Todiste siitä, että kaikki hevoset ovat yksivärisiä

Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 26.11.2020 tarkistetusta versiosta . tarkastukset vaativat 2 muokkausta .

Todiste siitä, että kaikki hevoset ovat samanvärisiä,  on unkarilaisen matemaatikko Poyan [1] keksimä matemaattinen sofismi , virheellinen todiste siitä , että kaikki hevoset ovat samanvärisiä . Todistuksen tarkoituksena on osoittaa virheet, joita syntyy, kun matemaattisen induktion menetelmää käytetään väärin .

Alkuperäinen versio todisteesta

Todistuksen alkuperäinen versio sisältyy Poyan "Mathematics and Plausible Reasoning" -teoksen ensimmäisen osan VII luvun "Matemaattinen induktio" harjoituksiin. Alkuperäisessä todistuksessa emme puhu hevosten samasta väristä, vaan tyttöjen samanvärisistä silmistä:

17 . Onko jokin n luku yhtä suuri ? Sanoisit "Ei". Voimme kuitenkin yrittää todistaa päinvastaista matemaattisella induktiolla. On kuitenkin houkuttelevampaa todistaa väite: "millä tahansa n :llä tytöllä on samanväriset silmät."
Kun n = 1, väite on ilmeisen tosi (tai "merkittämätön"). Jäljelle jää siirtyminen n :stä n + 1:een. Selvyyden vuoksi siirryn 3:sta 4:ään ja jätän yleisen tapauksen sinulle. Haluan esitellä sinulle neljä tyttöä: Anna, Bella, Vera ja Galina, tai lyhyesti A , B , C ja D. Oletetaan ( n = 3), että tyttöjen A , B ja C silmät ovat samanväriset. Samalla tavalla, olettaen, tyttöjen B , C ja D silmät ovat samanväriset ( n = 3). Siksi kaikkien neljän tytön A , B , C ja D silmien tulee olla samanvärisiä. Täydellisen selvyyden vuoksi voit katsoa kaaviota

|--------| A , B , C ja D. _ |---------|

Tämä todistaa väitteen n + 1 = 4:lle, ja esimerkiksi 4:stä 5:een siirtyminen ei tietenkään ole sen vaikeampaa.

Selitä paradoksi. Voit kokeilla kokeellista lähestymistapaa, katsoa muutaman tytön silmiin.

— Poya D. Matematiikka ja uskottava päättely. — 2. painos, korjattu. - M.: Nauka, 1975. - C. 140.

"Todiste"

Todistettava väite: Kaikki hevoset ovat samanvärisiä . Tehdään todistus induktiolla .

Induktion perusta : Yksi hevonen, ilmeisesti samanvärinen (sama).

Induktiovaihe : Osoitetaan, että kaikki K -hevoset ovat aina samanvärisiä. Harkitse K + 1 joitakin hevosia. Otetaan yksi hevonen. Loput K hevosta ovat samanvärisiä induktiohypoteesin mukaan. Palautetaan poistettu hevonen ja poistetaan joku muu. Loput K -hevoset ovat jälleen samanvärisiä. Joten kaikki K + 1 -hevoset ovat samanvärisiä.

Tästä seuraa, että kaikki hevoset ovat samanvärisiä. Väite on todistettu.

Virhe todisteessa

Tässä virhe esiintyy jo kannassa: universaali kvantori ("kaikki") korvataan eksistentiaalisella kvantoijalla ("olemassa"). Toisin sanoen ristiriita syntyy, koska induktiivinen askel on totta vain . Sillä , jäljelle jääneiden hevosten tuloksena olevat joukot eivät leikkaa toisiaan, eikä väitettä, että kaikkien hevosten värit ovat yhtä suuret, ei voida tehdä.

Muistiinpanot

1. ↑ Polia George (1954). Matematiikka ja uskottava päättely. Osa 1: Induktio ja analogia matematiikassa. — Princeton, New Jersey: Princeton University Press. - s. 120. Venäjän käännös: Poya D. Matematiikka ja uskottava päättely. — 2. painos, korjattu. - M.: Nauka, 1975. - C. 140.