Diskreetti Abel-muunnos

Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 30. huhtikuuta 2022 tarkistetusta versiosta . vahvistus vaatii 1 muokkauksen .

Diskreetti Abel-muunnos on seuraava identiteetti:

\sum \limits _{k=m}^{n}a_{k}b_{k}=a_{n}B_{n}-a_{m}B_{m-1}-\sum \limits _{k=m}^{n-1}(a_{k+1}-a_{k})B_{k},

missä , ovat sekvenssit , while ja . Tämä muunnos on nimetty norjalaisen matemaatikon Niels Henrik Abelin mukaan . Matemaattisessa analyysissä sitä käytetään Dirichlet-konvergenssitestin todistamiseen . $n\geqslant m\geqslant 1$ ${\näyttötyyli (a_{k}),(b_{k}),(B_{k})}$ $(k\in \mathbb {N} )$ ${\displaystyle B_{k}=b_{1}+b_{2}+\ldots +b_{k))$ $B_{0}=0$

Abel-muunnos on osittaisen integroinnin diskreetti vastine , ja sitä kutsutaan joskus summaksi osittain .

Todiste

Meillä on

{\begin{aligned}\sum _{k=m}^{n}a_{k}b_{k}&=\sum _{k=m}^{n}a_{k}(B_{ k}-B_{k-1})=\\&=\sum _{k=m}^{n}a_{k}B_{k}-\sum _{k=m}^{n}a_{ k}B_{k-1}=\\&=\sum _{k=m}^{n}a_{k}B_{k}-\sum _{k=m-1}^{n-1} a_{k+1}B_{k}=\\&=a_{n}B_{n}+\summa _{k=m}^{n-1}a_{k}B_{k}-\sum _ {k=m}^{n-1}a_{k+1}B_{k}-a_{m}B_{m-1}=\\&=a_{n}B_{n}-a_{m} B_{m-1}-\sum _{k=m}^{n-1}(a_{k+1}-a_{k})B_{k},\end{aligned}}

Q.E.D.