Lause systeemin liike-energiasta

Järjestelmän kineettistä energiaa koskeva lause on yksi dynamiikan yleisistä lauseista [1] , on seurausta Newtonin laeista . Yhdistää mekaanisen järjestelmän kineettisen energian järjestelmän muodostaviin kappaleisiin vaikuttavien voimien työhön . Kyseinen järjestelmä voi olla mikä tahansa mekaaninen järjestelmä, joka koostuu mistä tahansa kappaleesta [2] [3] .

Lauseen lause

Järjestelmän kineettinen energia on järjestelmän kaikkien kappaleiden kineettisten energioiden summa. Tällä tavalla määritellylle arvolle lause [2] [3] on tosi :

Lause sallii yleistyksen ei-inertiaalisten viitekehysten tapaukseen . Tässä tapauksessa siirrettävien hitausvoimien työ on lisättävä kaikkien ulkoisten ja sisäisten voimien työhön ( Corioliksen hitausvoimat eivät voi tuottaa työtä) [4] .

Lauseen todistus

Tarkastellaan materiaalipisteiden järjestelmää, jossa on massat , nopeudet ja kineettiset energiat . Pienelle kineettisen energian ( ero ) muutokselle , joka tapahtuu jonkin pienen ajanjakson aikana , $mi$ $\vec v_i$ $T_{i}={\frac {1}{2}}m_{i}{v_{i}}^{2}$ $dt,$

dT_{i}=m_{i}{\vec {v}}_{i}d{\vec {v}}_{i}=m_{i}{\vec {v}}_{i }{\frac {d{\vec {v}}_{i}}{dt}}dt.

Ottaen huomioon mikä on i : nnen pisteen kiihtyvyys ja onko saman ajan pisteen liike , tuloksena oleva lauseke voidaan kirjoittaa seuraavasti: ${\frac {d{\vec {v}}_{i}}{dt}}$ ${\vec {a}}_{i}$ ${\vec {v}}_{i}dt$ $d{\vec {s}}_{i}$ $dt$

dT_{i}=m_{i}{\vec {a}}_{i}d{\vec {s}}_{i}.

Käyttämällä Newtonin toista lakia ja merkitsemällä kaikkien pisteeseen vaikuttavien voimien resultanttia saamme ${\näyttötyyli F_{i))$

dT_{i}={\vec {F}}_{i}d{\vec {s}}_{i},

ja sitten työn määritelmän mukaan ${\näyttötyyli dA_{i))$

dT_{i}=dA_{i}.

Kaikkien tämän tyyppisten yhtälöiden summa, joka on kirjoitettu kullekin materiaalipisteelle, johtaa kaavaan järjestelmän kokonaiskineettisen energian muuttamiseksi:

dT=\sum \limits _{i}dA_{i}.

Tämä yhtälö ilmaisee lauseen väitteen järjestelmän liike-energian muutoksesta differentiaalimuodossa.

Integroimalla saadun yhtälön molemmat osat mielivaltaisesti otetulla aikavälillä joidenkin ja välillä saadaan lauseke liike-energian muutoksista integraalimuodossa: $t_{1}$ $t_{2}$

T_{2}-T_{1}=\sum \limits _{i}A_{i},

missä ja ovat järjestelmän kineettisen energian arvot ajanhetkellä ja vastaavasti. $T_{1}$ $T_{2}$ $t_{1}$ $t_{2}$

On korostettava, että toisin kuin järjestelmän liikemäärän muutosta ja järjestelmän massakeskuksen liikettä koskevassa lauseessa , ei vain ulkoisten, vaan myös sisäisten voimien vaikutus. otetaan huomioon.

Mekaanisen energian säilymislaki

Erityisen kiinnostavia ovat järjestelmät, joissa potentiaaliset voimat vaikuttavat kappaleisiin [5] . Tällaisille voimille otetaan käyttöön potentiaalienergian käsite , jonka muutos yhden aineellisen pisteen tapauksessa määritelmän mukaan tyydyttää suhteen:

W_{2i}-W_{1i}=-A_{pi},

missä ja ovat pisteen potentiaalienergian arvot alku- ja lopputilassa, ja on potentiaalivoiman työ, joka suoritetaan, kun piste siirtyy alkutilasta lopputilaan. ${\displaystyle W_{1i))$ ${\displaystyle W_{2i))$ $A_{pi}$

Järjestelmän potentiaalienergian muutos saadaan summaamalla järjestelmän kaikkien kappaleiden energioiden muutokset:

W_{2}-W_{1}=-\sum \limits _{i}A_{pi}.

