Diffraktio N raolla

N raon diffraktio on erityinen ongelma optiikassa, jossa tarkastellaan useiden rakojen diffraktiota läpäisemättömässä näytössä.

Harkitse ensin Huygensin periaatteen matemaattista esitystapaa :

\Psi =\int _{slit}{\frac {i}{r\lambda }}\Psi ^{\prime }e^{-ikr}\,dslit

Tarkastellaan N raota näytössä, joiden leveys on yhtä suuri ( a , , 0) ja niiden välinen etäisyys d x′-akselilla. Etäisyys r ensimmäisestä urasta saadaan seuraavasti: $\infty$

r=z\left(1+{\frac {\left(xx^{\alkuluku }\oikea)^{2}+y^{{\alkuluku 2))}{z^{2))}\oikea) ^{{\frac {1}{2}}}

Yleistääksesi N väliin, huomaa, että z ja y pysyvät vakioina, kun x:ää siirretään

x_{j=0\cdots n-1}^{\prime }=x_{0}^{\prime }-jd

Tällä tavalla,

r_{j}=z\left(1+{\frac {\left(xx^{\prime }-jd\oikea)^{2}+y^{\prime 2}}{z^{2 ))}\oikea)^{\frac {1}{2}}

ja summa kaikista N :stä amplitudiin:

\Psi =\sum _{j=0}^{N-1}C\int _{-{\frac {a}{2}}}^{\frac {a}{2}}e^ {\frac {ikx\left(x^{\prime }-jd\right)}{z}}e^{\frac {-ik\left(x^{\prime }-jd\right)^{2} }{2z}}\,dx^{\prime }

Huomaa, että arvo on pieni, kun otetaan huomioon Fraunhofer-diffraktio, ja saamme: ${\frac {k\left(x^{\prime }-jd\right)^{2}}{z}}$ $e^{\frac {-ik\left(x^{\prime }-jd\right)^{2}}{2z}}\noin 1$

$\psi$	$=C\sum _{j=0}^{N-1}\int _{-{\frac {a}{2}}}^{\frac {a}{2}}e^{\ frac {ikx\left(x^{\prime }-jd\right)}{z}}\,dx^{\prime }$
	$=C\sum _{j=0}^{N-1}{\frac {\left(e^({\frac {ikax}{2z}}-{\frac {ijkxd}{z}} }-e^{{\frac {-ikax}{2z}}-{\frac {ijkxd}{z}}}\right)}{\frac {2ikax}{2z}}}$
	${\displaystyle =C\sum _{j=0}^{N-1}e^{\frac {ijkxd}{z}}{\frac {\left(e^{\frac {ikax}{2z}} -e^{\frac {-ikax}{2z}}\right)}{\frac {2ikax}{2z))))$
	$=C{\frac {\sin {\frac {ka\sin \theta }{2}}}{\frac {ka\sin \theta }{2}}}\sum _{j=1}^ {N-1}e^{ijkd\sin \theta }$

Nyt käytämme seuraavaa yhtäläisyyttä:

\sum _{j=0}^{N-1}e^{xj}={\frac {1-e^{Nx}}{1-e^{x}}}.

Korvaamalla yhtälömme, saamme lausekkeen:

$\psi$	$=C{\frac {\sin {\frac {ka\sin \theta }{2}}}{\frac {ka\sin \theta }{2}}}\left({\frac {1- e^{iNkd\sin \theta }}{1-e^{ikd\sin \theta }}}\right)$
	$=C{\frac {\sin {\frac {ka\sin \theta }{2}}}{\frac {ka\sin \theta }{2}}}\left({\frac {e^ {-iNkd{\frac {\sin \theta }{2))}-e^{iNkd{\frac {\sin \theta }{2)))){e^{-ikd{\frac {\sin \ theta }{2))}-e^{ikd{\frac {\sin \theta }{2))))}\right)\left({\frac {e^{iNkd{\frac {\sin \theta }{2}}}}{e^{ikd{\frac {\sin \theta }{2}}}}}\right)$
	$=C{\frac {\sin {\frac {ka\sin \theta }{2}}}{\frac {ka\sin \theta }{2}}}{\frac {\frac {e^ {-iNkd{\frac {\sin \theta }{2))}-e^{iNkd{\frac {\sin \theta }{2)))){2i)){\frac {e^{-ikd {\frac {\sin \theta }{2))}-e^{ikd{\frac {\sin \theta }{2)))){2i))}\left(e^{i(N-1) )kd{\frac {\sin \theta }{2))}\right)$
	${\displaystyle =C{\frac {\sin \left({\frac {ka\sin \theta }{2}}\right)}{\frac {ka\sin \theta }{2}}}{\frac {\sin \left({\frac {Nkd\sin \theta }{2}}\right)}{\sin \left({\frac {kd\sin \theta }{2}}\right)))e ^{i\left(N-1\right)kd{\frac {\sin \theta }{2))))$

laitamme k :n muotoon ja edustavat kaikkia ei-värähteleviä vakioita muodossa , kuten yksirakoisessa diffraktiossa . Muistaakseni saamme vastauksen valon voimakkuudelle: ${\frac {2\pi }{\lambda ))$ $I_0$ $\langle e^{ix}{\Big |}e^{ix}\rangle \ =e^{0}=1$

I\left(\theta \right)=I_{0}\left[\operaattorinimi {sinc} \left({\frac {\pi a}{\lambda }}\sin \theta \right)\right ]^{2}\cdot \left[{\frac {\sin \left({\frac {N\pi d}{\lambda }}\sin \theta \right)}{\sin \left({\frac {\pi d}{\lambda }}\sin \theta \right)}}\right]^{2}