Puoliryhmän ideaali on puoliryhmän osajoukko , joka suljetaan kertomalla elementeillä :sta , jossa kertominen ymmärretään puoliryhmän algebrallisena operaationa.
Puoliryhmän ei -tyhjää osajoukkoa kutsutaan vasemmanpuoleiseksi ideaaliksi , jos: , missä on elementtien ja tulojen joukko .
kutsutaan oikeaksi ihanteeksi , jos: .
kutsutaan kaksipuoliseksi ihanteeksi , jos molemmat ehdot täyttyvät. Kutsutaan myös ihanteeksi, jos se on vasen tai oikea ihanne .
Satunnaisessa puoliryhmässä mille tahansa ei-tyhjälle osajoukolle tulo on oikea ideali, vasen ideaali ja kaksipuolinen ideaali.
Triviaalit ihanteet, joita millä tahansa puoliryhmällä on, ovat joukko, joka koostuu puoliryhmän nollaelementistä (jos sellainen on) ja koko puoliryhmästä.
Elementin generoiman puoliryhmän pääideaali (vasen, oikea, kaksipuolinen)on pienin ideaali (vastaavasti vasen, oikea, kaksipuolinen), joka sisältää. Vasemman, oikean ja kaksipuoleiset pääideaalit voidaan kirjoittaa kuten:
Jos puoliryhmässä on neutraali elementti, vasen, oikea, kaksipuoliset ihanteet ovat muotoa:
= = =Korostetaan muutamia tärkeimpiä ihanteita yllä olevista esimerkeistä:
1) Parillisten lukujen joukko on puoliryhmän tärkein kaksipuolinen ideaali . Koska jokainen joukon elementti on esitetty 2 :na, sen generoiva elementti on 2.
2) On osoitettu, että vakiofunktioiden joukko on superpositioon nähden kaikkien reaalifunktioiden puoliryhmän kaksipuolinen ideaali . Otetaan jokin vakiofunktio generoivaksi elementiksi. Sitten muodon joukko generoi joukon , koska se kattaa kaikki mahdolliset reaalifunktiot (riittää ottaa muodon = + , missä funktioiden joukko ), josta seuraa, että on vasen pääideaali. Ei kuitenkaan tuota , eikä siksi ole pääasiallinen oikea ihanne.