Sulkeminen (topologia)

Sulkeminen on rakenne, joka antaa pienimmän suljetun joukon, joka sisältää tietyn topologisen avaruuden joukon .

Sarjan sulkemista merkitään yleensä muulla merkinnällä: $S$ $\baari S.$ $\operaattorin nimi {cl} (S),\operaattorin nimi {Cl} (S).$

Määritelmät

Seuraavat kaksi määritelmää ovat samanarvoisia.

Olkoon topologisen avaruuden osajoukko , jonka sulkeminen on kaikkien sisältävien suljettujen joukkojen leikkauspiste $S$ $x.$ $S$ $X$ $S.$

Kommentti. Koska mielivaltaisen suljettujen joukkojen perheen leikkauspiste on suljettu, sulkeminen on aina suljettu.

Pistettä topologisessa avaruudessa kutsutaan joukon kosketuspisteeksi , jos jokin lähiympäristö sisältää vähintään yhden joukon pisteen $x$ $X$ $S,$ $x$ $S.$

Kaikkien kosketuspisteiden joukkoa kutsutaan sulkemiseksi $S$ $S.$

Sarjan sulkeminen on suljettu.
Sarjan sulkeminen sisältää itse sarjan, eli $S\subseteq {\bar {S)).$
Joukon sulkeminen sisältää kaikki sen rajapisteet .
Joukko on suljettu silloin ja vain, jos se osuu yhteen sen sulkemisen kanssa, toisin sanoen $S=\bar{S}.$
Idempotenssiominaisuus : sulkemisoperaation toistuva käyttö ei muuta tulosta (joka seuraa välittömästi ominaisuuksista 1 ja 4) : $\bar{\bar{S}}=\bar{S}.$
Sulkeminen säilyttää pesäsuhteen, ts. $(S\subset T)\Rightarrow(\bar{S}\subset\bar{T}).$
Liiton sulkeminen on sulkemisten liitto, eli $\overline{S\cup T}=\bar{S}\cup\bar{T}.$
Risteyssulkeminen on osajoukko sulkujen risteyksestä, eli $\overline{S\cap T}\subset\bar{S}\cap\bar{T}.$

Kaikissa alla olevissa esimerkeissä topologinen avaruus on todellinen viiva siinä määritellyn vakiotopologian kanssa. $\mathbb {R}$