Maksu (mittateoria)

Charge on reaaliarvoinen äärellisesti additiivinen joukkofunktio, joka on määritelty jossain -algebrassa (esimerkiksi Borelin osajoukot ). $\sigma$

Toisin kuin tavallinen mitta, joka yleensä ymmärretään ei-negatiivisena joukkofunktiona, varaus voi saada myös negatiivisia arvoja.

Kaikkien varausten joukko mielivaltaisessa joukossa sigma-algebralla on yleensä merkitty . $X$ $\Sigma$ $\operaattorinimi {ba} (X,\;\Sigma )$

Aiheeseen liittyvät määritelmät

Positiivista varausta kutsutaan puhtaasti äärimmäiseksi additiiviseksi , jos jollekin ei-negatiiviselle laskettavasti additiiviselle suurelle seuraa, että . $\nu \in \operaattorinimi {ba} (X,\;\Sigma )$ $\mu$ $0\leqslant \mu \leqslant \nu$ $\mu=0$
- Satunnainen varaus on puhtaasti additiivinen, jos sellaisia ovat varaukset ja . $\nu ^{+}$ $\nu ^{-}$
Varaus on ehdottoman jatkuva mittaan nähden, jos $\lambda$ $\mu$ $(\forall A\in \Sigma )(\mu (A)=0\to \lambda (A)=0).$

Ominaisuudet

Kaikkien varausten joukko muodostaa normalisoidun hilan ja lisäksi parillisen -avaruuden. $K$
Jokaisella varauksella on positiivinen ja negatiivinen osa . On olemassa Hahn-Jordan laajennus , jonka avulla varausten ominaisuudet voidaan ilmaista mittateorian avulla. $\nu$ $\nu ^{+}\geqslant 0$ $\nu ^{-}\leqslant 0$ $\nu =\nu ^{+}+\nu ^{-}$
Anna . Mikä tahansa varaus voidaan esittää yksiselitteisesti summana , jossa on ehdottoman jatkuva suhteessa ja disjunktiivinen . Tällaista mittarin esitystä kutsutaan Lebesgue-laajennukseksi. $\mu \in \operaattorinimi {ba} (X,\;\Sigma )$
$\nu$ $\nu =\nu _{1}+\nu _{2}$ $\nu _{1}$ $\mu$ $\nu _{2}$ $\mu$ $\nu$
Mikä tahansa varaus voidaan esittää yksiselitteisesti summana , jossa on mielivaltainen laskettava summa ja mielivaltainen puhtaasti summautuva varaus. Tätä hajoamista kutsutaan joskus Yosida-Hewitt-hajotukseksi . $\nu \in \operaattorinimi {ba} (X,\;\Sigma )$ $\nu =\nu _{ca}+\nu _{pfa}$ ${\displaystyle \nu _{ca))$ $\nu _{pfa}$
Avaruus on topologisesti konjugoitu mitattavien ja rajoitettujen funktioiden avaruuteen, joka on määritelty annetussa mitattavassa avaruudessa. $\operaattorinimi {ba} (X,\;\Sigma )$

Historia

Termin "maksu" esitteli ensimmäisenä A. D. Aleksandrov . Varauksen tutkiminen oli sysäys äärellisesti additiivisen mittateorian kehitykselle (1940-luku).

Katso myös

Hahnin

Kirjallisuus

Dunford N., Schwartz J. Lineaariset operaattorit. Yleinen teoria. - M .: IL, 1962.
Landkof N. S. Modernin potentiaaliteorian perusteet. - M. , 1966.
Khalmosh P. Mittojen teoria. // Per. englannista. - M. , 1953.
Alexandroff AD Additiiviset joukkofunktiot abstrakteissa tiloissa I // Math. kokoelma 1940. V.8(50), N 2. P.307-348.
Alexandroff AD Additiiviset joukkofunktiot abstrakteissa tiloissa II // Math. kokoelma 1941. V.9(51), N 3. P.563-628.
Alexandroff AD Additiiviset joukkofunktiot abstrakteissa tiloissa III // Math. kokoelma 1943. V.13(55), N 2. P.169-293.
Yosida K., Hewitt E. Finitely additive mesures // Trans. amer. Matematiikka. soc. 1952.v. 72, nro 1. S. 46-66.