Lause järjestelmän massakeskuksen liikkeestä

Lause järjestelmän massakeskuksen (hitauskeskuksen) liikkeestä on yksi dynamiikan lauseista , seurausta Newtonin laeista . Hän väittää, että järjestelmän massakeskipisteen kiihtyvyys ei riipu järjestelmän kappaleiden välisistä sisäisistä vuorovaikutusvoimista, ja yhdistää tämän kiihtyvyyden järjestelmään vaikuttaviin ulkoisiin voimiin [ 1] [2] .

Lauseessa tarkoitettu järjestelmä voi olla mikä tahansa mekaaninen järjestelmä, esimerkiksi joukko materiaalipisteitä , laajennettu kappale tai joukko laajennettuja kappaleita.

Lauseen vakiolause

Usein järjestelmän liikettä tarkasteltaessa on hyödyllistä tietää sen massakeskuksen liikelaki. Yleisessä tapauksessa tämä laki, joka on massakeskuksen liikettä koskevan lauseen sisältö, muotoillaan seuraavasti [1] :

Todiste

Olkoon systeemi koostuva ainepisteistä, joilla on massa- ja sädevektorit . Massakeskipiste (inertiakeskus) on [1] [3] geometrinen piste, jonka sädevektori täyttää yhtälön $N$ $mi}$ $\vec r_i$ ${\vec R}_{c}$

{\vec {R}}_{c}={\frac {\displaystyle \sum \limits _{i}m_{i}{\vec {r}}_{i}}{M}}, \qquad \qquad

missä on koko järjestelmän massa, yhtä suuri kuin $M$ $\sum \limits _{i}m_{i}.$

Erottamalla kaksi kertaa ajassa massakeskuksen kiihtyvyydelle saamme: ${\vec a}_{c}$

{\vec {a}}_{c}={\frac {\displaystyle \sum \limits _{i}m_{i}{\vec {a}}_{i}}{M}}, \qquad \qquad

missä on materiaalipisteen kiihtyvyys numerolla i . ${\vec a}_{i}$

Lisätarkastelua varten jaamme kaikki järjestelmän kappaleisiin vaikuttavat voimat kahteen tyyppiin:

ulkoiset - voimat, jotka vaikuttavat kappaleista, jotka eivät sisälly tarkasteltavaan järjestelmään. Ulkoisten voimien resultantti, jotka vaikuttavat materiaalipisteeseen, jonka numero on i ja jota merkitään ; $\vec F_i$
sisäiset - voimat, joiden kanssa järjestelmän kehot ovat vuorovaikutuksessa toistensa kanssa. Voima, jolla piste, jonka numero on k , vaikuttaa pisteeseen, jonka numero on i , merkitään . Vastaavasti i :nnen pisteen iskuvoimaa k : nteen pisteeseen merkitään . Tahdon vuoksi ${\vec f}_{{i,k}}$ ${\vec f}_{{k,i}}$ $i=k$ ${\vec f}_{{i,k}}=0.$

Esitettyä merkintää käyttäen voidaan kirjoittaa muotoon Newtonin toinen laki kullekin tarkastelulle aineelliselle pisteelle

m_{i}{\vec {a}}_{i}={\vec {F}}_{i}+\sum \limits _{k}{\vec {f}}_{i, k}.\qquad \qquad

Summaamalla tällaiset yhtälöt kaikille i :lle , saamme:

\sum \limits _{i}m_{i}{\vec {a}}_{i}=\sum \limits _{i}{\vec {F}}_{i}+\sum \ rajat _{i}\sum \limits _{k}{\vec {f}}_{i,k}.\qquad \qquad

Lauseke on systeemissä vaikuttavien sisäisten voimien summa. Ottakaamme nyt huomioon, että Newtonin kolmannen lain mukaan tässä summassa jokainen voima vastaa sellaista voimaa , joka täyttyy ja. Koska koko summa koostuu tällaisista pareista, summa itse on nolla. Tällä tavalla, $\sum \limits _{i}\sum \limits _{k}{\vec f}_{{i,k}}$ ${\vec f}_{{i,k}}$ ${\vec f}_{{k,i}}$ ${\vec f}_{{i,k}}=-{\vec f}_{{k,i}}$ ${\vec f}_{{i,k}}+{\vec f}_{{k,i}}=0.$

\sum \limits _{i}m_{i}{\vec {a}}_{i}=\sum \limits _{i}{\vec {F}}_{i}.\qquad \ qquad

Lisäksi merkitsemällä ja korvaamalla tuloksena oleva lauseke yhtälöön for , pääsemme yhtälöön $\sum \limits _{i}{\vec F}_{i}={\vec F}$ ${\vec a}_{c}$

{\vec {a}}_{c}={\frac {\vec {F}}{M}}\,\,\,

tai

\,\,M{\vec {a}}_{c}={\vec {F}}.\qquad \qquad

Siten massakeskuksen liikkeen määräävät vain ulkoiset voimat, eivätkä sisäiset voimat voi vaikuttaa tähän liikkeeseen. Viimeinen kaava on järjestelmän massakeskuksen liikettä koskevan lauseen matemaattinen lauseke.

