Ensimmäisen kertaluvun yksinkertaisimmat differentiaaliyhtälöt

Yksinkertaisimmat ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälöt ovat luokka ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälöitä , jotka ovat helpoimmin sovellettavissa ratkaisuun ja tutkimiseen. Se sisältää yhtälöt kokonaisdifferentiaaleissa , yhtälöt erotettavissa muuttujilla, ensimmäisen kertaluvun homogeeniset yhtälöt ja ensimmäisen kertaluvun lineaariyhtälöt . Kaikki nämä yhtälöt voidaan integroida lopulliseen muotoon.

Esityksen lähtökohtana on ensimmäisen asteen differentiaaliyhtälö, joka on kirjoitettu ns. symmetrinen muoto:

${\begin{matrix}P(t,x)dt+Q(t,x)dx=0\end{matrix}}\qquad (1),$

jossa funktiot ja ovat määriteltyjä ja jatkuvia jossain toimialueella . $P(t,x)$ $Q(t, x)$ $\Omega \subseteq {\mathbb {R}}_{{t,x}}^{2}$

Yhtälöt kokonaisdifferentiaaleissa

Jos yhtälössä (1) vasen puoli on kokonaisdifferentiaali, eli , niin tällaista yhtälöä kutsutaan kokonaisdifferentiaalien yhtälöksi (ns. Pfaff-yhtälön erikoistapaus ). Tällaisen yhtälön integraalikäyrät ovat funktion tasoviivoja, ts. määritetään yhtälöllä mielivaltaisen vakion kaikille mahdollisille arvoille . ${\begin{matrix}P(t,x)dt+Q(t,x)dx=dU(t,x)\end{matriisi))$ $U(t,x)$ $U(t,x)=C$ $C$

Jos ehto täyttyy alueella , yhtälön (1) yleinen ratkaisu määritetään yhtälöstä implisiittisenä funktiona . Ainutlaatuinen yhtälön (1) integraalikäyrä kulkee alueen jokaisen pisteen läpi . $\Omega$ $Q(t,x)\neq 0$ $U(t,x)=C$ $x=\varphi(t,C)$ $\Omega$ $x=\varphi(t,C)$

Jos tarkasteltavana oleva alue on yksinkertaisesti yhdistetty ja derivaatat ovat myös jatkuvia kohdassa , niin jotta (1) olisi yhtälö kokonaisdifferentiaaleissa, on välttämätöntä ja riittävää, että ehto $\Omega$ ${\frac {\partial P}{\partial x)),{\frac {\partial Q}{\partial t))$ $\Omega$

{\frac {\partial P}{\partial x))={\frac {\partial Q}{\partial t))\qquad \forall (t,x)\in \Omega

(yhtälön merkki kokonaisdifferentiaaleissa).

Integrointitekijä

Jatkuvaa funktiota kutsutaan yhtälön (1) integroivaksi tekijäksi , jos yhtälö on kokonaisdifferentiaalien yhtälö, eli jollekin funktiolle . Tämän yhtälön integroivien tekijöiden määrä on ääretön. $\mu (t,x)\neq 0$ $\Omega$ $\mu (Pdt+Qdx)=0$ $\mu (Pdt+Qdx)=dU$ $U(t,x)$

Funktio on yhtälön (1) integroiva tekijä, jos ja vain jos se täyttää yhtälön ${\näyttötyyli \mu(t,x)}$

{\frac {\partial {\left(\mu P\right)}}{\partial x}}={\frac {\partial {\left(\mu Q\right))){\partial t }}\qquad\left(2\right)

( oletamme edelleen, että alue on yksinkertaisesti yhdistetty; yhtälö (2) on seurausta yhtälön ominaisuudesta kokonaisdifferentiaaleissa). $\Omega$

Yhtälö (2) on yleensä vaikeampi ratkaista kuin (1), mutta (1):n integroimiseen riittää, kun tietää yhden integroivan tekijän, eli löytää mikä tahansa ratkaisu yhtälöön (2). Yleensä he etsivät ratkaisua (2) muodossa tai , mutta tämä ei aina ole mahdollista. ${\näyttötyyli \mu =\mu (t)}$ $\mu =\mu (x)$

Ratkaisualgoritmi

(yksi) ${\begin{matrix}P(t,x)dt+Q(t,x)dx=0\end{matrix))$

(2) ${\begin{matrix}P'_{x}(t,x)=Q'_{t}(t,x)\end{matrix))$

(3) ${\begin{matrix}U'_{t}=P(t,x),U'_{x}=Q(t,x)\end{matriisi))$

Ota (3.1) ja integroi muuttujan t päälle:

(*) ${\begin{matrix}U(t,x)=\int P(t,x)dt+\varphi (x)\end{matriisi))$

Korvaa kohdassa (3.2):

${\begin{matrix}U'_{x}(t,x)=(\int P(t,x)dt)'_{x}+\varphi '_{x}(x)\end {matriisi}}$

Tuloksena olevassa yhtälössä t sisältävät termit tuhoutuvat. Saamme: . Integroimme x:n päälle ja korvaamme (*). ${\begin{matrix}\varphi '_{x}(x)=g(x)\end{matrix))$

Erottuvat muuttujayhtälöt

Jos yhtälössä (1) , niin tämä on yhtälö, jossa on erotettavia muuttujia . Se voidaan kirjoittaa symmetriseen muotoon: $P(t,x)=T_{1}(t)X_{1}(x),\ Q(t,x)=T_{2}(t)X_{2}(x)$

T_{1}(t)X_{1}(x)dt+T_{2}(t)X_{2}(x)dx=0\qquad \left(3\right)

Ratkaisuja yhtälöön, jossa on erotettavia muuttujia
- Yhtälön ratkaisut ovat (3) ratkaisuja. $X_{1}(x)T_{2}(t)=0$
- Jos alue valitaan niin, että , jakamalla saadaan yhtälö erotetuilla muuttujilla $\Omega$ $X_{1}(x)T_{2}(t)\neq 0\quad \forall (t,x)\in \Omega$ $X_{1}(x)T_{2}(t)$

{\frac {T_{1}}{T_{2}}}dt+{\frac {X_{2}}{X_{1}}}dx=0.

Tämä on kokonaisdifferentiaalien yhtälön erikoistapaus. Hänen on erittäin helppo saada ratkaisu kvadratuurissa. Pisteen läpi kulkevalla yhtälön (3) integraalikäyrällä on muoto: $(t_{0},x_{0})\in \Omega$

\int \limits _{t_{0}}^{t}{{\frac {T_{1}}{T_{2}}}dt}+\int \limits _{x_{0}}^ {x}{{\frac {X_{2}}{X_{1}}}dx}=0.

Esimerkki differentiaaliyhtälöstä

$y'={\frac {y}{x}}+cos^{2}{\frac {y}{x}}$