Luonnollinen parametrointi

Luonnollinen parametrointi (tai luonnollinen parametrointi ) - käyrän parametrointi sen kaaren pituuden mukaan. Toisin sanoen parametrina toimii käyrän kaaren pituus, mitattuna jostakin kiinteästä pisteestä O , joka voidaan valita mielivaltaisesti. Tällaista parametria kutsutaan luonnolliseksi (merkitty usein s: llä ).

Näin ollen käyrän luonnollinen parametrisointi on yksilöllisesti määritelty vertailupisteen O (vastaten luonnollisen parametrin nolla-arvoa) ja orientaation valintaan saakka, eli sen suunnan valintaan, jossa parametri kasvaa etäisyyden mukaan. O.

Määritelmä

Metrisessä avaruudessa oleva käyrä on varustettu luonnollisella parametrisoinnilla, jos kahdelle parametrin arvolle ja kaaren pituus on yhtä suuri kuin . $\gamma$ $a$ $b$ $\gamma |_{[a,b]}$ $|ba|$

Ominaisuudet

Käyrä sallii luonnollisen parametrisoinnin, jos ja vain jos se on paikallisesti korjattavissa .
Kerran differentioituvan (analyyttisen) käyrän luonnollinen parametrisointi ilman yksittäispisteitä on myös kertaa differentioituva (analyyttinen). $k$ $k$
Sädevektorin derivaatalla on yksikköpituus ja siksi se osuu yhteen tangentin yksikkövektorin kanssa, jota merkitään ${\frac {d\mathbf {r} }{ds))$ $\mathbf {v} .$
Sädevektorin toinen derivaatta on ortogonaalinen ensimmäiseen nähden, toisin sanoen ortogonaalinen käyrän tangentin suhteen tietyssä pisteessä, ja siksi se on normaali. Lisäksi se on pituudeltaan yhtäpitävä käyrän kaarevuuden kanssa ja suunnassa sen päänormaalin kanssa . ${\frac {d^{2}\mathbf {r} }{ds^{2}}}={\frac {d\mathbf {v} }{ds}}$ $k$ $\mathbf {n}$
Tasossa olevalle käyrälle yllä olevat ominaisuudet johtavat seuraaviin suhteisiin, joita kutsutaan Frenetin kaavoiksi :

{\frac {d\mathbf {v} }{ds}}=k\,\mathbf {n} ,\ \ \ {\frac {d\mathbf {n} }{ds}}=-k\ ,\mathbf {v} .

Ensimmäinen Frenetin suhteista seuraa ilmeisesti edellisestä ominaisuudesta ja kaarevuuden määritelmästä . Todistamaan toisen suhteen, käytämme identiteettejä

k

\langle \mathbf {n} (s),\mathbf {n} (s)\rangle \equiv 1,\ \ \ \langle \mathbf {n} (s),\mathbf {v} (s) \rangle \equiv 0,

jossa kolmiohakasulkeet osoittavat ympäröivän euklidisen tason skalaarituloa. Erottamalla ensimmäisen identiteetin suhteen saamme merkityksen, että vektori on yhdensuuntainen vektorin kanssa , eli jollakin skalaarikertoimella . Eriyttämällä toisen identiteetin saamme korvaamisen tästä ja saamme Näin ollen, kun otetaan huomioon , saamme sen, mikä vaadittiin todistettavaksi.