Lauseen vaihtoehtoinen muotoilu

Lopullisen kaavan muoto on täsmälleen sama kuin Newtonin toisen lain kaavan muoto. Tämä merkitsee sellaisen lauseen pätevyyttä massakeskuksen liikkeestä [1] [3] : ${\vec a}_{c}$

Massakeskuksen liikkeen säilymislaki

Ulkoisten voimien puuttuessa ja myös kun kaikkien ulkoisten voimien summa on nolla, massakeskipisteen kiihtyvyys on nolla, ja siksi sen nopeus on vakio. Näin ollen väite on totta, joka on massakeskuksen liikkeen säilymislain sisältö:

Erityisesti, jos massakeskus oli alun perin levossa, niin näissä olosuhteissa se on edelleen levossa.

Massakeskuksen liikkeen säilymisen laista seuraa, että suljetun järjestelmän massakeskukseen liittyvä vertailukehys on inertia. Tällaisten vertailujärjestelmien käyttö suljettujen järjestelmien mekaanisten ominaisuuksien tutkimuksessa on edullista, koska tällä tavalla järjestelmän yhtenäinen ja suoraviivainen liike kokonaisuutena jätetään huomioimatta.

On tapauksia, joissa ulkoisten voimien summa ei ole nolla, mutta sen projektio mihin tahansa suuntaan on nolla. Tässä tapauksessa massakeskuksen kiihtyvyyden projektio tähän suuntaan on myös nolla, ja vastaavasti massakeskuksen nopeus tähän suuntaan ei muutu.

Lauseen merkitys

Todistettu lause laajentaa ja perustelee mahdollisuuksia käyttää aineellisen pisteen käsitettä kappaleiden liikkeen kuvaamiseen. Itse asiassa, jos kappale liikkuu translaationaalisesti, sen liikkeen määrää täysin massakeskuksen liike, jota puolestaan kuvaa tuloksena oleva yhtälö . Näin ollen progressiivisesti liikkuvaa kappaletta voidaan aina pitää aineellisena pisteenä, jonka massa on yhtä suuri kuin kappaleen massa, riippumatta sen geometrisista mitoista. Lisäksi kehoa voidaan pitää aineellisena pisteenä kaikissa niissä tapauksissa, joissa kehon pyöriminen ongelman olosuhteiden vuoksi ei kiinnosta ja kehon asennon määrittämiseen riittää sen massakeskipisteen sijainti. ${\vec a}_{c}$

Lauseen käytännön arvo piilee siinä, että kun ratkaistaan massakeskuksen liikkeen luonteen määrittämisongelma, sen avulla voit sulkea kaikki sisäiset voimat kokonaan huomioon.

Historia

Massakeskuksen liikkeen säilymisen lain muotoili Isaac Newton kuuluisassa teoksessaan "The Mathematical Principles of Natural Philosophy ", joka julkaistiin vuonna 1687 . I. Newton kirjoitti: "Kahden tai useamman kappaleen järjestelmän painopiste, joka johtuu toistensa kanssa olevien kappaleiden vuorovaikutuksesta, ei muuta sen lepo- tai liiketilaa; siksi kaikkien toisiinsa vaikuttavien kappaleiden järjestelmän painopiste (ilman ulkoisia toimia ja esteitä) on joko levossa tai liikkuu tasaisesti ja suoraviivaisesti” [4] . Edelleen hän päätteli: "Täten yksittäisen kappaleen tai kappaleiden järjestelmän translaatioliikemäärä on aina laskettava niiden painopisteen liikkeestä" [4] .

Katso myös

Muistiinpanot

↑ 1 2 3 4 Targ S. M. Teoreettisen mekaniikan lyhyt kurssi. - M . : Higher School, 1995. - S. 273-280. — 416 s. — ISBN 5-06-003117-9 .
↑ Sivukhin D.V. Fysiikan yleinen kurssi. - M .: Fizmatlit; MIPT Publishing House, 2005. - T. I. Mechanics. - S. 115-116. - 560 s. — ISBN 5-9221-0225-7 .
↑ 1 2 Targ S. M. Inertiakeskus (massakeskiö) // Fysikaalinen tietosanakirja : [5 osassa] / Ch. toim. A. M. Prokhorov . - M . : Great Russian Encyclopedia , 1999. - V. 5: Stroboskooppiset laitteet - Kirkkaus. - S. 624-625. — 692 s. - 20 000 kappaletta. — ISBN 5-85270-101-7 .
↑ 1 2 Isaac Newton . Luonnonfilosofian matemaattiset periaatteet = Philosophia naturalis principia matematica / A. N. Krylovin käännös latinasta ja muistiinpanot . - M .: Nauka, 1989. - S. 45-49. — 688 s. - (tieteen klassikot). - ISBN 5-02-000747-1 .