Kreivi Erdős - Diophantus

Erdős-Diophantus-graafi on joukko tason pisteitä kokonaislukukoordinaateilla, joiden väliset etäisyydet ovat kokonaislukuja ja joita ei voida laajentaa lisäämällä muita pisteitä. Vastaavasti tätä joukkoa voidaan kuvata täydellisenä graafina , jossa on pisteet kokonaislukuhilassa siten, että kärkien väliset parittaiset etäisyydet ovat kokonaislukuja, kun taas kaikilla hilan muilla pisteillä on ei-kokonaislukuetäisyys vähintään yhteen kärkeen.

Erdős-Diophantuksen kreivit on nimetty Pal Erdősin ja Diophantuksen Aleksandrialaisen mukaan . Graafit muodostavat osajoukon diofantiinikuvioita , jotka määritellään täydellisiksi kuvaajiksi diofantiinitasolla , jossa kaikilla reunoilla on kokonaislukupituudet. Silloin Erdős-Diophantine -kaaviot ovat täsmälleen diofantiinilukuja, joita ei voida laajentaa. Erdős-Diofantine-graafien olemassaolo seuraa Erdős-Anningin lauseesta , jonka mukaan äärettömien diofantiinilukujen tulee olla kollineaarisia diofantiinitasolla. Siksi minkä tahansa prosessin, jossa ei-kollineaarista diofantiinihahmoa laajennetaan lisäämällä pisteitä, on saavutettava vaihe, jossa kuviota ei voida laajentaa.

Esimerkkejä

Mitä tahansa nollapisteiden joukkoa tai yhtä pistettä voidaan laajentaa triviaalisti, ja mitä tahansa kahden pisteen diofantiinijoukkoa voidaan laajentaa samalla viivalla olevilla pisteillä. Siten kaikkia diofantiinijoukkoja, joissa on alle kolme pistettä, voidaan laajentaa, joten Erdős-Diofantine-graafia, jossa on alle kolme kärkeä, ei ole olemassa.

Numeerisella haulla Koner ja Kurtz [1] osoittivat, että Erdős-Diophantus-graafit, joissa on kolme kärkeä, ovat olemassa. Pienimmän Erdős-Diophantus-kolmion sivujen pituudet ovat 2066, 1803 ja 505. Seuraavaksi suurimman Erdős-Diophantus-kolmion sivut ovat 2549, 2307 ja 1492. Molemmissa tapauksissa kolmen sivun summa on parillinen luku. Brancheva osoitti, että tämä ominaisuus pätee kaikkiin Erdős-Diophantus-kolmioihin, minkä tahansa Erdős-Diophantus-graafin suljetun polun kokonaispituus on aina parillinen.

Esimerkki neljän kärjen Erdős-Diophantine -graafista on täydellinen graafi, jonka muodostavat suorakulmion kärjet, joiden sivut ovat 4 ja 3.

Muistiinpanot

1. ↑ Kohnert, Kurz, 2007 .

Kirjallisuus

• Axel Kohnert, Sascha Kurz. Huomautus Erdős-Diophantine-kaavioista ja Diofantiini-matoista // Mathematica Balkanica. - 2007. - T. 21 , no. 1-2 . - arXiv : math/0511705 .
• Stancho Dimiev, Krassimir Markov. Gaussin kokonaisluvut ja diofantiiniluvut // Mathematics and Mathematical Education. - 2002. - T. 31 . - S. 88-95 . - . - arXiv : math/0203061 .