Mahlerin hypoteesi

Mahlerin hypoteesi on lukuluokituksen metrisen teorian hypoteesi lähes kaikkien lukujen "transsendenssin mittarin" suuruudesta. Sen muotoili K. Mahler vuonna 1932 [1] Todisti V. G. Sprindzhuk vuonna 1965 [2] [3]

Sanamuoto

Harkitse nollan likiarvoja kokonaislukupolynomien arvoilla argumenttiarvoille , jotka ovat todellisia tai kompleksilukuja, ja kiinteille . Kutsutaan polynomin korkeutta arvoksi ja oletetaan, että se kasvaa. Merkitään . Tässä minimi otetaan kaikkiin kokonaislukupolynomeihin , joiden aste on enintään , korkeus enintään ja ehdolla . Merkitään . Antaa olla transsendenttinen luku. Otetaan käyttöön merkintä: — reaaliluvuille, — kompleksiluvuille, , missä , , missä . ${\displaystyle P(x)=a_{0}+a_{1}x+\ldots +a_{n}x^{n))$ $\omega$ $n=1,\;2,\;\ldots$ $h(P)=\max(|a_{0}|,\;|a_{1}|,\;\ldots ,\;|a_{n}|)$ $w_{n}(\omega ,H)=\min |P(\omega )|$ $P$ $n$ $H$ $P(\omega )\neq 0$ $w_{n}(\omega )={\overline {\lim _{H\to \infty ))}{\dfrac {\ln {\dfrac {1}{w_{n}(\omega ,H )))}{\ln H))$ $w(\omega )={\overline {\lim _{H\to \infty }}}{\frac {1}{n}}w_{n}(\omega )$ $\omega$ $\Theta _{n}(\omega )={\frac {1}{n}}w_{n}(\omega )$ $\eta _{n}(\omega )={\frac {1}{n}}w_{n}(\omega )$ $\Theta (\omega )=\sup _{(n)}\Theta _{n}(\omega )$ $n=1,\;2,\;\ldots$ $\eta (\omega )=\sup _{(n)}\eta _{n}(\omega )$ $n=2,\;3,\;\ldots$

Mahlerin oletuksen mukaan , [4] . $\Theta (\omega )=1$ $\eta (\omega )={\frac {1}{2))$

Todiste

Todiste on artikkelissa [3] .

Muistiinpanot

↑ Mahler K. Zur Approximation der Exponentialfunction und des Logarithmus // I, II J. reine und angew. Matematiikka. - 1932. - v. 166. - S. 118-136, 137-150.
↑ Sprindzhuk V. G. Todiste K. Mahlerin olettamuksesta kompleksisten S -lukujen joukon mittaa koskevista mitoista // Uspekhi Mat . Nauk . - 1964. - T. 19, nro 2. - S. 191-194.
↑ 1 2 Sprindzhuk V. G. Todistus Mahlerin olettamuksesta S -lukujoukon mittaa koskevista mitoista // Izv. Neuvostoliiton tiedeakatemia, ser. matto. - 1965. - V. 29, nro 2. - S. 379-436. - URL: http://mi.mathnet.ru/izv2913
↑ Sprindzhuk, 1967 , s. yksitoista.

Kirjallisuus

Sprindzhuk VG Mahlerin ongelma metrilukuteoriassa. - Minsk: Tiede ja tekniikka, 1967. - 184 s.