Dyad

Diadi on toisen asteen erikoistensori , kahden vektorin ulkotulo [1] [2] . Komponenttimerkinnässä dyadilla on muoto

\ A_{ij}=a_{i}b_{j},

Ei - koordinaattimuodossa

\mathbf {A} =\mathbf {a} \otimes \mathbf {b}

, tai vain

\mathbf {ab}

Mikä tahansa bivalenttinen tensori voidaan hajottaa enintään n diadin summaksi, missä n on alkuperäisen lineaariavaruuden ulottuvuus, koska

{\begin{bmatrix}0&\pisteet &a_{1}&\pisteet &0\\0&\pisteet &a_{2}&\pisteet &0\\\pisteet &\pisteet &\pisteet &\pisteet &\pisteet \ \0&\dots &a_{n}&\dots &0\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}a_{1}\\a_{2}\\\pisteet \\a_{n}\end{bmatrix} }\otimes {\begin{bmatrix}0&\pisteet &1&\pisteet &0\end{bmatrix}}

ja mikä tahansa matriisi voidaan esittää enintään n tällaisen "yhden sarakkeen" matriisin summana.

Esimerkki dyadista

Tarkastellaan esimerkiksi vektoriparia

\mathbf {A} =a\mathbf {i} +b\mathbf {j}

\mathbf {B} =c\mathbf {i} +d\mathbf {j} .

Silloin A:n ja B :n tensoritulo on

\mathbf {A\otimes B} =ac\mathbf {i\otimes i} +ad\mathbf {i\otimes j} +bc\mathbf {j\otimes i} +bd\mathbf {j\otimes j }

Kiertooperaattori

Bivalenttinen tensori

\mathbf {j\otimes i} -\mathbf {i\otimes j}

on operaattori tason kääntämiseksi 90° (vastapäivään). Se toimii vektorin vasemmalla puolella ja tuottaa kierron:

(\mathbf {j\otimes i} -\mathbf {i\otimes j} )\cdot (x\mathbf {i} +y\mathbf {j} )=x\mathbf {j(i} \cdot \mathbf {i)} -x\mathbf {i(j} \cdot \mathbf {i)} +y\mathbf {j(i} \cdot \mathbf {j)} -y\mathbf {i(j} \ cdot \mathbf {j)} =-y\mathbf {i} +x\mathbf {j} .

Diadien käyttö

Fysiikassa

Kaksiarvoisten tensorien yksinkertaisimpina komponentteina dyadit ovat löytäneet sovelluksen kidefysiikassa kuvattaessa kiteiden symmetriaominaisuuksia . Tämä lähestymistapa on saanut suurimman kehityksen Valko-Venäjän teoreettisen fysiikan koulun kehittämässä ns. kovariantti- tai koordinaattomassa menetelmässä .

Muistiinpanot

↑ Lipschutz, S. Lineaarinen algebra / S. Lipschutz, M. Lipson. – 4. - McGraw-Hill, 2009. - ISBN 978-0-07-154352-1 .
↑ Keller, Frank Matriisien algebralliset ominaisuudet; Transponoida; Sisä- ja ulkotuote . inf.ed.ac.uk (23. helmikuuta 2020). Haettu 6. syyskuuta 2020. Arkistoitu alkuperäisestä 23. kesäkuuta 2021. (määrätön)

Kirjallisuus

Kochin N. E. Vektorilaskenta ja tensorilaskennan alku. - 9. painos — M .: Nauka , 1965. — 424 s.
Dimitrienko Yu. I. Tensorilaskenta. - M . : Higher School , 2001. - 575 s.