Suhde (matematiikka)

Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 14. huhtikuuta 2022 tarkistetusta versiosta . vahvistus vaatii 1 muokkauksen .

Suhde ( latinaksi proportio "osien suhteellisuus, tasaisuus; tietty osien suhde toisiinsa") on kahden [tai useamman] lukuparin suhteiden yhtäläisyys ja ts . muodon yhtäläisyys tai muissa merkinnöissä tasa -arvo (luetaan usein seuraavasti: " koskee samalla tavalla kuin se koskee "). Tässä tapauksessa ja niitä kutsutaan äärimmäisiksi ja - keskimääräisiksi osuuden jäseniksi . Tätä suhdetta kutsutaan myös geometriseksi , eikä sitä pidä sekoittaa aritmeettisiin ja harmonisiin mittasuhteisiin . $a, b$ $c, d$ $a:b=c:d$ $\ {\frac ab}={\frac cd}$ $a$ $b$ $c$ $d$ $a$ $d$ $b$ $c$

Mittasuhteiden perusominaisuudet

Suhteen kääntäminen. Jos , niin $\ {\frac ab}={\frac cd}$ $\ {\frac ba}={\frac dc}$
Kerrotaan osuuden äärimmäiset jäsenet keskimmäisillä (ristikkäin). Jos , niin . Toisin sanoen ääritermien tulo on yhtä suuri kuin keskitermien tulo. Tätä ominaisuutta kutsutaan suhteellisuuden perusominaisuudeksi. $\ {\frac ab}={\frac cd}$ $\ad=bc$
Keski- ja ääritermin permutaatio. Jos , niin $\ {\frac ab}={\frac cd}$

\ {\frac ac}={\frac bd}

(osuuden keskimmäisten jäsenten permutaatio),

\ {\frac db}={\frac ca}

(suhteen äärijäsenten permutaatio).

Mittasuhteet kasvavat ja pienenevät. Jos , niin $\ {\frac ab}={\frac cd}$

\ {\dfrac {a+b}{b}}={\dfrac {c+d}{d}}

(osuuden lisäys),

\ {\dfrac {ab}{b}}={\dfrac {cd}{d}}

(vähentävä osuus).

Suhteiden tekeminen lisäämällä ja vähentämällä. Jos , niin $\ {\frac ab}={\frac cd}$

\ {\dfrac {a+c}{b+d}}={\frac ab}={\frac cd}

(osuuden laatiminen lisäämällä),

\ {\dfrac {ac}{bd))={\frac ab}={\frac cd}

(suhteen laatiminen vähentämällä). Todistus (suhteuttaminen yhteen- ja vähennyslaskulla)

Todistamme lisäyksenä. Ilmaisemme osuuden jäljellä olevien ehtojen kautta: . Sitten: $c$ $c={\frac {ad}{b))$

{\frac {a+c}{b+d}}={\frac {a+ad/b}{b+d}}={\frac {(ab+ad)/b}{b+ d ))={\frac {a(b+d)}{b(b+d)))={\frac {a}{b)).

Vähennyksen osalta todistus on samanlainen. ■

Historia

Ensimmäinen tunnettu yhtäläisyyden määritelmä annettiin peräkkäisten vähennyslaskujen yhtälönä [1] , nykykielellä tämä voidaan ilmaista jatkuvien murtolukujen yhtälönä suuruussuhteille. [2] Myöhemmin Eudoxus of Cnidus yksinkertaisti määritelmää, hän määritteli suhteiden tasa-arvon yhden kolmesta suhdeparista samanaikaiseksi täyttymykseksi. $a:b=c:d$

$m\cdot a>n\cdot b$ ja , $m\cdot c>n\cdot d$
$m\cdot a=n\cdot b$ ja , $m\cdot c=n\cdot d$
$m\cdot a<n\cdot b$ ja $m\cdot c<n\cdot d$

mille tahansa luonnollisten lukujen parille ja . Tämä määritelmä on annettu kirjassa Euclid's Elements . $m$ $n$

Reaalilukujen ilmaantumisen myötä ei ollut tarvetta erityiselle mittasuhteiden teorialle, muinaiset matemaatikot eivät pitäneet pituuden suhteita lukuina. Eudoxuksen määritelmää, joka on annettu hieman abstraktimmassa muodossa, käytettiin myöhemmin Dedekindin reaalilukumääritelmässä leikkauksina .

Aiheeseen liittyvät määritelmät

Aritmeettinen suhde

Kahden eron yhtäläisyyttä kutsutaan joskus aritmeettiseksi suhteeksi [3] . $ab=cd$

Harmoninen osuus

Jos geometrisessa suhteessa on keskimmäiset jäsenet yhtä suuret ja viimeinen on ero ensimmäisen ja keskimmäisen välillä, tällaista suhdetta kutsutaan harmoniseksi :. Tässä tapauksessa hajoamista kahden termin summaksi kutsutaan harmoniseksi jakoksi tai kultaleikkaukseksi [4] . $a:b=b:(ab)$ $a$ $b$ $ab$

Kolmoissäännön ongelmia

Yksinkertaisen kolmoissäännön tehtävän sisältö sisältää kaksi suhteellisella riippuvuudella toisiinsa liittyvää määrää, kun taas yhden suuren kaksi arvoa ja toisen suuren yksi vastaavista arvoista on annettu, mutta se on tarvitaan sen toisen arvon löytämiseen.

Monimutkaisen kolmoissäännön tehtäviä kutsutaan tehtäviksi, joissa useiden (useampien) suhteellisten suureiden sarjalle on löydettävä niistä yhden arvo, joka vastaa toista annettujen suureiden arvojen sarjaa [5] [6] .

Katso myös

Suhteellisuus

Muistiinpanot

↑ Aristoteleen Topeka
↑ Von Fritz, Kurt . "Metapontumin Hippasuksen löytö suhteettomuudesta". Matematiikan vuosikirjat. - 1945. - S. 242-264.
↑ Aritmeettiset mittasuhteet // Encyclopedic Dictionary of Brockhaus and Efron : 86 osassa (82 osaa ja 4 lisäosaa). - Pietari. , 1890-1907.
↑ Harmoninen osuus // Suuri Neuvostoliiton Encyclopedia : [30 osassa] / ch. toim. A. M. Prokhorov . - 3. painos - M . : Neuvostoliiton tietosanakirja, 1969-1978.
↑ Perusmatematiikan käsikirja . Haettu 8. tammikuuta 2018. Arkistoitu alkuperäisestä 8. tammikuuta 2018. (määrätön)
↑ Ongelmien ratkaiseminen yksinkertaisella kolmoissäännöllä. Tapoja ratkaista . Haettu 8. tammikuuta 2018. Arkistoitu alkuperäisestä 8. tammikuuta 2018. (määrätön)

Kirjallisuus

Van der Waerden, B. L. Heräämistiede. Muinaisen Egyptin, Babylonin ja Kreikan matematiikka. / per. maalin kanssa I. N. Veselovski. - M .: GIFML, 1959.