$ $K_{0}$ $M$

Yleinen ominaisuus

Epävirallisesti sanottuna kommutatiivisen monoidin Grothendieck-ryhmä on universaali tapa tehdä Abelin ryhmä monoidista, "ryhmittää" monoidi.

Olkoon kommutiivinen monoidi. Silloin sen Grothendieck-ryhmällä on oltava seuraava universaali ominaisuus : on olemassa monoidihomomorfismi $M$ $K$

i\colon M\rightarrow K

niin että mille tahansa monoidihomomorfismille

f\colon M\rightarrow A

Abelin ryhmässä on ainutlaatuinen Abelin ryhmien homomorfismi $A$

g\colon K\rightarrow A

sellasta

f=g\circ i.

Kategoriateorian kannalta funktori , joka vie kommutatiivisen monoidin Grothendieck-ryhmään , on unohtavan funktorin vasen adjuottifunktiontori Abelin ryhmien luokasta kommutatiivisten monoidien luokkaan. $M$ $K$

Selkeä määritelmä

Tarkastellaan karteesista tuloa , jonka alkiot ovat pareja , missä . Määritelmän mukaan parit vastaavat eroja , joiden summaus saadaan $M\times M$ $(a, b)$ $a,b\in M$ $(a, b)$ $ab$

{\näyttötyyli (a,b)+(a',b')=(a+a',b+b').}

Tällä tavalla määritellyllä additiolla on assosiatiivisuuden ja kommutatiivisuuden ominaisuudet (johtuen monoidin vastaavista ominaisuuksista ). $M$

Grothendieck - ryhmän määrittelemiseksi on tarpeen ottaa käyttöön ekvivalenssisuhde joukkoon , jonka alla elementit ja ovat ekvivalentteja , joiden yhtäläisyys $K$ $M\times M$ $(a, b)$ $(a',b')$

a+b'+c=a'+b+c

jollain elementillä . Reflexiivisuuden, symmetrian ja transitiivisuuden ominaisuuksien toteutuminen varmistetaan triviaalisti. Tämän määritelmän mukaan elementin ekvivalenssiluokka sisältää elementit kaikille . Tätä luokkaa kutsutaan elementtien muodolliseksi eroksi ja ja sitä merkitään . $c\in M$ $(a, b)$ ${\näyttötyyli (a+c,b+c)}$ $c\in M$ $a$ $b$ $ab$

Tällä tavalla summausoperaatiolla määritelty muodollisten erojen (ekvivalenssiluokkien) joukko muodostaa monoidin Grothendieck-ryhmän . $K$ $M$

Ryhmän neutraali (nolla) alkio on ekvivalenssiluokka, joka koostuu muotopareista kaikille mahdollisille . Elementin vastakkaisella elementillä on muoto (sekä ensimmäisessä että toisessa tapauksessa vastaavat ekvivalenssiluokat sisältyvät). $K$ ${\näyttötyyli (a,a)}$ $a \ in M$ $(a, b)$ ${\näyttötyyli (b,a)}$

On olemassa luonnollinen upottaminen , jonka avulla voimme harkita tunnuksen laajentamista . Nimittäin jokaiselle elementille on määritetty muodollinen ero , ts. elementtiluokka kaikille mahdollisille . $M\to K$ $K$ $M$ $a \ in M$ $a-0$ ${\näyttötyyli (a+c,c)}$ $c\in M$

Esimerkkejä

Yksinkertaisin esimerkki Grothendieck-ryhmästä on kokonaislukujen rakentaminen luonnollisista luvuista. Ensin tarkistetaan, että luonnolliset luvut tavallisella summauksella todellakin muodostavat kommutatiivisen monoidin. Tarkastellaan nyt Grothendieck-ryhmän konstruktion avulla luonnollisten lukujen muodollisia eroja ekvivalenssirelaation kanssa $(\mathbb {N} ,+)$ $nm$

nm\sim n'-m'\leftrightarrow n+m'=n'+m.

Nyt määritellään

n:=[n-0],

-n:=[0-n]

kaikille . Tämä konstruktio määrittelee kokonaisluvut . $n \in \mathbb N$ $\mathbb {Z}$

Linkit

Grothendieck group Arkistoitu 14. toukokuuta 2011 Wayback Machinessa PlanetMathissa .
Michael Atiyah . K-Theory, (muistiinpanoja D. W. Anderson, syksy 1964), julkaistu vuonna 1967, W. A. Benjamin Inc., New York.
Jonathan Rosenberg. Algebrallinen K-teoria ja sen sovellukset, Springer Verlag, 1994, ISBN 3-540-94248-3 .