Jos kaikki järjestelmän kappaleisiin vaikuttavat sisäiset ja ulkoiset voimat ovat potentiaalisia [6] , niin

\sum \limits _{i}A_{i}=\sum \limits _{i}A_{pi}=-(W_{2}-W_{1}).

Korvaamalla tuloksena oleva lauseke kineettisen energian lauseen yhtälöön, saadaan:

T_{2}-T_{1}=-(W_{2}-W_{1})

vai mikä on sama

T_{2}+W_{2}=T_{1}+W_{1}.

Toisin sanoen käy ilmi, että järjestelmän mekaanisella kokonaisenergialla $T+W$

T+W=const.

Näin ollen voimme päätellä:

Tämä väite on mekaanisen energian säilymislain sisältö , joka on seurausta liike-energian lauseesta ja samalla yleisen fysikaalisen energian säilymisen lain erikoistapaus [2] [3] .

Järjestelmän tapaus, jossa on ihanteelliset kiinteät rajoitukset

Tapauksissa, joissa tutkimuksen kohteena on vain järjestelmän liike, eivätkä sidosten reaktiot kiinnosta, he käyttävät ideaalisten stationaaristen sidosten järjestelmän lauseen muotoilua, joka johdetaan ottaen huomioon d' Alembert-Lagrangen periaate .

Lause systeemin liike-energiassa, jossa on ihanteelliset stationaariset sidokset, on [7] :

Lause todistetaan seuraavasti. Korvaamalla yleisessä dynamiikan yhtälössä :lla saadaan : $\delta {\vec {r}}_{k}$ ${\vec {v}}_{k}dt$

(\sum m_{k}{\vec {w}}_{k}){\vec {v}}_{k}dt=\sum {\vec {F}}_{k}{\ vec{v}}_{k}dt

tai

(d\sum m_{k}{\vec {v}}_{k}){\vec {v}}_{k}=\sum {\vec {F}}_{k}^{ ae}{\vec {v}}_{k}dt+\sum {\vec {F}}_{k}^{ai}{\vec {v}}_{k}dt

Siitä lähtien olemme vihdoin saaneet: $d{\vec {v}}_{k}{\vec {v}}_{k}=d{\frac {v_{k}^{2}}{2}}$

{\displaystyle dT=d'A^{ae}+d'A^{ai))

Näiden ilmaisujen ylemmät kuvakkeet tarkoittavat: - aktiivista (eli ei sidosten reaktiota) voimaa, ( englanniksi ulkoinen ) ja ( englanniksi sisäinen ) - vastaavasti ulkoisia ja sisäisiä voimia. ${\näyttötyyli ^{a))$ ${\näyttötyyli ^{e))$ ${\näyttötyyli ^{i))$

Katso myös

Muistiinpanot

↑ Targ S. M. Dynamics // Physical Encyclopedia : [5 osassa] / Ch. toim. A. M. Prokhorov . - M . : Neuvostoliiton tietosanakirja , 1988. - T. 1: Aharonov - Bohm-ilmiö - Pitkät rivit. - S. 616-617. — 707 s. - 100 000 kappaletta.
↑ 1 2 3 Targ S. M. Lyhyt kurssi teoreettisesta mekaniikasta. - M . : Korkeakoulu, 1995. - S. 301-323. — 416 s. — ISBN 5-06-003117-9 .
↑ 1 2 3 Zhuravlev VF Teoreettisen mekaniikan perusteet. - M . : Fizmatlit, 2001. - S. 70-71. — 319 s. — ISBN 5-95052-041-3 .
↑ Zhirnov N. I. Klassinen mekaniikka. — Sarja: oppikirja pedagogisten laitosten fysiikan ja matematiikan tiedekuntien opiskelijoille. - M., Enlightenment , 1980. - Levikki 28 000 kappaletta. - Kanssa. 262
↑ Muista, että voimia kutsutaan potentiaalisiksi, jos niiden työskentely materiaalia pistettä siirrettäessä määräytyy vain pisteen alku- ja loppusijainnin perusteella eikä se riipu liikeradan valinnasta.
↑ Eli hajoavia voimia ei ole .
↑ 1 2 Bugaenko G. A. , Malanin V. V. , Yakovlev V. I. Klassisen mekaniikan perusteet. - M .: Korkeakoulu, 1999. - S. 221-223. — ISBN 5-06-003587-5